Решение задачи Гурса для уравнения Эйлера-Пуассона методом Вольтерра
В статье рассматривается краевая задача для уравнения Эйлера-Пуассона в трехмерной области специального вида. Демонстрируется метод Вольтерра, который позволяет доказать однозначную разрешимость поставленной задачи и записать ее решение в явном виде.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.07.2018 |
| Размер файла | 236,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
№42-3, 30.03.2016
Физико-математические науки
Решение задачи Гурса для уравнения Эйлера-Пуассона методом Вольтерра
Балабаева Наталья Петровна, кандидат наук, доцент, доцент
Энбом Екатерина Александровна, кандидат наук, доцент, доцент
Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики
В статье рассматривается краевая задача для уравнения Эйлера-Пуассона в трехмерной области специального вида. Основной целью статьи является демонстрация метода Вольтерра, который позволяет доказать однозначную разрешимость поставленной задачи и записать ее решение в явном виде.
Похожие материалы
Решение краевой задачи для гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерной области
Фрактальные циклы покупки и продажи нелинейной динамической системы
Использование возможностей интеллектуальных информационных систем при организации дистанционного обучения
Искусственные нейронные сети в прогнозировании и анализе временных рядов
Практические работы по астрономии с использованием ИКТ
МЕТОД ВОЛЬТЕРРА, КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА-ПУАССОНА, УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА, ФУНКЦИЯ ВОЛЬТЕРРА
эйлер пуассон трехмерный вольтерр
В современной теории краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимает изучение вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений, а также уравнений смешанного типа [1], [2]. Интерес к такого рода уравнениям объясняется теоретической значимостью полученных результатов и их многочисленными приложениями в различных разделах естествознания [3-5]. Так как вырождающиеся уравнения являются моделями реальных процессов, то это обуславливает актуальность постановки и решения для них краевых задач, которые являются предметом фундаментальных исследований [6].
Известное в классической теории уравнение
будем рассматривать в области Щ трехмерного евклидова пространства, ограниченной характеристическим конусом и кругом
Требуется найти функцию со следующими свойствами:
1) ;
2) и в Щ;
3) .
Фактически требуется решить задачу Гурса для данного уравнения третьего порядка в трехмерной области специального вида, так как именно на границе области задается известная функция.
Для решения задачи применен метод Вольтерра. В классической теории краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных функция Вольтерра известна для уравнения цилиндрических волн [7], а так же она найдена для телеграфного уравнения. Функция Вольтерра для рассматриваемого уравнения известна из работы [8], она имеет вид:
Пусть - произвольная точка области . Проведем характеристический конус и обозначим через Gобласть, ограниченную конусами S и S0. Реализация метода Вольтерра предполагает использование формулы Грина для операторов E(u) и E*(u):
где У - граница G, N - направление конормали к У, а Nx, Ny, Nz - направляющие косинусы конормали.
Поскольку функция Вольтерра имеет логарифмическую особенность на оси косинуса S0, а ее частные производные обращаются в бесконечность и на оси этого конуса и на нем самом, то формулу Грина нельзя применять к области G.
Задавшись достаточно малым числом е > 0, построим вспомогательную область Gе, ограниченную:
цилиндром r0 = е,
конусом Sц, вершина и ось которого те же, что и у конуса S0, а образующие составляют с осью угол , частью конуса S.
Пусть в формуле Грина u - есть решение задачи, а v - функция Вольтерра. Применяя эту формулу к области Gе, а затем, осуществляя в полученном тождестве предельный переход при е > 0, придем к интегральному уравнению Вольтерра первого рода:
где
S1 - часть конуса S, входящая в границу области G.
Это уравнение изучено в работе [9]. Применяя формулу его обращения, получим следующее представление решения задачи:
Здесь
D1 - проекция S1 на плоскость xOy.
Если , то построенная функция u(x,y,z) является классическим решением поставленной задачи Гурса.
Список литературы
1. Энбом Е.А. Некоторые краевые задачи для вырождающихся гиперболических уравнений третьего порядка в трехмерных областях. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Самара. 2003.
2. Энбом Е.А. Аналог задачи Коши для уравнения третьего порядка. В сборнике: Математическое моделирование и краевые задачи. Труды тринадцатой межвузовской конференции. Редколлегия: В.П. Радченко (отв. редактор), Э.Я. Раппопорт, Е.Н. Огородников, М.Н. Саушкин (отв. секретарь). 2003. С. 171-173.
3. Балабаева Н.П. Исследование устойчивости дифференциальных включений методом усреднения. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Самара. 2005.
4. Балабаева Н.П. Устойчивость нелипшицевых дифференциальных уравнений с управлением. В сборнике: Математическое моделирование и краевые задачи. Труды тринадцатой межвузовской конференции. Редколлегия: В.П. Радченко (отв. редактор), Э.Я. Раппопорт, Е.Н. Огородников, М.Н. Саушкин (отв. секретарь). 2005. С. 31-33.
5. Балабаева Н.П. Устойчивость систем дифееренциальных включений по медленным переменным. Наука и мир. 2015. Т.1. № 3 (19). С. 19-21.
6. Энбом Е.А. Решение краевой задачи для гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерной области и его применения. Самарский научный вестник. 2014. № 4(9). С. 145-147.
7. Положий Г.Н. Уравнения математической физики. Москва: Высшая школа. 1964. 560 с.
8. Ежов А.М. О функции Вольтерра для уравнения Эйлера-Пуассона и ее применении к решению задачи Коши и характеристической задачи. Краевые задачи для уравнений математической физики. Межвузовский сборник научных трудов. Куйбышев. 1990. С. 19-26.
9. Энбом Е.А. Решение интегрального уравнения Вольтерра первого рода с непрерывным ядром. Вестник Самарского государственного педагогического университета. Самара. 2006. С. 31-41.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Уравнения гиперболического типа с частными производными 2-го порядка, решение равенства свободных колебаний струны методом разделения переменных. Описание дифференциальных уравнений теплопроводности для полубесконечного стержня в виде интеграла Пуассона.
курсовая работа [480,7 K], добавлен 05.05.2011Решение краевых задач методом функции Хартри. Решение уравнения теплопроводности с разрывным коэффициентом и его приложение в электрических контактах. Определение результатов первой граничной задачи с разрывными коэффициентами с помощью функции Хартри.
дипломная работа [998,8 K], добавлен 10.05.2015Особенности метода решения уравнения Пуассона, описывающего процессы, происходящие в диоде, методом распространения вектора ошибки. Пример решения разностного уравнения. Программа расчета потенциала в определённом узле сетки с учётом граничных условий.
дипломная работа [596,3 K], добавлен 29.11.2011Выражение для кинетического момента и энергии. Динамические уравнения Эйлера, характер и анализ стационарного движения точки. Особенности и направление движения динамически симметричного тела в случае Эйлера. Регулярная прецессия, первые интегралы.
презентация [496,6 K], добавлен 02.10.2013Выражение для кинетического момента в ПСС. Динамические и кинематические уравнения Эйлера. Общая система уравнений Эйлера движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Параметры устойчивости стационарного вращения. Понятие регулярной прецессии.
презентация [650,1 K], добавлен 30.07.2013Определение реакции связей, вызываемых заданными нагрузками. Решение задачи путем составления уравнения равновесия рамы и расчета действующих сил. Сущность закона движения груза на заданном участке, составление уравнения траектории и его решение.
задача [136,1 K], добавлен 04.06.2009Уравнение неразрывности потока жидкости. Дифференциальные уравнения движения Эйлера для идеальной жидкости. Силы, возникающие при движении реальной жидкости. Уравнение Навье - Стокса. Использование уравнения Бернулли для идеальных и реальных жидкостей.
презентация [220,4 K], добавлен 28.09.2013Описание и аналитические исследования гидродинамических процессов. Дифференциальные уравнения движения Эйлера. Уравнение Бернулли и гидродинамическое подобие потоков. Инженерно-технологический расчет и принцип действия паростуйного эжектора типа ЭП-3-600.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 28.04.2015Постановка задачи дифракции и методы ее решения. Сведения о методах решения задач электродинамики. Метод вспомогательных источников. Вывод интегральных уравнений Фредгольма второго рода для двумерной задачи. Численное решение интегрального уравнения.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 13.01.2011Динамические уравнения Эйлера при наличии силы тяжести. Уравнения движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Первые интегралы системы. Вывод уравнения для угла нутации в случае Лагранжа. Быстро вращающееся тело: псевдорегулярная прецессия.
презентация [422,2 K], добавлен 30.07.2013Условия подобия процессов конвективного теплообмена. Безразмерное дифференциальное уравнение теплоотдачи. Приведение к безразмерному виду уравнения движения. Числа подобия Рейнольдса, Грасгофа, Эйлера. Общий вид решений конвективной теплоотдачи.
презентация [155,3 K], добавлен 18.10.2013Вычисление реакции объекта равновесия и грузов, удерживающих стержни. Аналитическая проверка результатов. Графическое представление уравнения. Решение частного уравнения в плоской системе. Проверка полученных частных данных аналитическим методом.
контрольная работа [11,3 K], добавлен 03.11.2008Общий вид эллипсоида инерции. Геометрическая интерпретация Пуансо. Случаи интегрирования уравнений Эйлера и особенности их описания в общем виде. Характеристика и построение герполодии. Специфика определения ориентации тела в абсолютном пространстве.
презентация [605,7 K], добавлен 30.07.2013Метод конечных элементов (МКЭ) — численный метод решения задач прикладной физики. История возникновения и развития метода, области его применения. Метод взвешенных невязок. Общий алгоритм статического расчета МКЭ. Решение задач методом конечных элементов.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 31.05.2012Понятие и вид эллипсоида инерции (вращения) для неподвижной точки. Получение окружностей - полодии и герполодии. Геометрическая интерпретация Пуансо. Интегрирование уравнений Эйлера в общем виде. Определение ориентации тела в абсолютном пространстве.
презентация [605,7 K], добавлен 02.10.2013Сущность электростатического поля, определение его напряженности и графическое представление. Расчет объемной и линейной плотности электрического заряда. Формулировка теоремы Гаусса. Особенности поляризации диэлектриков. Уравнения Пуассона и Лапласа.
презентация [890,4 K], добавлен 13.08.2013Описание произвольного электромагнитного поля с помощью вектор-потенциала. Волновые уравнения. Асимптотические выражения. Решение волнового уравнения для напряженностей полей. Электромагнитное мультипольное излучение. Уравнение Максвелла в пространстве.
презентация [92,5 K], добавлен 19.02.2014Значимость кинетических уравнений типа Больцмана и Власова. Сдвиг плотности вдоль траекторий динамической системы. Уравнения геодезических и эволюция функции распределения на римановом многообразии. Одномерная модельная задача для уравнения Власова.
дипломная работа [1,8 M], добавлен 16.05.2011Поведение полей напряжений в окрестности концентраторов дефектов и неоднородностей среды, полостей и включений. Теоретическое решение задачи Кирша. Концентрации напряжений. Экспериментальный метод исследования напряжённо-деформированного состояния.
контрольная работа [1,4 M], добавлен 24.03.2011Построение распределения вероятности занятия линий в пучке в соответствии с распределениями Бернулли, Пуассона и Эрланга. Расчет пропускной способности однозвенных полнодоступных включений при обслуживании простейшего потока вызовов по системе с потерями.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 11.12.2012
