Со времен юношеских работ Г. Галилея маятник является ведущим объектом изучения и понимания динамики, породившим множество теоретических и прикладных исследований, которые продолжаются и в настоящее время. Результатом этих исследований стали многие фундаментальные понятия современной механики, такие как интеграл механической энергии, изохронность и неизохронность колебаний, их устойчивость, диссипативность, явление резонанса и т.д. И, тем не менее, за свою 400-летнюю историю маятник далеко не исчерпал всех особенностей своего динамического поведения, продолжая оставаться важнейшим звеном механики и многих ее приложений.

Цель настоящей работы состоит в том, чтобы на примере маятниковых систем продемонстрировать одно из малоизученных явлений динамики твердых тел - их эволюционное поведение, - обусловленное действием сил внутренней диссипации. В наземных системах и условиях движения они проявляются при свободных или вынужденных колебаниях деформируемых твердых тел, сопровождающихся рассеиванием энергии за счет механического гистерезиса. Мощность такого рассеивания сопоставима с мощностью сил внешнего трения, так что процесс диссипации оказывается "быстрым" (продолжительность затухания свободных колебаний исчисляется десятками периодов колебаний).

Иной механизм внутренней диссипации имеет место в условиях космического пространства, где отсутствует внешнее трение, а в качестве возбудителей гистерезисных явлений внутри тела выступают силы инерции при его неравномерном вращении, а также силы внешнего гравитационного поля (если они присутствуют). Примером такого диссипативного тела является микропористая структура, поры которой заполнены диссипативной средой (сыпучей или вязкой), способной совершать микроперемещения под действием нестационарного поля внутренних инерционно-гравитационных сил. Возникающий гистерезис можно назвать квазистатическим, диссипацию - медленной, а ее воздействие на динамическое поведение тела - эволюцией, длительность которой исчисляется миллионами периодов вращения тела. Таким образом, диссипативное твердое тело не является абсолютно твердым (эйлеровым) телом, а представляет собой диссипативный гиростат (ДГ), распределение масс в котором фактически остается неизменным (с точностью до микроперемещений, масштабы которых на несколько порядков меньше масштабов движения самого ДГ).

Сопоставляя различные модели твердых тел, изучаемых в современной механике, можно свести их в следующую таблицу:

Здесь жирным шрифтом выделено тело ДГ, изучаемое в настоящей статье.

В существующей литературе по внутренней диссипации подавляющее число публикаций относится к "быстрой" диссипации, возникающей в задачах динамики машин и механизмов. Что же касается "медленной" диссипации, то здесь наиболее известной является работа Ф.Л. Черноусько [1] по динамике гиростата с полостями, заполненными вязкой жидкостью, а также монография Н.Н. Моисеева и В.В. Румянцева [2].

Построение диссипативной функции внутреннего трения

В теоретической механике хорошо известна и широко используется диссипативная функция поверхностного трения - функция Релея,

, (1)

играющая роль производящей функции для вязких сил поверхностного трения. Здесь - столбец обобщенных относительных скоростей трущихся поверхностей, B - неотрицательная матрица коэффициентов вязкого трения, а интегрирование производится по всем трущимся поверхностям F. Физически функция R выражает мощность диссипативных сил поверхностного трения.

Вполне естественно использовать аналогичный подход и для построения диссипативной функции объемного трения. В этом случае полная мощность диссипации выразится объемным интегралом

, (2)

где - столбец относительных скоростей элементарного объема, - неотрицательная матрица диссипативных коэффициентов, а интегрирование производится по всем диссипаторам ДГ, т.е. по тем его элементам, которые обладают наименьшей жесткостью.

Так, если ДГ состоит из некоторой достаточно жесткой несущей структуры (ее "скелета") и внутреннего наполнителя, то для построения S - функции бывает достаточно учесть, лишь этот наполнитель. Что касается нахождения микроперемещений u_r, то их, в принципе, можно выразить через столбец сил N, действующих на элементарный объем dV в виде u_r = DN, где D - аналог матрицы податливости. Чтобы найти относительные скорости следует взять относительную производную от u_r по времени, после чего выражение (2) примет вид:

, (3) где .

Входящие сюда обобщенные усилия N сравнительно легко выражаются через фазовые переменные для наполнителя, испытывающего лишь инерционно-гравитационные нагрузки. Что касается "скелета" ДГ, то для него прямой расчет усилий возможен только для статически определимых элементов. Для остальных элементов скелета необходимо искать их упруго-напряженное состояние под действием заданного поля инерционно-гравитационных сил и после этого строить функцию (3). Не углубляясь в рассмотрение этой непростой задачи, запишем выражение для силы N, приходящейся на единицу объема наполнителя:

, (4)

где г - плотность наполнителя, и - кососимметричные тензоры угловой скорости и углового ускорения ДГ, r - радиус-вектор рассматриваемого элементарного объема, а g - его гравитационное ускорение (если оно присутствует). Беря относительную производную от N и учитывая, что в случае g = const, имеем , получаем

(5)

Нетрудно видеть, что здесь появляются слагаемые вида , представляющие собой третьи производные по времени от обобщенных координат. В дальнейшем будем называть их метаускорениями.

Чтобы проиллюстрировать изложенную схему построения эволюционных слагаемых в задачах динамики твердых тел рассмотрим некоторые классические задачи теоретической механики.

Математический маятник с внутренней диссипацией

Рассматривая стандартную расчетную схему математического маятника, описываемую уравнением

маятниковая система твердое тело внутренняя диссипация

, (6)

где k² = g/l, положим, что стержень маятника, образующий его "скелет" является основным диссипатором. Если пренебречь массой этого стержня по сравнению с массой m концевого груза, то действующее в стержне усилие выразится известной формулой:

. (7) Находя далее , (8)

и заменяя интегрирование в выражении (3) умножением на длину стержня l, приходим к следующей записи

, (9)

где b - диссипативный коэффициент. В результате уравнение эволюционного движения маятника примет вид

(10) или в явной записи

. (11)

Особенностью этого уравнения является то, что в нем содержится , что несвойственно для задач динамики консервативных систем. Если домножить уравнение (10) или (11) на , то легко получить известное соотношение для диссипативных функций

. (12)

Эволюционное уравнение (11) описывает движение маятника, как в режиме его круговращения, так и в режиме его колебаний. В обоих этих режимах его можно упростить, если вычислять диссипативную функцию на невозмущенном движении, т.е. на движении (6). Выражая из (6) и подставляя его в (9), находим

, (13)

где обозначено . В результате вместо (11) получим более простое уравнение

, (14)

которое для малых колебаний маятника принимает еще более простой вид

(15)

и допускает построение несложного аналитического решения. Для этого используем решение невозмущенного уравнения (6), взяв его в виде

, (16)

где А - комплексная константа интегрирования, которая в возмущенном движении (15) является медленно меняющейся функцией времени. Следуя методу Лагранжа, приходим к системе

из которой находим

. (17)

Производя усреднение правой части этого уравнения по "быстрому" времени и учитывая, что

(18)

где <A> - среднее значение А на интервале времени T = 2р/k, получаем несложное уравнение , где уже опущены угловые скобки. Присоединяя к нему комплексно сопряженное уравнение, окончательно находим следующее соотношение для .

. (19)

Интегрируя его, получаем закон эволюции амплитуды колебаний маятника

, (20)

где - ее начальное значение. Как и следовало ожидать, эволюционное снижение амплитуды от действия сил внутреннего трения оказывается более медленным, чем в случае линейного внешнего трения, когда амплитуда убывает по экспоненте , где - коэффициент вязкого трения в шарнире или в окружающей среде. Формально это обусловлено тем, что эволюционное трение определяется слагаемым третьего порядка малости в уравнении (15), тогда как внешнее трение - первым порядком. На фазовой плоскости выражение (20) определяет спиральную фазовую траекторию

, (21)

где - фазовый угол, пропорциональный времени t.

В завершение разговора о диссипативном движении математического маятника оценим амплитуду относительных смещений его концевого груза, связанных с удлинениями его стержневого диссипативного элемента. Используя формулу (7), нетрудно найти силу натяжения стержневого элемента

, (22)

где Ц - амплитуда колебаний маятника. Отсюда следует, что

, (23)

а соответствующее удлинение Дl стержня есть

, (24)

где F - площадь сечения стержня, а E - модуль упругости его материала. Для секундного маятника (), колеблющегося с амплитудой Ц = р/3, имеющего концевой груз массой 0,25 кг и стержневой элемент в виде струны диаметром 1 мм, из (24) найдем, что микрон. Столь малые смещения концевого груза, очевидно, не влияют на динамику колебаний маятника, однако на больших интервалах времени придают ей необратимый эволюционный характер.

Диссипативная динамика балочного маятника

Обратимся теперь к другой расчетной схеме плоского маятника (рис.1), в которой роль концевого груза, а вместе с тем и диссипативного элемента играет прямая балка, жестко скрепленная со стержнем маятника, который здесь будем рассматривать как абсолютно жесткий консервативный элемент. Связывая с балкой оси x, y, z и пренебрегая ее толщиной, найдем согласно (4) поле ускорений точек ее продольной оси:

, (25)

где - радиус-вектор произвольной точки продольной оси относительно точки подвеса. Из всей инерционно-гравитационной нагрузки, создаваемой этим полем, ограничимся учетом лишь поперечных сил N_y, порождающих изгибающие моменты в сечениях балки. Тогда для N_y получим следующее выражение

, (26)

посредством которого находим изгибающий момент в произвольном сечении правой половины балки

(27)

и аналогично в левой

.

Далее, образуя S - функцию в виде интеграла

, (28)

находим ее явное выражение

. (29)

Здесь отображены слагаемые, не содержащие , а в состав коэффициента диссипации включены также постоянные сомножители. Это выражение можно упростить, если S - функцию рассматривать на невозмущенном движении . Тогда, исключая из нее , находим

, (30)

где c = 2lk² + g, после чего уравнение эволюционного движения балочного маятника примет вид

. (31)

Видно, что уравнение остается нелинейным и в нем содержится метаускорение , которое создает дополнительное диссипативное воздействие. Если же его также исключить посредством условия , то эволюционное уравнение качаний балочного маятника станет похоже на аналогичное уравнение маятника математического, а именно

. (32)

Разумеется, эту задачу, как и предыдущую, можно трактовать как наложение малых колебаний вязкоупругого тела с бесконечным числом стержней свободы на немалые движения самого тела как единого целого. Однако такой подход целесообразен в тех случаях, когда частоты относительных (упругих) и переносных движений лежат в одном диапазоне, ввиду чего этими типами движений существует динамическое взаимодействие. Если же динамическое взаимодействие пренебрежимо мало, то на первый план выходит квазистатический процесс диссипации механической энергии, для описания которого и служит предлагаемая математическая модель.

Движение секториального маятника с наполнителем

Рассмотрим плоский физический маятник в виде кругового сектора радиуса R и углом 2б при вершине (рис.2). Полагая, что жесткий скелет маятника представляет собой микропористую несущую конструкцию с диссипативным наполнителем, запишем поле ускорений этой среды

. (33)

В подвижных осях x, y это поле будет

w = i [-x-y+gcos (ц+ш)] +j [-y+x-gsin (ц+ш)]. (34)

Относительная производная по времени дает поле метаускорений

s = i [] +j [] (35)

и отвечающее ему поле инерционно-гравитационных сил (5), посредством которого диссипативная S - функция выразится в виде интеграла

, (36)

где интегрирование проводится по всей секториальной площади маятника F.

Вычисляя s², и переходя к полярным координатам ш и , получаем

. (37)

После чего для S находим следующее выражение

, (38)

где отображены слагаемые, не содержащие . Подставляя это выражение в уравнение движения секториального маятника

, (39)

где J = mR²б/2р, представим его в форме

, (40) где

k² = g/l, .

Видна довольно сложная структура диссипативного момента. Чтобы упростить его вид, исключим и из диссипативной функции (38), рассматривая ее на невозмущенном движении . Тогда получим

. (41)

Видно, что в этой аппроксимации действие внутренней диссипации мало отличается от действия внешней, т.к. выражение в квадратной скобке почти постоянно.

Заслуживает внимания тот частный случай, когда при б = р секториальный маятник превращается в круговой ДГ, уравнение движения которого согласно (40) принимает вид:

. (42)

Полагая, что , , запишем (42) в виде

. (43)

Откуда следует

. (44)

Разделяя переменные и интегрируя, приходим к соотношению

, (45)

которое описывает семейство фазовых траекторий на плоскости .

Рассмотренные примеры иллюстрируют различные механизмы квазистатического гистерезисного процесса внутренней диссипации в маятниковых системах. Их общая особенность связана с крайне малым масштабом гистерезисных перемещений диссипаторов, что позволяет отвлечься от их динамического воздействия на несущее тело и не вводить соответствующих степеней свободы. В результате остается только их диссипативное воздействие, определяющее крайне медленный, но необратимый процесс эволюции тела, предельным режимом которой является режим перманентного вращения тела с минимально возможным уровнем механической энергии диссипатора.

Список литературы