Программы и методы для решения задач с учетом неустранимой погрешности и синтеза оптимальных характеристик материалов и параметров конструкций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Программы и методы для решения задач с учетом неустранимой погрешности и синтеза оптимальных характеристик материалов и параметров конструкций

Борзенко Виктория Владимировна, магистр, студент

Лютова Мария Эдуардовна, магистр, студент

Некрасов Сергей Александрович, доктор наук, доцент, профессор

Южно-Российский государственный политехнический университет

В статье описываются результаты, полученные авторами в области решения начальных и краевых задач с учетом неустранимой погрешности. Детально описан круг решаемых задач и преимущества предложенных методов. Приводится ряд примеров решения прикладных задач.

электрический цепь накал пластина

Расчет электрической цепи выпрямителя с приближенно заданными характеристиками и параметрами

Погрешности значений параметров схемы - 1%, для ВАХ диода - 10%.

Рис. 2. показывает, что в характерной области броска тока в нелинейной индуктивности разница решений значительна по причине более высокой чувствительности решения к значениям параметров цепи. В силу указанной причины традиционное решение, полученное по средним значениям параметров не является практически приемлемым.

Рис.1. Схема электрической цепи

Рис.2. Графики верхней и нижней оценок тока и их разности

Расчет температурного интервала в нити накала

Рассматривается стальная нить длиной 10 см и диаметром 0,1 мм, нагревающаяся током величиной 20 мА. На концах нити поддерживается постоянная температура. Средние значения теплопроводности 90 Вт/(мК), электропроводности 105 См/м, погрешность для этих параметров считается равной 5%.

Задача решалась методом конечных разностей при шаге интегрирования 1 см и точности решения конечно-разностных уравнений около 0,5%. Графики соответствующих оценок снизу и сверху для распределения температуры представлены на рис. 3.

Рис. 3. Графики верхней и нижней оценок температуры

Расчет температурного интервала в потоке электропроводящей жидкости

Рассматривается поток электропроводящей жидкости в канале с прямоугольным сечением (длина 50 см, размеры сторон сечения 10 см, скорость течения 0,1 см/с).

Нагрев жидкости осуществляется током, протекающим вдоль канала и создаваемым разностью напряжений на торцах канала величиной 1 В.

На концах канала поддерживаются постоянные значения температуры (на входе - температура плавления, на выходе - на 500 К больше). На стенках канала температура меняется линейно с сохранением непрерывности температурного поля.

Средние значения теплопроводности жидкости - 58 Вт/(мК), электропроводности 106 См/м (параметры расплава стали), погрешности этих параметров равны соответственно 10% и 5% Важно учитывать, что эти погрешности, вообще говоря, функциональные, так как соответствующие величины могут изменяться в указанных пределах произвольно в точках объема жидкости (это замечание имеет отношение ко всем приведенным примерам).

Постановка краевой задачи имеет вид:

, ; , ,

где v - скорость потока жидкости, q - плотность тепловыделения: , J - плотность тока, - электропроводность.

Соответствующая двумерная задача решалась методом конечных разностей при шаге интегрирования 2,5 см как по оси абсцисс (вдоль канала), так и по оси ординат (перпендикулярно продольной оси симметрии канала) и точности решения конечно-разностных уравнений около 5%. Графики соответствующих оценок снизу и сверху для распределения температуры вдоль продольной оси канала представлены на рис. 4 и 5 (за начало отсчета по вертикальной оси принята температура на левом торце канала).

Рис. 4. Графики верхней и нижней оценок приращений температуры (скорости потока 0, 1 см/с и 0, 2 см/с)

Рис. 5. Графики интервалов температур для значений скорости потока 0,3 см/с, 0,5 см/с и 1 см/с

Расчет прогибов стержней

Дифференциальное уравнение для величины поперечных деформаций стержня $u(x)$:

, ,

где EJz(x) - жесткость стержня, Pc - сила, сжимающая стержень с его торцов, q(x) - удельная поперечная сила, распределенная по длине стержня.

Краевые условия зависят от способа закрепления концов стержня. В случае шарнирного закрепления они имеют вид: u=0, d2u/dx2=0, при х=0 и х=L.

На рис. 6 показаны результаты решения рассматриваемой краевой задачи при следующих условиях: материал стержня - дерево, плотность равна 500 кг/м3, модуль упругости E = 104 МПа, поперечное сечение стержня имеет форму круга с диаметром d = 1 см, следовательно, геометрический момент инерции равен , длина стержня L = 1 м. Погрешность значения массы стержня равна 2%, а погрешность значения жесткости стержня - 5% (важно учитывать, что эта погрешность, вообще говоря, функциональная, так как жесткость может колебаться в некоторых пределах по длине стержня). Стержень прогибается под собственным весом (0,38 Н). Сжимающая сила в 4 раза больше веса стержня. Шаг интегрирования - 2 см.

Рис. 6. Нижняя и верхняя оценки величины поперечных деформаций горизонтального стержня под действием собственного веса

На рис. 7 показаны результаты решения аналогичной краевой задачи при следующих условиях: материал стержня также - дерево с той же плотностью 500 кг/м3 и модулем упругости E = 104 МПа, поперечное сечение стержня имеет форму круга с диаметром d = 2 мм, длина стержня L = 1 м. Погрешность значения массы стержня равна 2%, а погрешность значения жесткости стержня - 5%. Стержень прогибается под действием силы, сосредоточенной в двух точках на оси стержня на расстоянии 20 см от его концов. Силы одинаковы по величине (равны удвоенному весу стержня) и направлены противоположно друг другу. Сжимающая сила равна весу стержня (0,015 Н). Шаг интегрирования - 2 см.

Рис. 7. Нижняя и верхняя оценки величины поперечных деформаций вертикального стержня под действием противоположно направленных сосредоточенных сил

Данные решения показывают, что погрешности характеристик материала и параметров конструкции могут значительно влиять на величину деформаций элементов конструкции (стержней, балок и т.п.) и должны учитываться в ответственных случаях.

Аналогичным образом могут быть решены задачи расчета прочности и надежности конструкций.

Расчет прогибов пластин

Дифференциальное уравнение для поперечных деформаций тонкой пластины w(x,y):

где D - цилиндрическая жесткость пластины: , E - модуль упругости материала, - толщина пластины, - коэффициент Пуассона, q(x,y) - удельная поперечная сила, действующая на пластину; x - абсцисса, y - ордината точки в декартовой системе координат на поверхности пластины; ось аппликат Oz направлена перпендикулярно к пластине.

Краевые условия зависят от способа закрепления краев пластины. Для неподвижного закрепления функция прогибов w(x,y) и ее нормальная производная на краях пластины равны нулю: , при .

Механические напряжения (нормальные и касательные ) выражаются через величину прогибов:

, , , .

Величина считается равной нулю.

Рассмотрим конкретный расчет, когда поперечная сила является случайной:

,

где xc и yc распределены равномерно в области S, P = 100 Па.

Пластина имеет форму квадрата. Длина стороны 1 м, толщина 0,001 м. Материал пластины - алюминий: Па, .

На графиках рис. 8 - 13 показаны результаты решения задачи методом конечных разностей. Шаг интегрирования по каждой координате около 3 см.

Рассматриваемый метод позволил находить статистические характеристики решения в 100 раз экономичнее, чем известный метод Монте-Карло.

Рис. 8. Выборочные средние прогибов пластины (справа решение методом Монте-Карло при 100 итерациях)

Рис. 9. Выборочный стандарт распределения прогибов пластины (справа решение методом Монте-Карло при 100 итерациях)

Рис. 10. Выборочное среднее касательных напряжений

Рис. 11. Выборочный стандарт касательных напряжений

Рис. 12. Коэффициент вариации прогибов пластины (справа решение методом Монте-Карло при 100 итерациях)

Графики показывают, что решение методом Монте-Карло обладает значительной погрешностью и явно ассиметрично. Приемлемая точность достигается только при числе итераций около 1000.

Рис. 13. Трехмерные графики статистических характеристик прогибов и касательных напряжений

Используя один из критериев разрушения, например, , можно осуществить расчет прочности конструкции. Предел прочности алюминия 50-60 МПа, достигается при силе в 20 раз большей, чем в примере. Выборочное среднее и выборочный стандарт для механических напряжений позволяют относительно просто оценивать вероятности разрушения конструкции.

Как было выше отмечено, методы автора много эффективнее методов линеаризации, малого параметра и Монте-Карло.

Список литературы

1. Некрасов С.А. Интервальные и двусторонние методы для расчета с гарантированной точностью электрических и магнитных систем. Диссертация на соискание доктора технических наук. Специальность «Теоретическая электротехника». Новочеркасск, 2002.

2. http://www.dissercat.com/content/intervalnye-i-dvustoronnie-metody-dlya-rascheta-s-garantirovannoi-tochnostyu-elektricheskikh

3. Некрасов С.А. Эффективные двусторонние методы для решения задачи Коши в случае больших промежутков интегрирования./ Дифференциальные уравнения, 2003, т. 39, № 7.

4. Некрасов С.А. (с соавторами). Методика косвенной оценки угла смачивания по геометрическим размерам пробной капли/ Матем. моделирование.- 1994.- Т.6, №9. - С.33-40.

5. Некрасов С.А. Интервальные методы и алгоритмы глобальной нелинейной оптимизации и их применение в области проектирования электротехнических устройств, ч. I. - Электричество, 2001, № 8. http://vlib.ustuarchive.urfu.ru/electr/nom08_01.html

6. Некрасов С.А. Методы ускоренного статистического моделирования и их применение в электротехнических задачах/ Изв. вузов. Электромеханика. - 2008. - № 5. - С. 13-19

Размещено на Allbest.ru