К проблеме динамической устойчивости многосекционных технологических машин в окрестности программного движения исполнительных органов

Колебания в машинах

Размещено на http://www.allbest.ru/

8

http://tmm.spbstu.ru

Размещено на http://www.allbest.ru/

К проблеме динамической устойчивости многосекционных технологических машин в окрестности программного движения исполнительных органов

В машинах и автоматических линиях с повышенной протяженностью зоны обработки изделия широко распространены идентичные цикловые механизмы, которые используются для реализации однотипных технологических и транспортных операций. В приводах таких машин в силу естественного стремления к унификации деталей и целых узлов возникает определенная повторяемость блоков динамической модели (регулярность), с которой связаны нежелательные эффекты, приводящие к повышению виброактивности системы, а в расчетном плане - плохая обусловленность системы дифференциальных уравнений. С другой стороны, для регулярных колебательных систем могут быть использованы некоторые специальные приемы анализа, с помощью которых удается расширить возможности аналитических методов при динамическом проектировании машин.

Исследование регулярных колебательных систем в историческом плане восходит к так называемой теории цепочек, состоящих из чередующихся масс, разделенных линейными или нелинейными упругими элементами [1,2,3]. В работах [4,5,6] теория регулярных систем развита применительно к приводам разветвленной и кольцевой структуры, где вместо масс фигурируют повторяющиеся модули, образующие колебательные подсистемы с переменными параметрами.

Данная работа посвящена исследованию некоторых особенностей квазирегулярных динамических моделей, в которых имеет место совпадение динамической структуры отдельных модулей при наличии фазовых сдвигов в цикловой диаграмме исполнительных приводных механизмов [6].

Исследуемая динамическая модель представляет собой последовательное соединение повторяющихся модулей, связанных общим главным валом (рис. 1). На приведенных типовых схемах для выделенного модуля приняты следующие условные обозначения: J - момент инерции, m - масса, П - аналог механизма, соответствующий функции положения П(ц); сдвоенные линии отвечают упругодиссипативным элементам с коэффициентами жесткости c и коэффициентами рассеяния ш. В зависимости от кинематической схемы привода модуль может быть связан с главным валом в одном сечении (рис. 1, а) или в нескольких сечениях (рис. 1, б); число таких сечений в дальнейшем будем определять как порядок регулярности модели.

В качестве обобщенных координат q примем отклонения абсолютных координат от идеальных значений при абсолютно жестких звеньях. Тогда система дифференциальных уравнений для модуля, показанного на рис. 1, а, приводится к виду

(1)

где - координата, определяющая крутильные колебания главного вала; - координата, связанная с колебаниями выходного звена; - коэффициенты эквивалентной линеаризации диссипативных сил; - заданная угловая скорость на «входе» привода; (при следует принять при и ).

При получении системы (1) использована процедура линеаризации функции в окрестности программного движения, согласно которой ; при этом исходная нелинейная система дифференциальных уравнений трансформировалась в систему с переменными коэффициентами. Правомерность применения этой процедуры, допускающей использование принципа суперпозиции, проверена как расчетами, так и экспериментально [4].

Если на данном этапе анализа исключить влияние динамической характеристики двигателя и принять, что регулярная часть системы связана с двигателем упругим элементом с коэффициентом жесткости c₀, то общее число степеней свободы для данной модели равно , а для модели, показанной на рис. 1, б, равно . Модуль является повторяющимся структурным элементом, поэтому в дальнейшем индекс при коэффициентах и опускается. При этом принимаем, что функции различаются по фазе. Поскольку это нарушает полную регулярность модели, при ее описании используется термин «квазирегулярность». Ниже для определенности примем, что функция отвечает кривошипно-ползунному механизму, для которого с достаточной точностью , где - фазовый сдвиг между механизмами и , ; - радиус кривошипа. Нарушение полной регулярности системы (квазирегулярность) проявляется на спектре «собственных» частот и внешних возмущениях. Как показал анализ, при частотном анализе определяющий характер имеет функция , от которой зависит приведенный к главному валу момент инерции модуля . После усреднения этой функции по длине главного вала имеем

(2)

При отсутствии фазовых сдвигов в формуле (2) следует принять и

Рассмотрим случай, когда функция является медленно меняющейся, т.е. при , где - низшая «собственная» частота привода. Согласно методу условного осциллятора для фиксированной частоты свободные колебания с достаточной точностью описываются как [4]:

, (3)

где - приведенное значение логарифмического декремента; - усредненное за период значение «собственной» частоты; - приведенный инерционный коэффициент. (Формула (3) отвечает дифференциальному уравнению второго порядка после перехода к «квазинормальным» координатам [7].)

При частотном и модальном анализе влиянием диссипативных сил можно пренебречь. Тогда согласно (3) при «переходе» через модуль амплитуды и моментов главного вала соответствуют следующей матричной рекуррентной зависимости (индекс опущен):

. (4)

Здесь индекс равен номеру модуля и отвечает соответствующему сечению главного вала, т.е. обобщенной координате с нечетным индексом ; - модифицированная матрица перехода [4,5].

Зависимости (4) можно рассматривать как однородную систему разностных уравнений, характеристические множители которой равны , где - след матрицы перехода . В частности, системе дифференциальных уравнений (1) соответствует

(5)

где

В зависимости от значения имеют место три случая. Наиболее важный и распространенный случай отвечает ; при этом характеристический множитель представляет собой взаимно сопряженные комплексные числа, и формы колебаний описываются тригонометрическими функциями. Для многосекционного привода, соединенного с двигателем посредством упругого элемента функция определяется из следующего трансцендентного уравнения:

(6)

где (В общем случае коэффициент жесткости соответствует динамической жесткости на входе регулярной части системы.)

Пусть - корни уравнения (6) . Тогда переменные «собственные» частоты описываются медленно меняющимися функциями, которые являются корнями биквадратного уравнения

(7)

где - номер формы колебаний главного вала (каждому значению соответствуют два значения ).

При формы колебаний описываются гиперболическими функциями, причем при амплитудные функции меняют свой знак при переходе через каждый модуль. Подобная ситуация возникает в окрестности значений [4,5].

Индекс отвечает номеру корня уравнения (7), а индекс - номеру формы. В нашем примере вторая частота соответствует низшему корню при второй форме колебаний (), а последующие несколько частот ( ) располагаются в зоне сгущения . Как показывает анализ, очередность форм колебаний при росте «собственных» частот зависит в основном от расположения точки сгущения .

Представляет интерес, что рассмотренная модель сложной структуры динамически эквивалентна колебательной цепочке, образованной упругими элементами с коэффициентами жесткости и некоторыми дисками с условными моментами инерции . При модулях более высокого порядка регулярности, присоединяемых к главному валу в нескольких сечениях, аналогичным образом определяются функции , после чего с помощью зависимости (5) можно осуществить приведение к рассмотренному выше случаю [8].

Условия динамической устойчивости в окрестности программного движения

В системах с переменными параметрами помимо параметрических резонансов наблюдаются локальные нарушения условий динамической устойчивости на конечном отрезке кинематического цикла даже при медленном изменении параметров. В подобных случаях зона нарастания свободных колебаний чередуется с зоной затухания, образуя своеобразную амплитудную модуляцию колебаний, которая существенно проявляется на уровне виброактивности машины. На основании (3) эти условия могут быть записаны как

цикловой автоматический программный орган

, (8)

где - логарифмический декремент и его критическое значение.

График критического значения логарифмического декремента

На рис. для рассмотренного выше примера приведены максимальные допустимые значения при и при фазовом сдвиге . Установлено, что эти значения существенным образом зависят от , что связано со снижением пульсации «собственных» частот (см. рис. 2, б). В частности, при в первом приближении имеем . Отметим, что этот вывод был использован для совершенствования динамических характеристик привода иглопробивной машины [8].

Неравенства вида (8), устанавливающие достаточные условия асимптотической устойчивости, могут быть также получены при произвольном характере изменения функции . При решении задачи снижения уровня колебаний в цикловых механизмах большую роль играют условия, исключающие возможность нарастания виброускорений. Можно показать, что затухающий характер виброускорений обеспечивается при [4,5].

Полученные условия играют особую роль при устранении зон нарастания свободных сопровождающих колебаний, вызванных импульсным возбуждением. Подобная ситуация нередко возникает из-за ударов при перекладке в зазорах кинематических пар и кратковременного приложения больших технологических сил.

Работа выполнена в рамках проекта Министерства образования и науки РФ по аналитической целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 годы)».

Список литературы

1. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. - М.: Наука, 1972. - 470 с.

2. Бидерман.Л В. Теория механических колебаний. - М.: Высшая школа, 1980. - 408 с.

3. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. - М.: Наука, 1997. - 496 с.

4. Вульфсон И.И. Колебания машин с механизмами циклового действия. - Л.: Машиностроение, 1990. - 309 с.

5. Vulfson I. Vibroactivity of branched and ring structured mechanical drives. - New York, Washington, London, 1989. - 99 p.

6. Вульфсон И.И. Колебания квазирегулярных систем, образованных идентичными цикловыми механизмами с фазовыми сдвигами кинематического возбуждения. - Проблемы машиностроения и надежности машин. 2003. №3. - С. 17-24.

7. Митропольский Ю.А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний. - М.: Наука, 1964. - 431 с.

8. Vulfson I.I., Dyatlova P.A. Analyses of vibrations of multimodule structured drives with cyclic mechanisms. - Proceedings of IX International Conference on the theory of machines and mechanisms. Liberec, 2004. - Pp. 823-828.

Размещено на Allbest.ru