Математическое и компьютерное моделирование динамики локализованных сферических возмущений пространственно-плоской вселенной Фридмана

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Эль Махи Нурдин

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ ПРОСТРАНСТВЕННО-ПЛОСКОЙ ВСЕЛЕННОЙ ФРИДМАНА

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Ульяновск - 2008

Работа выполнена на кафедре геометрии математического факультета в ГОУ ВПО “Татарский государственный гуманитарно - педагогический университет”

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Игнатьев Юрий Геннадевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Балакин Александр Борисович,

доктор физико-математических наук, профессор Червон Сергей Викторович

Ведущая организация: ГОУ ВПО Российский университет дружбы народов

Защита состоится "18" июня 2008 г. в "11³⁰" часов на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при Ульяновском государственном университете по адресу: Набережная реки Свияга, 106, кор. 1, ауд. 703.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета, с авторефератом на сайте http://www.uni.ulsu.ru.

Автореферат разослан "_____" _______________ 2008 г.

Просьба прислать отзыв на автореферат в одном экземпляре, заверенном печатью организации по адресу: 432000, г. Ульяновск, ул. Л.Толстого, д. 42, УлГУ, Управление научных исследований.

Ученый секретарь диссертационного совета - Волков М.А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

моделирование сферический возмущение вселенная

Актуальность темы. Известна и общепризнана роль линейной теории гравитационной неустойчивости однородной изотропной вселенной, развитой в работах Е.М. Лифшица Лифшиц. Е.М. ЖЭТФ, 1946, 116., Е.М. Лифшица и И.М. Халатникова Лифшиц Е.М., Халатников И.М. УФН, 1963, =180, 21. (см. также Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теория поля. M.: Наука, 1973.), в современной теории образования крупномасштабной структуры вселенной. Одним из основных положений линейной теории гравитационных возмущений однородной изотропной вселенной является положение о волновом представлении возмущений компонент метрики и физических величин. Как известно, плосковолновое разложение возмущений во вселенной, имеющей конечную историю, при попытке описать динамику возмущений с момента сингулярного состояния вступает в противоречие с принципом причинности. Следует отметить, что в современной космологии существуют модели, снимающие противоречие линейно-волновой теории возмущений принципу причинности. Все эти модели так или иначе связаны с введением так называемого инфляционного этапа расширения вселенной, когда скорость расширения экспоненциально большая, что дает возможность, в принципе, на этом этапе причинно связаться областям за световым горизонтом. Однако, и эта инфляционная модель в последнее время сталкивается со значительными трудностями и претерпевает вынужденные модификации под давлением новых экспериментальных и наблюдательных фактов. С другой стороны принцип причинности применительно к космологии с конечным временем жизни вселенной удовлетворительно согласуется с представлением о первоначальных локализованных внутри светового горизонта возмущениях. При эволюции таких возмущений первоначальное отличие симметрии возмущений от сферической будет играть все меньшую роль с ростом космологического времени. Такие гравитационные возмущения, возникшие на весьма ранних, например, планковских временах, с течением времени должны восстанавливать сферическую симметрию. При рассмотрении проблемы динамики сферических возмущений однородной изотропной вселенной важнейшую роль играет учет сохранения полной энергии-массы изотропного мира. Ньютоново поле избыточной сферической массы с самого начала вселенной должно присутствовать на бесконечности и никуда исчезнуть не может. Существование такого поля нарушает как принцип однородности вселенной, так и принцип причинности. Таким образом, возникает понятие локализованного возмущения, полная энергия-масса которого должна быть равна нулю, так что вне области возмущения внешние наблюдатели не смогут получить информации о нем. Несмотря на множество исследований по точным и численным решениям уравнений Эйнштейна для сферической симметрии, задача о локализованных сферических возмущениях практически не исследовалась. Задача в такой постановке впервые рассматривалась Ю.Г. Игнатьевым и А.А. Поповым Ю.Г.Игнатьев, А.А.Попов. Известия ВУЗов, Физика,1989, № 5, с. 82-87^, Yu.G.Ignat'ev and A.A.Popov. Astrophysics and Space Science,1990, Vol 163, pp. 153-174.^, Yu.G.Ignat'ev, A.A.Popov. Physics Letters A, 1996, Vol. 220, pp.22-29 в связи с проблемой построения модели массивных гравитирующих частиц и проблемы усреднения микроскопической метрики. Таким образом, проблема построения и исследования динамических моделей локализованных сферических возмущений актуальна как для статистической теории гравитационного взаимодействия, так и для космологии ранних стадий вселенной. Необходимо отметить, что решение проблемы динамики локализованных сферических возмущений актуальна и интересно и для самого математического моделирования, поскольку в решении этой проблемы сталкиваются как классические методы математической физики и математического моделирования, так и современные численные и компьютерные методы исследований.

Объектом исследования диссертационной работы локально изотропная космологическая самогравитирующая идеальная жидкость с линейным уравнением состояния и произвольным коэффициентом баротропы. Предметом исследования является математическое моделирование динамики развития локализованных сферически-симметричных возмущений в космологических моделях Фридмана.

Цели и задачи исследования. Цель диссертационной работы заключается в построении и исследовании методами математического моделирования и компьютерной математики динамических моделей локализованных сферических возмущений однородной и изотропной пространственно плоской вселенной а также в проведении численного моделирования полученных решений и исследовании на его основе динамики локализованных возмущений, сравнении полученных результатов с результатами других авторов и анализе общих свойств полученных моделей.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы математической физики, теории специальных функций, тензорного анализа, вычислительной математики и математического анализа. Для программной реализации алгоритмов использован аппарат численного математического моделирования и пакеты прикладных программ компьютерной математики.

Научная новизна. Впервые строго поставлена задача о построении математической модели малых локализованных сферических возмущений однородного изотропного мира, сформулированы основные уравнения и соотношения этой модели. При этом в изотропных координатах проведены линеаризация и упрощение этой модели к двум линейным дифференциальным уравнениям в частных производных. Проведено выделение сингулярной части решения, ответственного за центральный частицеподобный источник, доказана единственность этого выделения. В результате для баротропного уравнения состояния среды математическая модель сведена к двум уравнением, из которых первое - обыкновенное линейное однородное дифференциальное уравнение определяет эволюцию массы центрального источника, а второе - дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка определяется решениями первого и описывает гравитационный потенциал возмущения. Построены запаздывающие решения класса в виде полиномов радиальной переменной, доказана их нечетность по этой переменной. В случае ультрарелятивистского уравнения состояния доказана теорема о том, что запаздывающие полиномиальные решения могут быть только третьего порядка и должны совпадать с решениями, найденными ранее в работах Ю.Г.Игнатьева и А.А.Попова. Найден класс автомодельных локализованных запаздывающих решений. Доказано, что при отсутствии частицеподобного источника запаздывающие автомодельные решения отсутствуют. При наличии частицеподобного источника решения задачи выражены через гипергеометрические функции. Найдены их представления через элементарные функции в ряде предельных значений коэффициента баротропы. Показано, что в случае нерелятивистского и ультрарелятивистского уравнений состояния решения сводятся к полученным ранее Ю.Г. Игнатьевым и А.А. Поповым, а при превышении значения показателя баротропы поведение решений качественно меняется, - вторые радиальные производные метрики, а вместе с ними возмущения плотности энергии и радиальной скорости терпят разрыв на звуковом горизонте. Построены численные и компьютерные модели для автомодельных решений.

Научная и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут найти применение в исследованиях по теории гравитации, релятивистской космологии и астрофизике, а также в теории фундаментальных взаимодействий элементарных частиц.

Основные положения, выносимые на защиту:

· Математическая модель динамики локализованных сферически симметричных возмущений пространственно-плоского мира Фридмана с частицеподобным источником.

· Построение и исследование общего запаздывающего решения уравнений модели с нулевыми граничными условиями класса на гиперповерхности нулевого звукового фронта.

· Теорема о единственности полученного Ю.Г.Игнатьевым и А.А.Поповым запаздывающего решения в случае ультрарелятивистского уравнения состояния.

· Точное автомодельное запаздывающеее решение уравнений модели для произвольного коэффициенты баротропы и представление его через гипергеометрические функции.

· Комплексное исследование автомодельного решения аналитическими и компьютерными методами, компьютерные модели динамики локализованных сферических возмущений.

Степень обоснования результатов диссертации. обусловлена корректностью построения математических моделей физических систем; корректностью проведенных математических преобразований и расчетов; корректным воспроизведением некоторых известных ранее частных результатов из более общих результатов, полученных в диссертационной работе.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Российском семинаре “Методы информационных технологий, математического моделирования и компьютерной математики в фундаментальных и прикладных научных исследованиях” (Казань, 2007 г.), на Российской школе-семинаре “Современные теоретические проблемы гравитации и космологии” (Казань, 2007 г.), на научных семинарах лаборатории математического моделирования и систем компьютерной математики ТГГПУ, а также на научных семинарах кафедры геометрии Татарского государственного гуманитарно - педагогического университета.

Личный вклад автора. Все основные результаты работы получены лично автором. В работах, выполненных совместно с научным руководителем, Ю.Г.Игнатьеву принадлежат постановка задачи и обсуждение результатов. Использованные материалы других авторов помечены ссылками.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 5 работ в отечественных и международных изданиях, их список помещен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из Введения, четырех Глав, Заключения, Списка литературы, содержащего 84 наименования, и одного Приложения. Объем диссертации составляет 128 страниц. В диссертации содержатся 32 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении дается общая характеристика современного состояния проблемы построения модели динамики локализованных сферически - симметричных возмущений мира Фридмана и определены цели диссертации.

Первая глава носит обзорный характер, - в ней кратко описана математическая модель однородной и изотропной вселенной и модель Лифшица линейных плоских возмущений вселенной Фридмана. Далее в этой же главе дан краткий обзор основных работ по решению уравнений Эйнштейна для сферической симметрии, приведены как статические, так и нестатические решения. В этой же главе описаны результаты работ Ю.Г.Игнатьева и А.А.Попова по построению математических моделей локализованных сферических возмущений и применению этих моделей в статистической теории гравитационного взаимодействия.

Глава 2 диссертации посвящена формулировки основных уравнений и соотношений математической модели динамики линейных локализованных сферических возмущений однородного изотропного мира Фридмана. В отличии от работ большинства авторов исследование проводится не в синхронной с возмущениями системой отсчета, в синхронной с невозмущенным решением системе отсчета, реализуемой в изотропных координатах. В частности, проводится разложение уравнений Эйнштейна по малости сферических возмущений в изотропных координатах, их исследование и упрощение с учетом глобальных свойств модели. Показано, что всю систему уравнений Эйнштейна для малых возмущений можно свести к двум независимым линейным дифференциальным уравнениям в частных производных, (1), (2):

(1)

(2)

при этом физические величины возмущений полностью определяются решением указанных уравнений, в частности, уравнение (3) является определением радиальной скорости, :

(3)

Одно из уравнений (1),(2) определяет возмущение плотности энергии, .

Далее проводится выделение частицеподобного члена в решении, соответствующего сингулярной части плотности энергии. В разделе II.3.3. доказывается теорема об однозначности выделения сингулярности.

Теорема. Линейные сферически - симметричные возмущения метрики Фридмана описываются системой двух независимых линейных однородных уравнений (4),(5):

(4)

(5)

относительно двух функций и , несингулярной в начале координат. Сферически - симметричные возмущения плотности энергии и скорости определяются через возмущения метрики соотношениями (6), (7) :

(6)

(7)

В результате основные уравнения модели сведены к двум: одному обыкновенному линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка (4), описывающего эволюцию массы центрального частиподобного источника, и одному замкнутому линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка в частных производных относительно потенциальной функции возмущения (5). Показано, что для локализованных возмущений решение уравнения (5) определяются посредством начально-граничных условий через решения (4). Проводится моделирование эволюционного уравнения для массы частицеподобного источника. Далее во Второй Главе проводится постановка задачи Коши для локализованных сферических возмущений и находится ее решение в виде интеграла Фурье.

Глава 3 диссертации посвящена исследованию запаздывающих решений уравнений модели в классе функций, представимых полиномами радиальной переменной внутри области локализации возмущения. Сформулирована задача с начально-граничными условиями для сферических локализованных возмущений. На основе общего анализа показано, что такие решения могут быть только нечетными по радиальной переменной. В результате исследования получены общие рекуррентные отношения на коэффициенты полиномиальных функций. Точные запаздывающие решения на таком пути удается получить лишь в случае ультрарелятивистского уравнения состояния . Доказано, что в этом случае запаздывающие решения могут представляться лишь полиномом третьей степени. Таким образом, доказана теорема, о том, что математическая модель локализованных запаздывающих линейных возмущений для ультрарелятивистской среды может лишь совпадать с решением, полученным ранее, как частным, в цитированных выше работах Ю.Г.Игнатьева и А.А. Попова:

(8)

. Таким образом, результат цитированных работ, полученный как частный, оказался универсальным. Кроме того в отличие от цитированных работ в третьей Главе построены численные компьютерные модели, в том числе и анимационные, динамики возмущений (Рис. 1-2).

Рис.1. Кадры трехмерной анимационной модели эволюции метрической функции ш(r,з): 1 - з=0.5; 2 - з=1,5; 3 - з=3.

Рис.2. Кадры трехмерной анимационной модели эволюции плотности энергии возмущения, де(r,з): 1 - з=0.5; 2 - з=1,5; 3 - з=3.

Глава 4 диссертации посвящена поиску класса автомодельных решений системы дифференциальных уравнений модели и исследованию этих решений комплексным применением аналитических и численных компьютерных методов исследования в системе компьютерной математики,(СКМ). Доказано, теорема о том, что не существует локализованных запаздывающих автомодельных решений в классе функций без центрального частицеподобного источника. В случае наличия центрального частицеподобного источника построено и исследовано точное локализованное автомодельное запаздывающее решение класса для произвольного коэффициента баротропы:

(9)

где F(б,в,г,z) - гипергеометрическая функция.

Рис.3. Нормированная функция . В левой части рисунка снизу вверх: .

Вычислены и исследованы физические характеристики материальной среды - ее радиальная скорость и плотность энергии.

Построены компьютерные модели динамики возмущений.

Показано, что при показателе баротропы найденные запаздывающие автомодельные решения имеют непрерывные вторые производные на звуковом горизонте, при вторые производные претерпевают на звуковом горизонте конечный скачок, а при - бесконечный. Аналогично ведут себя и физические характеристики среды.

Рис.4. Эволюция приведенной относительной плотности энергии возмущения,, как функция при . Слева направо: .

Выражение для радиальной скорости возмущения, принимает вид:

(11)

Из этого выражения также видно, что радиальная скорость отрицательна, и ее профиль остается постоянным в масштабе , а абсолютная величина скорости падает обратно пропорционально .

Рис.5. Зависимость профиля радиальной скорости возмущения,, от коэффициента баротропы. при . Снизу вверх:

В Заключении кратко перечислены основные новые результаты диссертационной работы.

В Приложении A описаны программные процедуры в системе компьютерной математики для компьютерного моделирования динамики локализованных сферических возмущений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

· Поставлена задача о построении математической модели малых локализованных сферических возмущений однородного изотропного мира, сформулированы основные уравнения и соотношения этой модели. В изотропных координатах проведены линеаризация и упрощение этой модели к двум линейным дифференциальным уравнениям в частных производных.

· Проведено выделение сингулярной части решения, ответственного за центральный частицеподобный источник, доказана единственность этого выделения. В результате для баротропного уравнения состояния среды математическая модель сведена к двум уравнением, из которых первое - обыкновенное линейное однородное дифференциальное уравнение определяет эволюцию массы центрального источника, а второе - дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка определяется решениями первого и описывает гравитационный потенциал возмущения.

· Для ультрарелятивистского уравнения состояния доказана теорема о том, что запаздывающие полиномиальные решения могут быть только третьего порядка и должны совпадать с решениями, найденными ранее в работах Ю.Г.Игнатьева и А.А.Попова. Указанное решение детально исследовано, и на основе его построена компьютерная модель, описывающая временную динамику локализованного возмущения.

· Найден класс автомодельных локализованных запаздывающих решений. Доказано, что при отсутствии частицеподобного источника запаздывающие автомодельные решения отсутствуют. При наличии частицеподобного источника решения задачи выражены через гипергеометрические функции. Найдены их представления через элементарные функции в ряде предельных значений коэффициента баротропы. Показано, что в случае нерелятивистского и ультрарелятивистского уравнений состояния решения сводятся к полученным ранее Ю.Г. Игнатьевым и А.А. Поповым.

· Показано, что при превышении значения показателя баротропы поведение решений качественно меняется, - вторые радиальные производные метрики, а вместе с ними возмущения плотности энергии и радиальной скорости терпят разрыв на звуковом горизонте. Построены численные и компьютерные модели для автомодельных решений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

В научных журналах, рекомендованных ВАК:

1. Ю.Г. Игнатьев, Н. Эль Махи. Динамическая модель сферических возмущений во вселенной Фридмана. / Эль Махи Н.// Известия ВУЗов, Физика, 2008, 41 № 1, с. 66-76.

2. Ю.Г. Игнатьев, Н. Эль Махи. Динамическая модель сферических возмущений во вселенной Фридмана. II. Запаздывающие решения для ультрарелятивистского уравнения состояния. / Эль Махи Н.// Известия ВУЗов, Физика, 2008, 41, № 5, с. 71-79.

В других научных журналах и материалах научных конференций:

1. Эль Махи Н. Исследование динамической модели сферических возмущений во вселенной Фридмана средствами пакета Maple. / Эль Махи Н.// Материалы Международной научно-практической конференции “ИТО-Поволжье-2007” и труды Российского научного семинара “Методы информационных технологий, математического моделирования и компьютерной математики в фундаментальных и прикладных научных исследованиях”. 2007, Казань: Изд.-во “Фолиантъ”, - с. 359-365.

2. Игнатьев Ю.Г., Эль Махи Н. Динамика сферических возмущений в пространственно плоской вселенной Фридмана. / Эль Махи Н. // Российская летняя школа - семинар “Современные теоретические проблемы гравитации и космологии”. GRACOS-2007, 2007, Казань: Изд.-во “Фолиантъ”, - с. 91-97.

3. Игнатьев Ю.Г., Эль Махи Н. Динамическая модель сферических возмущений во вселенной фридмана. Автомодельные решения и их исследование в пакете Maple. / Эль Махи Н. // Системы компьютерной математики и их приложения. Вып. 9. Материалы Международной конференции. Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2007. - С. 72-73.

Размещено на Allbest.ru