К аналитическому описанию геометрии касания поверхностей в высших кинематических парах

Зубчатые механизмы

Размещено на http://www.allbest.ru/

10

http://tmm.spbstu.ru

К АНАЛИТИЧЕСКОМУ ОПИСАНИЮ ГЕОМЕТРИИ КАСАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ВЫСШИХ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ПАРАХ

С.П. РАДЗЕВИЧ

Введение

Потребность в аналитическом описании геометрии касания двух гладких регулярных поверхностей возникает во многих инженерных приложениях. Множество примеров известно из области геометрического моделирования [1], [2], [3], в области обработки сложных (скульптурных) поверхностей деталей на многокоординатных станках с ЧПУ [3], [4] и др. Ниже внимание сконцентрировано на разработке однозначного аналитического описания геометрии касания двух гладких регулярных поверхностей, находящихся в первом порядке гладкости, т.е. когда касающиеся поверхности имеют только общую касательную плоскость Читатель, интересующийся вопросом аналитического описания геометрии касания поверхностей, находящихся во втором и более высоком (вплоть до бесконечности) порядке гладкости, может обратиться к обстоятельной монографии [5], где этот вопрос освещен исчерпывающе полно.. В такой постановке рассматриваемая задача представляет интерес для специалистов в области ТММ, в частности, занимающихся изучением контактных явлений в высших кинематических парах, например, в зубчатых передачах. Решение задачи может быть использовано при разработке TCA (Tooth Contact Analysis) компьютерных программ, для решения задачи глобального синтеза пространственных зубчатых зацеплений и др.

Задача контактного взаимодействия упругих тел в первом приближении была решена Герцем [6]. Для решения задачи Герц ввел понятие поверхности приведенной кривизны, что позволило перейти от рассмотрения двух контактирующих поверхностей к рассмотрению одной поверхности - поверхности приведенной кривизны. Такой переход заметно упрощает решение контактной задачи.

Анализ известных методов аналитического описания геометрии касания гладких регулярных поверхностей [7], дополненный результатами последних исследований [8] и обзором в [9], [10], показывает, что при решении контактных задач теории упругости по-прежнему превалируют методы, основанные на использовании поверхности приведенной кривизны. Более того, даже в совсем недавно изданной монографии [11], освещение этой важной проблемы существенно не отличается от опубликованного по этому вопросу много лет тому назад [12].

Практическая потребность в точном решении задачи аналитического описания геометрии касания поверхностей в высших кинематических парах инициировала выполнение исследований в этом направлении [13]. Изначально целью исследования являлась разработка геометрии касания поверхностей применительно к решению задачи синтеза наивыгоднейших методов и средств обработки сложных поверхностей деталей на многокоординатных станках с ЧПУ [4], [13].

Относительная локальная ориентация контактирующих поверхностей в высших кинематических парах

Разрабатывая метод аналитического описания геометрии касания, исходим из того, что обе контактирующие поверхности и заданы аналитически, а форма их задания приведена к виду

кинематический упругий тело поверхность

, (1)

где - радиус-вектор текущей точки на поверхности , и - криволинейные (гауссовы) координаты точки на поверхности (, ).

К подобному же виду

(2)

приведено уравнение и второй из контактирующих поверхностей .

Уравнения (1) и (2) позволяют по известным [4] формулам рассчитать коэффициенты первых двух основных квадратичных форм , и , поверхностей и .

Приведение поверхностей Р и Т к общей системе координат

Как правило, контактирующие поверхности и изначально заданы каждая в своей системе координат и соответственно. Для решения рассматриваемой задачи необходимо привести контактирующие поверхности к некоторой общей системе координат. В качестве общей системы координат используется подвижный репер - локальная система координат с началом в точке касания поверхностей и . Оси и направлены вдоль главных направлений и на поверхности (здесь и - единичные векторы главных направлений), ось направлена вдоль контактной нормали от тела, ограниченного поверхностью (здесь , где единичные векторы направлений и соответственно равны , , а и ). Таким образом, локальная система координат представляет собой трехгранник Дарбу. Использование трехгранника Дарбу в качестве общей системы координат для представления поверхностей и позволяет избежать громоздких выражений и существенно упрощает математические преобразования.

Операторы и результирующего преобразования координат - перехода от систем координат и к общей локальной системе координат производится по обобщенной формуле

.

Эта формула удобна при разработке компьютерных программ, когда преобразования координат требуется выполнять многократно. Решение задачи синтеза высших кинематических пар, например, пространственных зубчатых зацеплений, неразрывно связано с многократными преобразованиями координат как в прямом, так и в обратном направлениях.

Здесь обозначено - оператор Подробнее об операторах переноса , поворота и результирующего преобразования координат см. [4]. го переноса вдоль оси координат , - оператор го поворота вокруг оси координат . Оператор обладает тем свойством, что один из образующих его операторов или равен единичной матрице , тогда как другой не равен единичной матрице .

Зубчатые механизмы

Размещено на http://www.allbest.ru/

10

http://tmm.spbstu.ru

После приведения к общей системе координат , уравнения поверхностей и находятся как произведения

и .

Далее считаем, что поверхности и приведены к общей локальной системе координат .

Угол относительной локальной ориентации поверхностей Р и Т в точке К

Условия контакта в высшей кинематической паре зависят как от локальной геометрии самих контактирующих поверхностей, так и от их локальной ориентации. При разной относительной локальной ориентации одни и те же контактирующие поверхности и обладают различной несущей способностью.

В общей точке для каждой из находящихся в контакте поверхностей и могут быть рассчитаны главные направления, единичные векторы которых обозначим через , и , соответственно (рис. 1). Формулы для расчета единичных векторов , и , имеются во многих источниках, например в [4].

Угол относительной локальной ориентации поверхностей и в точке определен как угол между первыми и (или, что то же самое, между вторыми и ) главными направлениями поверхностей и в точке . Исходя из этого можно записать, что

, , .

По аналогичным формулам угол может быть выражен через векторы вторых главных направлений и .

Индикатриса конформности в точке касания гладких регулярных поверхностей

Известны ([7], [8], [9], [10], [11], [12], [14]) различные подходы к количественной оценке степени конформности контактирующих поверхностей высших кинематических пар или, иными словами, к степени полноты их прилегания одна к другой в дифференциальной окрестности точки . Опуская сопоставительный анализ различных методов, их преимуществ и недостатков, перейдем к рассмотрению индикатрисы конформности гладких регулярных поверхностей в точке их касания. Для этого целесообразно кратко рассмотреть индикатрису Дюпена в неособой точке гладкой регулярной поверхности.

Индикатриса Дюпена

Распределение нормальных кривизн в неособой точке гладкой регулярной поверхности (так же, как и поверхности ) описывается индикатрисой Дюпена, которая представляет собой плоскую центрально- и зеркально-симметричную кривую второго порядка. В общем виде уравнение индикатрисы Дюпена в некоторой точке поверхности может быть записано в форме

, (3)

где , , - коэффициенты первой , а , , - коэффициенты второй основных квадратичных форм поверхности .

Как любая квадратичная форма, уравнение (3) индикатрисы Дюпена допускает матричное представление

, (4)

которое удобно использовать при многократных преобразованиях координат. При ортогональной (, )-параметризации поверхности уравнения (3) и (4) заметно упрощаются.

Если поверхность рассечь пучком плоскостей, проходящих через нормаль к поверхности в заданной ее точке (рис. 2), то распределение нормальных кривизн поверхности в дифференциальной окрестности точки описывается уравнением (3) и (4) индикатрисы Дюпена.

Уравнения, аналогичные уравнениям (3) и (4), могут быть записаны и для второй из контактирующих поверхностей.

Уравнение индикатрисы конформности

В качестве количественной меры степени конформности поверхностей и в точке принята алгебраическая сумма радиус-векторов соответствующих точек индикатрис и .

В полярных координатах характеристическая кривая допускает представление в виде

, (5)

где - полярный угол.

Аналогично для индикатрисы поверхности можно записать, что

. (6)

В уравнении (6) отражено, что в общем случае поверхности и развернуты одна относительно другой на угол .

Уравнения (5) и (6) дают возможность в таком виде записать уравнение индикатрисы

Зубчатые механизмы

Размещено на http://www.allbest.ru/

10

http://tmm.spbstu.ru

конформности в точке (рис. 3)

. (7)

Далее необходимо записать уравнения характеристических кривых и в общей системе полярных координат и подставить найденные значения и в уравнение (7). Если после этого вернуться к локальной системе координат , то уравнение индикатрисы конформности можно будет записать так Впервые это уравнение опубликовано (в неявной форме) в описании изобретения к а.с. №1185749 (СССР). Способ обработки деталей, ограниченных поверхностями сложной формы./ С. П. Радзевич. Заявлено 24 октября 1983г. - МКИ⁴ B23C 3/16; и позднее (в явной форме) в описании изобретения к а.с. №1249787 (СССР). Способ обработки деталей, ограниченных поверхностями сложной формы./С. П. Радзевич. Заявлено 27 ноября 1984г. - МКИ⁴ B23C 3/16.

(8)

,

где , - коэффициенты первой , а , , - коэффициенты второй основных квадратичных форм поверхности .

При заданном угле уравнение (8) количественно описывает степень конформности поверхностей и в текущем плоском нормальном сечении, проходящем через точку их касания или, иными словами, в текущем направлении .

Индикатриса конформности представляет собой плоскую центрально-симметричную кривую четвертого порядка. В частных случаях эта характеристическая кривая обладает также и зеркальной симметрией.

Пример. В качестве иллюстративного примера рассмотрим построение индикатрисы конформности для случая касания поверхностей и , локальные участки которых в точке являются выпуклыми локальными участками эллиптического типа. Главные радиусы кривизны контактирующих поверхностей в точке соответственно равны , , , .

Поверхности и развернуты одна относительно другой на угол относительной локальной ориентации, равный .

Локально такие поверхности описываются квадриками

;

,

по уравнениям которых рассчитываются коэффициенты первых двух основных квадратичных форм , и , .

Выполнив необходимые преобразования, приходим к уравнению индикатрисы конформности , графическая интерпретация которого представлена на рис. 4. Там же для сравнения показаны индикатрисы Дюпена и , построенные для этих же поверхностей и .

Поверхность приведенной кривизны определена уравнением вида

.

Здесь и - главные кривизны поверхности приведенной кривизны . Они находятся как экстремальные значения функции [4]:

. (9)

Функция (9) составлена на основании формулы Эйлера

,

исходя из выполнения условия .

В рассматриваемом примере индикатрисы кривизны и представляют собой эллипсы с главными полуосями, соответственно равными , и и . Главные направления и квадрики , также как и главные направления и квадрики взаимно-ортогональны ( и ). Угол между главными направлениями и (так же как и угол между главными направлениями и ) равен углу относительной локальной ориентации.

Индикатриса кривизны поверхности приведенной кривизны также представляет собой эллипс . Его полуоси соответственно равны и . Главные направления и квадрики взаимно-ортогональны (). Они составляют углы

с соответствующими главными направлениями и [4]. Ортогональность направлений и численно подтверждается тем, что модуль разности равен .

Индикатриса конформности позволяет рассчитать направления и , в которых поверхности и достигают соответственно минимальной и максимальной степени конформности. Количественной мерой степени конформности служат экстремальные значения и диаметров характеристической кривой .

Принципиально важно отметить, что:

а) направления и , в которых степень конформности поверхностей и достигает экстремальных значений, в общем случае взаимно-неортогональны;

б) направление не совпадает с первым главными , а направление не совпадает со вторым главными направлениями поверхности приведенной кривизны ; они также не совпадают с главными направлениями собственно поверхностей и .

Несовпадение главных направлений и с направлениями и экстремальной степени конформности является следствие низкого (второго) порядка индикатрисы Дюпена, тогда как характеристическая кривая является кривой четвертого порядка. Это существенно расширяет ее потенциальные возможности как характеристической кривой для аналитического описания геометрии касания гладких регулярных поверхностей высших кинематических пар.

Поэтому сделанный Герцем переход от рассмотрения двух контактирующих поверхностей и к одной поверхности приведенной кривизны правомерен только в случаях, когда главные направления и одной из контактирующих поверхностей совпадают При этом порядок совпадения главных направлений не существенен: первое главное направление поверхности может совпадать либо с первым , либо со вторым главным направлением поверхности , также как и второе главное направление поверхности может совпадать либо со вторым , либо с первым главным направлением той же поверхности . с главными направлениями и другой поверхности , или когда рассматривается контакт поверхностей относительно простой формы: “плоскость-сфера”, “плоскость-цилиндр”, “сфера-сфера” и некоторых других вырожденных случаях контакта. В общем случае контакта в высших кинематических парах, например, для случаев контакта поверхностей зубьев в гипоидных передачах и др., подобная замена приводит к недопустимо большим погрешностям при расчете размеров и ориентации пятна контакта, направлений осей

Зубчатые механизмы

Размещено на http://www.allbest.ru/

10

http://tmm.spbstu.ru

пятна контакта, контактных давлений и их распределения в пределах пятна контакта. Это следствие того, что элементы высших кинематических пар изготавливаются из материалов с высоким модулем упругости, что делает высшие кинематические пары весьма чувствительными даже к незначительным отклонениям при решении геометрической части задачи упругого контакта.

Геометрия касания поверхностей и существенно зависит от величины угла относительной локальной ориентации этих поверхностей. Варьируя величиной угла , можно управлять степенью конформности контактирующих поверхностей, достигая ее максимального, минимального или другого требуемого (оптимального) значения. Зависимость степени конформности поверхностей и от величины угла наглядно иллюстрируется рис. 5.

Для высших кинематических пар, например для поверхностей зубьев колес в пространственных зацеплениях, величина угла может быть изменена за счет соответствующего изменения конструктивных параметров шестерни и зубчатого колеса. Отсуюда однозначно следует возможность решения обратной задачи - задачи синтеза (причем, не только локального, но и глобального синтеза) пространственных зацеплений с наперед заданными (оптимальными) эксплуатационными свойствами.

Изложенное дает основание рассмотреть возможность разработки методов решения контактной задачи теории упругости, перейдя от рассмотрения пятна контакта в форме эллипса, к рассмотрению пятна контакта более сложной формы, главные оси которого (направления экстремальной степени конформности поверхностей и ) в общем случае взаимно-неортогональны. Это может оказаться существенным ввиду больших значений модуля упругости материалов, из которых изготовлены высшие кинематические пары, и, следовательно, высокой чувствительности высших кинематических пар даже к небольшим отклонениям в форме пятна контакта, принятой для расчета, относительно фактической его формы.

О возможности решения задачи синтеза высших кинематических пар с наперед заданными эксплуатационными свойствами

Схематически задача синтеза механизма с высшей кинематической парой, например, пространственного зубчатого зацепления (гипоидной передачи) с наперед заданными эксплуатационными параметрами, может быть решена в такой последовательности:

а) аналитически описывается исходная поверхность инструмента для обработки зубчатого колеса и шестерни; параметры поверхности рассматриваются как нефиксированные, значениями которых можно варьировать;

б) поверхности зубьев колеса/шестерни находятся в общем виде как огибающие последовательных положений поверхности в ее движении относительно систем координат, с которыми впоследствии будут связаны поверхности зубьев колеса/шестерни;

в) контактирующие поверхности зубьев колеса/шестерни приводятся к общей системе координат;

г) находится уравнение индикатрисы конформности поверхностей зубьев колеса и шестерни, которое представлено в функции конструктивных параметров поверхности зуборезного инструмента и параметров его движения в процессе обработки колеса/шестерни;

д) находится уравнения траекторий движения контактной точки по боковой поверхности зубьев колеса/шестерни;

е) производится оптимизация параметров индикатрисы конформности - для этого по экспериментальным данным (в условиях моделирования квадриками Аналогично способу моделирования механической обработки по а.с. №1449246 (СССР). Способ моделирования обработки пространственных поверхностей деталей./С.П. Радзевич. - Заявлено 08 сентября 1988г. - МКИ⁴ B23C 3/16.) определяются наивыгоднейшие с эксплуатационной точки зрения значения параметров , и индикатрисы конформности для каждой точки линии контакта;

ж) по найденным оптимальным значениям , и решается обратная задача [т.е. задача, обратная задаче, решенной на этапах (a)- (д)]. В результате решения обратной задачи находятся такие параметры поверхности зуборезного инструмента для нарезания колеса/шестерни и наладки зуборезного станка, которые обеспечивают оптимальные значения , и .

Рассмотренный подход позволяет решить задачу глобального синтеза пространственного зубчатого зацепления с наперед заданными эксплуатационными параметрами, также как и задачу изготовления колеса/шестерни как в случае номинальных поверхностей зубьев, так и в случае требуемой их модификации, включая и топологическую модификацию зубьев.

Индикатриса конформности гладких регулярных поверхностей в точке их касания (как и разработанные впоследствии другие характеристические кривые подобного назначения) изначально была разработана для решения задачи синтеза наивыгоднейших методов и средств обработки сложных поверхностей деталей на многокоординатных станках с ЧПУ, и синтеза методов и средств обработки деталей общемашиностроительного назначения при сложной кинематике обработки или при обработке сложными инструментами и т.п. Примеры практического применения рассмотренного подхода к аналитическому описанию геометрии касания гладких регулярных поверхностей для решения подобных задач в различных областях машиностроения известны из литературы [15],[16],[17],[18],[19] и др. Вместе с тем, время показывает, что возможности применения характеристической кривой могут быть расширены. В частности, она может быть использована для решения задачи повышения эффективности высших кинематических пар.

Выводы

Выполнен краткий анализ методов аналитического описания геометрии касания поверхностей в высших кинематических парах. Показана ограниченность применения поверхности приведенной кривизны для решения контактной задачи теории упругости применительно к общему случаю касания поверхностей в высших кинематических парах. Приведено уравнение характеристической кривой нового типа - индикатрисы конформности в точке касания гладких регулярных поверхностей. Показано, что индикатриса конформности однозначно определяет экстремальные направления полноты прилегания поверхностей в самом общем случае их касания. Уравнение этой характеристической кривой может быть использовано для решения задачи глобального синтеза пространственных зубчатых передач с наперед заданными эксплуатационными свойствами, при разработке аналитических методов решения контактных задач теории упругости и др.

Список литературы

1. Mortenson M. Geometric Modeling, New York: John Wiley & Sons, 1985, 763 p.

2. Mortenson M. Mathematics for Computer Graphics Applications, 2^nd edition, Industrial Press, New York, 1999, 354 p.

3. Marciniak K. Geometric Modelling for Numerically Controlled Machining, Oxford, Oxford University Press, 1991, 245 p.

4. Радзевич С.П. Формообразование поверхностей деталей. Основы теории. Монография. Киев: Растан, 2001. 592 с. http://www.cse.buffalo.edu/~var2/ и/или http://www.tractech.com/docs/Radzevich-SP-Monograph-2001.pdf.

5. Фавар Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии. М.: Изд. иностр. лит., 1960. 560 с.

6. Hertz H. “Ьber die Berьhrung Fester Elastischer Kцrper (The Contact of Solid Elastic Bodies)”, Journal fьr die Reine und Angewandte Mathematik (Journal for Pure and Applied Mathematic), Berlin, 1981, pp.156-171; Ьber die Berьhrung Fester Elastischer Kцrper und Ьber die Hдrte (The Contact of Solid Elastic Bodies and Their Harnesses), Berlin, 1882; Reprinted in: H.Hertz, Gesammelte Werke (Collected Works), Vol. 1, pp. 155-173 and pp. 174-196, Leipzig, 1895, or the English translation: Miscellaneous Papers, translated by D.E. Jones and G.A. Schott), pp.146-162, 163-183, London: McMillan and Co., Ltd., 1896.

7. Радзевич С.П. Методы исследования условий касания сложной поверхности детали и исходной инструментальной поверхности. Монография. Киев: УкрНИИНТИ, №759-Ук-88, 1987. 104 с.

8. Шевелева Г.И. Теория формообразования и контакта движущихся тел. М.: Изд-во "СТАНКИН", 1999. 494 c.

9. Radzevich S.P. “Mathematical Modeling of Contact of Two Surfaces in the First Order of Tangency”, Mathematical and Computer Modeling, Vol. 39, 2004, pp.1083-1112.

10. Radzevich S.P. “On a Possibility of Application of Plьcker's Conoid for Mathematical Modeling of Contact of Two Smooth Regular Surfaces in the First Order of Tangency”, Mathematical and Computer Modeling, Vol. 00, 2005, (In press).

11. Litvin F.L., Fuentes A. Gear Geometry and Applied Theory, 2^nd Edition, Cambridge University Press, Cambridge, 2004, 800 p.

12. Литвин Ф.Л. Теория зубчатых зацеплений. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Наука, 1968 (первое издание 1960). 584с.

13. Радзевич С.П. Дифференциально-геометрический метод формообразования поверхностей при механической обработке деталей. Автореф. дисс. … д-ра техн. наук. Тула, ТулПИ, 1991. 48 с.

14. Лопато Г.А., Кабатов Н.Ф., Сегаль М.Г. Конические и гипоидные передачи с круговыми зубьями. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Машиностроение, 1977. 423 с.

15. Радзевич С.П., Палагута В.А. “Синтез наивыгоднейшего процесса шевингования цилиндрических зубчатых колес”. Вестник машиностроения, 1997, №8, с. 36-41.

16. Палагута В.А. Разработка и исследование методов повышения производительности чистовой обработки цилиндрических зубчатых колес дисковыми обкаточными инструментами. Автореф. дисс.... канд. техн. наук. Киев: Киевск. политехн. ин-т, 1995. 24 с.

17. Радзевич С.П. “Профилирование фасонных инструментов для обработки сложных поверхностей на многокоординатных станках с ЧПУ”. Станки и инструмент, №7, 1989, с. 10-12.

18. Радзевич С.П. Способ профилирования инструмента. Заявка на изобретение №4242296.08. Заявлено 31.03.1987.

19. Радзевич С.П. Новые достижения в области обработки деталей сложной формы на станках с ЧПУ. М.: ВНИИТЭМР, 1987. 48 с.

Размещено на Allbest.ru