Линеаризация сухого трения на переходных режимах

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 621.01

Линеаризация сухого трения на переходных режимах

П.А. Андриенко,

В.А. Терешин

Наличие сухого трения в колебательных системах приводит к значительным сложностям. При исследовании установившихся режимов применима эквивалентная замена сухого трения на линейно-вязкое [1], [2]. В переходных режимах проблема нелинейности сухого трения исчезает, если отсутствуют остановки. пружина трение линейный

Однако в ряде задач изменение скорости движения механизмов носит ярко выраженный колебательный характер с изменением знака скорости. В данной работе сделана попытка определить эквивалентное линейно-вязкое трение на переходных режимах. Для этого рассмотрим свободное движение прикрепленного к пружине тела с массой m по горизонтальной плоскости. Совместим начало координат с точкой, соответствующей положению тела при недеформированном состоянии пружины (рис.1).

Допустим, что груз смещен от исходного положения вправо на расстояние x0

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1. Cхема колебательной системы

и затем свободно, без начальной скорости, отпущен. Тогда движение начнется при следующих условиях:

x(0) = x0 0, (0) = 0. (1)

Запишем уравнение движения тела

, (2)

где сила упругости пружины

, (3)

c - коэффициент жесткости пружины; - сила трения.

Рассмотрим случай линейно-вязкого трения. При этом сила трения

, (4)

где в - коэффициент демпфирования. Тогда уравнение движения примет следующий вид:

(5)

или

, (6)

где - частота свободных колебаний; . Запишем общее решение уравнения (6) при k>n:

, (7)

где . Из (7) видно, что максимальные отклонения x следуют с частотой k1 или с периодом T1 = 2р/k1 = 2р/. Отношение двух последовательных отклонений

(8)

называется декрементом колебаний.

Рассмотрим теперь случай сухого трения. Сила сухого трения при движении определяется равенством

, (9)

где f - коэффициент трения скольжения; g - ускорение свободного падения. Таким образом, уравнение движения (2) распадается на два линейных уравнения:

или

(10)

Пусть в начальном положении (1) сила упругости пружины больше силы трения скольжения, то есть cx0 > fmg или

x0 > Д, (11)

где деформация страгивания . При нарушении неравенства (11) движение не начнется. Запишем общее решение первого уравнения (10):

, (12)

где b и - определяются из начальных условий (1):

или (13)

Следовательно, закон движения (12) имеет следующий вид:

. (14)

Он справедлив при условии, что скорость

(15)

остается отрицательной до момента:

t1 = / k, (16)

x(t1) = Д - (x0 - Д) = - x0 + 2Д. (17)

В рассмотренном интервале времени тело совершило половину колебательного цикла около среднего положения, равного деформации страгивания Д. Дальнейшее движение возможно, если

. (18)

Тогда движение вправо начнется при новых начальных условиях:

(19)

Запишем общее решение второго уравнения (10):

(20)

Остановка произойдет при t2 = р/k. Тогда

x(t2) = - Д - (- x0 +3Д) = x0 -4Д. (21)

Заметим, что за каждый полупериод максимальное отклонение тела от начала координат уменьшается на величину 2Д, а за каждый целый период - на 4Д. Следовательно,

= x0 - p4Д, (22)

где p - количество пройденных полных периодов. Колебания будут происходить до тех пор, пока выполняется условие аналогичное (11):

>Д. (23)

Так как продолжительность каждого периода равна 2/k, то р периодов система совершит за время:

t = p2/k. (24)

Из этого замечания и из (22) следует, что линейно убывает с ростом, как номера цикла, так и времени. Будем называть цикл последним (p = pmax), если он заканчивается в положительной области или в нуле, то есть . Допуская ошибку в один период, существенно упрощаем задачу. Тогда из (22) следует . Поскольку pmax натуральное число, то

, . (25)

Соотношения (25) могут служить для отыскания числа колебаний до остановки груза, для нахождения начального отклонения по известному числу колебаний и прочего.

Для определения параметров линейно-вязкого трения эквивалентного сухому приравняем их работы при одинаковом количестве циклов. Конечно, это количество циклов системы пройдут за разное время, но для поставленной задачи указанный метод аппроксимации наиболее корректен. Используя теорему об изменении кинетической энергии к перемещению тела между начальным и любым последующим максимальными отклонениями одного знака, получим:

, (26)

где Атр и Ау - работа силы трения и силы упругости:

. (27)

При линейно-вязком и сухом трении xp(x0) определяются равенствами (8) и (22). Следовательно, работа силы вязкого трения:

, (28)

для сухого трения

. (29)

Приравняем полученные выражения и разрешим относительно n:

или . (30)

Подставим в (30) Т1 из (8) и обозначим . Тогда . После возведения в квадрат обеих частей равенства можно записать

. (31)

Таким образом, получена зависимость n=n(p, f, g, k, x0). Она определяет параметр эквивалентного вязкого трения как функцию от количества колебаний, при котором приравниваются работы сил трения. Для ее анализа удобно воспользоваться равенством (25) в приближенной форме

pmax = x0/4Д. (32)

Тогда (31) приобретет следующий вид:

. (33)

На рис.2 показаны графики этих функций для различных pmax от 2 до 15. Каждый график легко распознается, так как он имеет свою вертикальную асимптоту p = pmax. Следует помнить, что p и pmax - целые числа. Колебательный процесс при сухом трении прекращается за конечное количество циклов, а при линейно-вязком не прекращается никогда кроме экзотического случая, когда при n>k затухающий процесс можно трактовать как заканчивающийся за pmax периодов, каждый из которых равен бесконечно большому Т1. Поэтому желание определить n, при котором вся первоначальная энергия пружины перейдет в трение за pmax циклов приводит к n = k:

.

Рис.2. Зависимости n/k от количества циклов при разных pmax

Аппроксимация сухого трения вязким может применяться при описании заданного числа циклов p < pmax с указанной точностью. Из рис.2 видно, что зависимости (33) при возрастании pmax сравнительно быстро становятся неотличимыми от постоянных величин. Примем их равными значениям функции (33) при p = pmax/2. Тогда

.

Так как р/ln2 = 4,53, то с достаточной точностью последнее равенство можно заменить на

. (34)

Выражение (34) позволяет сделать оценку максимального эквивалентного вязкого трения, при котором процесс еще можно считать колебательным. Так, при pmax = 2 относительный коэффициент демпфирования n/k = 0,11. Заметим, что если воспользоваться классической формулой, приведенной в [2, стр. 41] для установившегося режима движения машины:

, (35)

где S - площадь петли гистерезиса, в координатах Fтр(x); щ - частота процесса, то можно получить следующую зависимость:

или .

Приведем полученную формулу для резонансного режима, то есть щ = k, так как в установившемся режиме трение существенно именно вблизи резонансов:

. (36)

Отметим, что расчет по этой формуле дает результат в раза меньше, чем по формуле (34), полученной для случая переходного режима. Определим значение функции (33) (см. рис.2) при p = 0. Взятие предела дает следующее выражение

. (37)

При больших pmax (37) неотличима от (36). Следовательно, классическая формула (35) является оценкой снизу коэффициента эквивалентного демпфирования.

Попытки определить n из равенства изменения амплитуд колебаний за одинаковый промежуток времени приводят обычно к неудовлетворительной аппроксимации линейной зависимости

, (38)

полученной из (22), (24) экспонентой

(39)

из (8). Экспонента оказывается достаточно долго близка к прямой лишь при малых коэффициентах трения. При этом полученный результат совпадает с найденным методом приравнивания работ при одинаковом количестве циклов.

Список литературы

1. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики: Учебник. В 2-х томах. Т. II: Динамика. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. - 544 стр.

2. Динамика машин и управление машинами: Справочник/ В.К.Асташев, В.И.Ба-бицкий, И.И.Вульфсон и др.; Под ред. Г.В.Крейнина. - М.: Машиностроение, 1988 - 240 с.: ил. - (Основы проектирования машин).

Размещено на Allbest.ru