Декомпозиция задачи силового анализа многоподвижного механизма параллельной структуры

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Декомпозиция задачи силового анализа многоподвижного механизма параллельной структуры

Х.М. Альван

А.В. Слоущ

В теории механизмов и машин задача силового анализа механизмов традиционно ставится следующим образом. При заданных внешних нагрузках и заданном движении механизма требуется определить обобщённые движущие силы и реакции во всех кинематических парах. Все звенья механизма считаются абсолютно твёрдыми телами, все кинематические пары - реализациями стационарных удерживающих голономных связей. Под определением реакций в кинематических парах понимается определение главных векторов и главных моментов этих реакций.

В такой постановке задача сводится к решению системы из N_у линейных уравнений кинетостатики с N_н неизвестными. Здесь N_у= 6n, где n - число подвижных звеньев механизма. Число неизвестных задачи N_н=w+6p, причём w -- число входов механизма (у нормального механизма оно равно числу степеней подвижности), а р - число его кинематических пар.

В случае предположения об идеальности связей, накладываемых кинематическими парами, часть реакций обращается в нуль, и при отсутствии в механизме избыточных связей и лишних степеней подвижности задача становится статически определимой. Проблема в том, что при большом числе звеньев число уравнений становится очень большим и система уравнений становится необозримой.

Обычно для декомпозиции задачи пользуются тем, что структурные группы, выделяемые при структурном анализе механизма, являются статически определимыми. Тогда задачу силового анализа можно решать для отдельных групп последовательно.

В случае, если механизм не может быть разбит на структурные группы или эти группы оказываются многозвенными, для декомпозиции задачи силового анализа может быть применён другой метод, основанный на уравнении Даламбера - Лагранжа (принципе возможных работ).

Рассмотрим манипулятор платформенного типа, подробно описанный в [1]. Кинематическая схема механизма изображена на рис. 1, а его структура - на рис. 2 в виде графа. Общее число звеньев механизма, включая стойку, чётноё, а число подвижных звеньев -- нечётное. Обозначим его через 2m-1 . Вершины графа обозначают звенья механизма. Здесь 0 - стойка, 1 - платформа, а вершины с номерами от 2 до 2m-1 - звенья опор («ног»). Кинематические пары, связывающие звенья манипулятора, изображаются дугами, причём каждой паре соответствует столько дуг, какова её подвижность.

Рис. 1

Рис. 2

Таким образом, каждая опора состоит из двух звеньев, связанных друг с другом одноподвижной кинематической парой (поступательной); с платформой каждая из опор связана трехподвижной (сферической) кинематической парой, а со стойкой - двухподвижной кинематической парой (сферической с пальцем).

Из m-1 опор шесть являются активными, т.е. звенья этих опор приводятся в относительное движение либо непосредственно двигателями, либо передаточными механизмами, так что относительные перемещения звеньев и есть обобщенные координаты. Прочие опоры пассивны, т.е. их звенья не связаны с двигателями. Таким образом, число подвижных звеньев механизма равно 2m-1, а общее число кинематических пар равно 3m-3, причём одно-, двух- и трёхподвижных пар поровну. Число степеней подвижности такого механизма согласно структурной формуле Сомова - Малышева определяется выражением

В случае, если m=9, т.е. число пассивных опор равно двум, число уравнений кинетостатики равно 102. Численное решение такой системы линейных уравнений не представляет трудностей, но её составление -- весьма кропотливая работа, чреватая ошибками.

Рассмотрим сначала пассивные опоры. Каждая из них представляет собой пространственную структурную группу и статически определима. Для определения всех её не равных нулю тождественно двенадцати реакций могут быть составлены двенадцать уравнений кинетостатики.

Определённые из этих уравнений реакции со стороны пассивных опор на платформу могут рассматриваться как дополнительные внешние силы и моменты. Оставшаяся часть механизма уже не может быть разбита на более простые структурные группы, и для её силового анализа необходимо составить и решить систему 78 уравнений с 78 неизвестными.

Для дальнейшей декомпозиции задачи воспользуемся принципом возможных работ. Рассмотрим одну из активных опор. В её кинематических парах действуют двенадцать не равных нулю тождественно неизвестных реакций. Кроме того, в одноподвижной кинематической паре действует еще и неизвестная обобщенная движущая сила, т.е. в каждой опоре действуют тринадцать неизвестных силовых факторов. Эти силовые факторы удовлетворяют двенадцати уравнениям кинетостатики, и таким образом опора статически неопределима. Число неизвестных можно уменьшить, если определить некоторые из них другим способом. Принцип возможных работ позволяет определить обобщённые движущие силы, не пользуясь уравнениями кинетостатики.

Введём следующие обозначения. Пусть -- столбец обобщённых координат, -- столбец активных нагрузок на i-ое звено, причём первые три составляющие есть проекции главного вектора активных внешних сил, приложенных к звену, а остальные -- проекции главного момента относительно центра масс внешних сил, приложенных к звену, на оси неподвижной системы координат. Положение i-го звена определяется столбцом , первые три составляющие которого представляют собой координаты центра масс i-го звена в неподвижной системе координат, а оставшиеся три характеризуют ориентацию системы координат, связанной со звеном, относительно неподвижной системы. Для определённости будем считать их углами Эйлера. Главный вектор и главный момент сил инерции i-го звена сведём в столбец , в котором первые три составляющие -- проекции главного вектора сил инерции, а оставшиеся три -- проекции главного момента сил инерции звена относительно центра масс на оси неподвижной системы координат.

В [1] описано получение соотношений:

 (1)

связывающих положение i-го звена с обобщёнными координатами. Здесь под понимается столбец из шести скалярных функций тех же аргументов. Предполагается, что номера звеньев, входящих в пассивные опоры, начинаются с 14 и положение механизма не является особым (сингулярным), т.е. якобианы систем уравнений (1) при всех отличны от 0:

Возможное перемещение i-го звена может быть записано как

а работа всех приложенных к нему сил (кроме движущих) на возможном перемещении

.

Здесь , причём три последних элемента этого столбца представляют собой проекции вектора малого поворота, соответствующего возможным изменениям углов Эйлера , на оси неподвижной системы координат. Как известно, (см., например, [2], §2.9):

;,

поэтому , где -- блочно-диагональная матрица:

Таким образом, . Сумма работ всех задаваемых сил и сил инерции (с учётом движущих сил) записывается в форме

, (2)

причём Q -- столбец обобщённых движущих сил.

Из соотношения (1) получаем

,

откуда

В этом случае

.

Согласно принципу возможных работ , откуда в силу независимости вариаций обобщённых координат следует:

.

Здесь

.

В ряде случаев задача может быть существенно упрощена. В частности, при вычислении обобщённых движущих сил иногда можно пренебречь активными внешними силами, приложенными к звеньям опор, а также силами инерции этих звеньев, малыми по сравнению с силами, приложенными к платформе. Тогда можно считать

.

При этом надо быть уверенным в том, что ни один из якобианов не обращается в нуль.

Рассмотрим опору с номером k. Её звенья имеют номера 2k и 2k+1. Введём локальную систему координат, жёстко связанную со звеном 2k. Ось z^(2k) направлена вдоль прямой, проходящей через центры кинематических пар, соединяющих опору со стойкой и платформой. Оси х^(2k) и у^(2k)направлены так, чтобы образовать правую тройку с осью z^(2k). Палец в кинематической паре, соединяющей опору со стойкой, не допускает поворота опоры вокруг оси z^(2k).

Пусть

- F_i -- столбец проекций главного вектора активных внешних сил и сил инерции, приложенных к i-му звену, на оси локальной системы координат;

- M_i -- столбец проекций главного момента относительно центра масс активных внешних сил и сил инерции, приложенных к i-му звену, на оси локальной системы координат;

- R_i,j -- столбец проекций главного вектора сил реакции, приложенных со стороны i-го звена к j-му на оси локальной системы координат;

- M_i,j -- столбец проекций главного момента относительно центра шарнира сил реакции, приложенных со стороны i-го звена к j-му на оси локальной системы координат.

На рис. 3 изображена схема приложения сил к опоре с номером k. На этом рисунке -- кинематическая пара, связывающая опору со стойкой; -- кинематическая пара, связывающая платформу со стойкой; и -- точки на звеньях и соответственно, расстояние между которыми равно q_k. Расстояния , и .

Используя модель кинематической пары как идеальной связи, запишем:

Таким образом, среди этих реакций имеется двенадцать неизвестных величин, связанных следующими уравнениями кинетостатики:

;

;

;

;

;

;

Можно показать, что эта система уравнений однозначно разрешима, если положение механизма не является особым.

Список литературы

кинематический пара голономный

1. Х.М. Альван, А.В. Слоущ. Об управлении движением пространственной платформы с несколькими степенями подвижности // Теория механизмов и машин. 2003, № 1, стр. 63-69.

2. А.И. Лурье. Аналитическая механика.- Физматгиз, М., 1961, 824 с.

Размещено на Allbest.ru