Возникновение и определение понятия квантовой телепортации

Размещено на http://www.allbest.ru/

Возникновение и определение понятия квантовой телепортации

Сорокина Вероника Андреевна, студент

Санкт-Петербургский государственный университет

Принципиальная недетерминированность результатов измерений в микромире позволяет допустить передачу квантовых состояний на расстояние. В статье дан обзор квантовой теории явления телепортации, его история, схема реализации; рассмотрены возможности практического применения.

С развитием квантовой механики в физике появилось множество непривычных идей: это и основополагающее понятие волновой функции вместо совокупности привычных физических параметров, и отсутствие определенной координаты или импульса в связи со способностью квантовой частицы принимать то или другое значение лишь с некоторой вероятностью, и туннельный эффект прохождения частицы в классически недопустимую область. Квантовая теория допускает еще одно удивительное явление, еще мало изученное, но активно осваивающееся -- квантовую телепортацию.

Данный термин был перенят из научной фантастики и появился впервые в 1993 году в статье журнала «Physical Review Letters», в настоящее время он широко используется в научной литературе.

Квантовой телепортацией называется передача квантового состояния на расстояние при помощи разъединенной в пространстве запутанной пары и классического канала связи, при которой состояние разрушается в точке отправления при проведении измерения, после чего воссоздается в точке приема. При этом обязательной является передача информации между источником и приемником по классическому, неквантовому каналу, которая может осуществляться не быстрее, чем со скоростью света. В работе будет определено, почему необходимо уничтожение состояния в первоначальной точке, как осуществляется и применяется телепортация, а также будет произведен краткий обзор экспериментов.

Явление квантовой телепортации -- предмет рассмотрения сравнительно молодой науки квантовой теории информации. К его открытию привела цепь незаурядных событий, определивших становление и развитие всей квантовой механики. Поэтому до рассмотрения самого процесса придется прибегнуть к истории возникновения квантовой теории и проследить основные идеи. Пока отметим только, что теория квантовой телепортации (иногда в тексте слово «квантовая» будет опускаться) полностью базируется на запутанных состояниях и исходит из парадокса ЭПР. квантовый телепортация теория

Вероятностный характер квантовой теории. Возникновение квантовой теории связано с наблюдением явления свечения нагретого вещества, которое при повышении температуры становится красным, а затем - белым вне зависимости от самого вещества (для черного тела определяется исключительно температурой). В объяснении причины появления этого излучения преуспел М. Планк, выдвинувший на первый план проблему излучающего атома (осциллятора) и пришедший к выводу о не непрерывном изменении его энергии. Мысль о том, что энергия может испускаться и поглощаться лишь дискретными квантами, выходила за традиционные рамки физики; новая гипотеза не вязалась со старыми представлениями об излучении. Вскоре А. Эйнштейн нашел две новые проблемы, в которых успешно применил представления М. Планка: фотоэлектрический эффект и проблему удельной теплоемкости твердых тел.

После значительных исследований и их систематизации нашла место трактовка квантовой теории о свете и как о процессе распространения электромагнитных волн, и как о потоке квантов, движущихся в пространстве с большими скоростями (корпускулярноволновой дуализм). Бурное развитие квантовой теории было удивительно богатством парадоксов, выступающих во все более явных формах. Это давало право полагать, что подобные противоречия принадлежат внутренней природе атомной физики. В направлении действительного понимания квантовой теории первый шаг был сделан Н. Бором, Х. Крамерсом и Дж. Слэтером в 1924 году. Они попытались устранить кажущееся противоречие между волновой и корпускулярной картинами с помощью понятия волны вероятности: электромагнитные волны толковались как волны, определяющие в каждой точке вероятность излучения и поглощения атомом кванта света. Это представление вело к заключению, что законы сохранения энергии и динамических переменных в каждом отдельном случае могут не выполняться, что энергия сохраняется только в статистическом среднем. В действительности этот вывод был неверен, однако работа ученых содержала существенную черту верной интерпретации. Позднее, когда было закончено математическое оформление квантовой теории, М. Борн использовал идею волны вероятности и дал на языке формализма ясное определение этой математической величины, известной благодаря исследованиям Э. Шредингера.

Таким образом, в начале 1927 года ученые-гиганты пришли к непротиворечивой интерпретации квантовой теории, которую именуют копенгагенской. Она состоит из усовершенствованной вероятностной интерпретации волновой функции М. Борна и отвечает на ряд вопросов, возникающих вследствие корпускулярно-волнового дуализма, в частности на вопрос об измерении. Суть ее в том, что квантовая механика действительно имеет вероятностный характер, который говорит вовсе не об ограниченности знаний значений переменных (как в классической механике), а о принципиальной недетерминированности результатов измерений. Акт измерения вызывает коллапс волновой функции -- выбор одной из допустимых волновой функцией данного состояния возможностей. Таким образом, копенгагенская интерпретация квантовой теории начинается с парадокса. Она исходит, с одной стороны, из положения, что эксперимент должен быть описан в понятиях классической физики (принцип соответствия Бора), и с другой -- из признания, что эти понятия не точно соответствуют природе. Противоречивость исходных положений обусловливает статистический характер квантовой теории.

Парадокс ЭПР и запутанные состояния. Но в том же 1927 году на пятом Сольвеевском конгрессе против сформулированной теории выступил А. Эйнштейн, утверждающий, что выявленный вероятностный характер свидетельствует лишь о неполноте знаний сущности микропроцессов. Так зародился спор Бора-Эйнштейна о физическом смысле волновой функции. Официальной критике копенгагенская интерпретация подверглась А. Эйнштейном, Б. Подольским и Н. Розеном в 1935 году в статье под названием «Может ли квантово-механическое описание реальности быть полным?» В ней был описан мысленный эксперимент, впоследствии названный парадоксом А. Эйнштейна, Б. Подольского, Н. Розена (ЭПР).

Ученые рассмотрели систему двух коррелированных частиц, то есть таких частиц, свойства которых связаны, не будучи точно заданными. Пусть частицы 1 и 2 рождаются в одной точке, например, образовываются в результате распада третьей частицы 3. По закону сохранения импульса их суммарный импульс должен быть равен исходному третьей частицы. Таким образом, существует возможность измерить импульс одной частицы и рассчитать его для второй, не внося в ее движение никаких возмущений, а измерив координату второй частицы, получить для нее значения двух неизмеримых одновременно (по законам квантовой механики) величин.

Исходя из этого, можно было бы заключить, что соотношение неопределенностей не является абсолютным, а законы квантовой механики являются неполными. Если же законы квантовой механики в данном случае не нарушаются, то измерение импульса одной частицы равносильно измерению его у второй, что создает впечатление мгновенного воздействия одной частицы на другую.

А. Эйнштейн не рассматривал парадокс ЭПР как описание какого-либо действительного физического феномена, ведь полученная связь между коррелированными частицами противоречила принципу локальности, утверждающему, что на объект влияет только его непосредственное окружение. Удивительно, но рассуждение ученого и соратников, призванное указать на недостатки новой теории, послужило вовсе не своей первоначальной цели, а стало основой для невероятных открытий, квантовой телепортации в том числе.

Появился, конечно, ответ оппонента Н. Бора в виде статьи с тем же названием, в которой им были высказаны аргументы за вероятностное описание квантовой механики. Также после выхода обсуждаемой статьи анализом подобных теоретически взаимозависимых систем занялся Э. Шредингер, который в работе «Современное состояние квантовой механики» ввел для них термин «запутанности» (нем. verschrankung - сильное переплетение, как при крепком рукопожатии, англ. entangled). Важно отметить, что изначально частицы считались запутанными, только пока они физически взаимодействовали друг с другом. При удалении на большие расстояния запутанность, как считалось, исчезала. В настоящее время последнее утверждение не имеет места, о чем будет сказано далее.

Парадокс ЭПР, как упоминалось, не опроверг квантовую теорию и концепцию волновой функции, но привел к выводу, что частицы в запутанном состоянии (другие встречающиеся названия -- сцепленные, перепутанные, ЭПР-пара) должны характеризоваться одной волновой функцией.

По принятому в настоящее время определению перепутанными считаются состояния составной системы, которые не могут быть представлены в виде произведения волновых функций, описывающих ее части по отдельности. Они подразумевают наличие параметра, принимающего ряд фиксированных значений для каждой из подсистем, и наличие корреляций (квантового характера) между двумя подсистемами по этому параметру. Примером перепутанных состояний служат так называемые состояния Белла: при проецировании одной части системы в одно из двух возможных состояний, другая часть мгновенно приобретает определенное значение, несмотря на то, что она могла быть удалена на произвольное расстояние. В этом смысле состояния Белла фигурируют в парадоксе ЭПР.

Говоря о парадоксе ЭПР и его значении в квантовой теории информации, нельзя ни упомянуть о еще нескольких исторических событиях, результаты которых будут использоваться далее. В первую очередь, это предложенный в 1952 году Д. Бомом оптический вариант ЭПР-опыта и теория Л. де Бройля и Д. Бома о нелокальности квантовой физики. Последняя -- детерминированная теория со скрытыми переменными: кроме волновой функции для полноты описания в нее включается конфигурация системы частиц (даже при отсутствии наблюдателя). Фактически, эта теория принимает неполноту копенгагенской интерпретации. Опыт ЭПР в варианте Д. Бома использует систему из двух частиц с полным спином, равным нулю, также приводит к тому, что для такой системы существует лишь совместная волновая функция, но имеет более сложный математический аппарат, из-за чего полностью в тексте не приводится.

Таким образом, с целью объяснения проявления запутанности на расстоянии, была предложена гипотеза о существовании дополнительных параметров. Проблема устранения нелокальности этой теории заинтересовала ирландского физика Дж. Белла. В 1964 году он ввел формализм, использующий дополнительные параметры, и исследующий, могут ли они (введенные параметры) детерминировать описание квантовой механики. В итоге Дж. Белл сформулировал теорему: квантовая механика конфликтует с любой теорией дополнительного параметра, поскольку нарушает следствие (неравенства Белла) каждой такой теории.

Итак, база -- запутанные состояния -- определена (далее активно будут использоваться именно состояния Белла). И так как перепутанность не имеет классического аналога, возможны «неклассические» явления.

Протокол квантовой телепортации

Перейдем, наконец, к самому предмету изучения. В первой части работы было сказано, что квантовая телепортация -- это, прежде всего, процесс передачи, и было указано на уничтожение квантового состояния в одной пространственно-временной точке и появление в другой. Последнее условие обязательно, так как при его невыполнении осуществляется копирование, невозможное по теореме о запрете клонирования квантовых состояний. Вообще говоря, легко создать одинаковые состояния, например, на кубитах (когерентных суперпозициях двух различимых квантовых состояний), но здесь речь идет о невозможности копирования произвольного состояния. Телепортация -- замена копированию и передача именно неизвестного состояния. Она позволяет передавать квантовое состояние системы с помощью обычных (классических) каналов связи. Таким образом, можно, в частности, получить связанное состояние системы, состоящей из подсистем, удаленных на большое расстояние.

Протокол квантовой телепортации, т.е. последовательность операций для выполнения задачи, имеет следующий вид:

1. Приготовление начального состояния частицы 1.

2. Приготовление состояния Белла двух частиц 2 и 3.

3. Измерение состояний Белла двух частиц 1 и 2.

4. Сообщение результата измерений (два бита классической информации) по каналу связи.

5. Выполнение трех унитарных преобразований над частицей 3 в соответствии с полученным сообщением.

Традиционно принято считать, что третья группа операций выполняется участником протокола с именем Алиса, а четвертая -- Бобом. Всю схему квантовой телепортации можно представить в виде двух станций -- Алисы и Боба:

Каждое из этих четырех возможных состояний частицы 3 связано линейным преобразованием с состоянием исходной частицы 1. Поэтому, получив информацию от Алисы, какое именно состояние Белла в данный момент она измерила (с вероятностью 1/4), Боб должен выполнить это преобразование, получив в итоге исходное. Причем, в одном из четырех случаев Бобу вообще не нужно ничего делать со своей частицей -- поэтому в пункте 5 протокола указано выполнение трех преобразований.

Эти преобразования удобно рассмотреть при описании конкретного эксперимента с цветными лампами. В данном протоколе в итоге происходит расщепление информации о состоянии частицы 1 на результат измерения Алисы совместного состояния частиц 1 и 2 (который передается по классическому каналу связи) -- пусть это одно из четырех возможных закодированных сообщения в цвете четырех ламп, и на квантовую часть. Каждому состоянию Белла приписывается лампа определенного цвета, которая вспыхивает всякий раз, когда данное состояние измеряется. Боб, увидев вспышку определенного цвета (или получив эту информацию по телефону) выполняет соответствующее преобразование над своей частицей 3, тем самым корректируя ее состояние (эти преобразования являются унитарными, то есть сохраняющими энергию, т. к. число частиц в протоколе остается неизменным). Квантовая часть информации заложена в полных корреляциях, существующих между частицами 2 и 3, иными словами -- в состоянии Белла, которое используется во второй группе операция протокола.

Отметим, что для приведенного протокола требование о запрете клонирования неизвестного состояния выполняется: исходное состояние, записанное на частице 1, уничтожается в результате измерения совместного состояния Белла частиц 1 и 2. Как и требуется, ни Алиса, ни Боб ничего не знают об исходном состоянии, поскольку владеют только частью полной информации - той, которая передается по классическому каналу. На выходе станции Боба создается точная копия исходного состояния, остающегося неизвестным. Кроме того, копирование происходит не мгновенно, а спустя время, которое нужно затратить на передачу классического сообщения от Алисы к Бобу.

Рис. 1. Схема протокола квантовой телепортации с участием трех частиц

Применение квантовой телепортации. Вернемся немного назад. Парадокс ЭПР и связанные с ним неравенства Белла выглядят как нелокальные взаимодействия, то есть бессиловые переносы информации на большое расстояние, возможно, даже со сверхсветовой скоростью. Поэтому в научной литературе встал вопрос о возможности создания «сверхсветового телеграфа» -- так начиналось развитие идей квантовой телепортации. Однако нетрудно видеть, что в варианте одиночной запутанной пары парадокс ЭПР для этой цели не подходит, ведь измерение, проводимое над первой частицей, является случайным, его невозможно предсказать и контролировать. Ситуация здесь, хотя и отличается от классической, сродни разнесению на большое расстояние ящиков со спрятанными в них порознь черными и белыми шарами. Вскрытие первого ящика показывает, какой находится шар в обоих ящиках. Передачи информации здесь нет: это заранее известная корреляция вероятностей. Квантовый случай отличается лишь отсутствием цвета у шаров до вскрытия ящика.

Рис. 2 Общая схема квантовой телепортации

Таким образом, по причине случайности первого события, корреляции одиночных ЭПР-пар нельзя напрямую использовать для мгновенной передачи информации. Тем не менее, с их помощью можно засекречивать сообщения. Основная идея здесь базируется на том, что любое вмешательство в квантовую систему («подслушивание», «перехват») разрушает чистое состояние, вследствие чего не может остаться незамеченным. Это направление именуется «квантовой криптографией». Два простейших ее примера -- вариант А. Эккерта и квантовая телепортация Ч. Беннета. Первый вариант, основанный на неравенствах Белла, заключается в приготовлении двумя участниками множества ЭРП- пар атомов с полуцелым спином, суммарно равным нулю, разделении их пополам и измерении спинов по согласованной программе с намеренным нарушением неравенств. Более прямой путь квантовой кодировки без использования неравенств Белла - уже рассмотренный перенос информации по двойному каналу, являющийся предметом изучения данной работы.

Обзор экспериментов. Как упоминалось выше, впервые вопрос о квантовой телепортации был поставлен в 1993 году группой из шести ученых во главе с Ч. Беннетом. Они показали, что сцепленные частицы могут служить «транспортом». Посредством присоединения третьей

-- «информационной» -- частицы к одной из сцепленных, можно передавать ее свойства другой даже без измерения этих свойств. Но идея Ч. Беннета не была экспериментально подтверждена, пока не были проведены соответствующие опыты.

Первая экспериментальная реализация квантовой телепортации поляризационного состояния фотона была осуществлена в 1997 году почти одновременно группами физиков под руководством Антона Цайлингера (Университет Инсбрука) и Франческо де Мартини (Университет Рима).

Входным состоянием в эксперименте группы А. Цайлингера являлось поляризационное состояние одного из двух коррелированных фотонов, рождающихся в результате спонтанного параметрического рассеяния (процесса квантовой оптики, при котором рассеянные фотоны образуются в виде спутанных пар). Две пары коррелированных фотонов возбуждались при двукратном прохождении фемтосекундного (сверхкороткого) лазерного импульса через нелинейный кристалл. Один фотон, таким образом, оказывался дополнительным -- его использовали в качестве указателя на наличие второй пары. Фотон из первой пары (после первого прохода лазерного импульса) смешивался на неполяризационном светоделителе (оптическом устройстве, разделяющем поток света на две части) с одним из фотонов другой пары. При точном совпадении оптических путей этих фотонов, в отсчетах детекторов, стоящих в выходных модах светоделителя, наблюдался эффект антикорреляции (исчезали совпадения между детекторами). Ни исходное состояние телепортируемого фотона, ни состояние той половинки перепутанной пары, с которой он смешивается на светоделителе, не имеют определенного поляризационного состояния. Следовательно, эффект антикорреляции будет иметь место только в некоторых случаях от общего числа испытаний. Именно такому числу исходов отвечают события, при которых поляризации фотонов 1 и 2 совпадают (обе либо вертикальные, либо горизонтальные, в соответствующем базисе). В остальных случаях совпадения будут происходить, поскольку при ортогональных поляризациях эффекта антикорреляции нет. Поскольку состояние Белла фотонов 2 и 3 - синглетное, то каждый раз совпадение отсчетов двух детекторов, стоящих позади светоделителя (отсутствие эффекта антикорреляции) сопровождается копированием поляризации исходного фотона 1.

В данном опыте «чистота» копирования составляет лишь 25% -- по вероятности измерения синглетного состояния Белла с помощью светоделителя. В остальных случаях копирование не происходит: через станцию Боба пролетают «лишние» фотоны. Такой результат связан со спецификой использованного в этой работе измерения состояния Белла. Русский ученый Д. Н. Клышко предложил убрать такие фотоны введением затвора, срабатывающего только при поступлении импульса совпадения от станции Алисы. Таким образом, полное копирование поляризационного состояния в обсуждаемой схеме возможно только при помощи неунитарной операции -- поглощении «лишних» фотонов. В той же работе рассматривается способ увеличения благоприятных исходов копирования до 50%.

Другая работа была выполнена группой Ф. Де-Мартини из Рима. Суть ее сводится к предложенной румынским ученым С. Попеску идее телепортации с участием двух частиц вместо трех. В целом, эти протоколы совпадают. Интересно, что в варианте С. Попеску входное состояние отсутствует. Вместо этого предлагается использовать какую- нибудь степень свободы одной из частиц перепутанной пары, которая не задействована в перепутывании. В эксперименте сначала получаются фотоны, перепутанные по направлению распространения, то есть по импульсам. Далее в протоколе появляется «ассистент», помогающий Алисе закодировать состояние прямо в ее компоненте синглетной пары, вместо того, чтобы кодировать его в третьей частице (преобразует состояние с определенной поляризацией в суперпозицию состояний). В такой «двухчастичной» схеме действия Алисы проще, чем в «трехчастичной», так как «заставить» взаимодействовать разные степени свободы одной частицы проще, чем две разные частицы. В отличие от случая протокола с участием трех частиц, проектирование частицы 1 (то есть бывшей частицы 2) в базис состояний Белла может быть выполнено со 100%-ой эффективностью. Для выполнения операции проектирования необходимо перепутать поляризационные и импульсные свойства фотона 1 (это делается с помощью светоделителей).

Серьезным недостатком обсуждаемой схемы является то, что в ней отсутствует входное состояние -- такая схема более пригодна для демонстрации, чем для сколько- нибудь реального использования. Кроме того, в ней невозможно использовать в качестве входного состояния компоненту перепутанного состояния.

Известно также о реализации схемы Л. Вайдмана С. Браунштейном и Дж. Кимблом с использованием перепутывания координаты и импульса -- внешнего состояния квантовой системы, в то время как в предыдущих исследованиях передавалось внутреннее состояние (поляризация). Важное отличие между координатой и импульсом, с одной стороны, и поляризации - с другой, заключается в том, что они имеют разные базисные представления. Для описания координаты и импульса требуется бесконечное число базисных состояний, так как любым двум различным координатам и импульсам отвечают два разных ортогональных собственных состояния. В эксперименте же реально были задействованы не координата и импульс частиц, а пучки света, которые характеризовались параметрами, удовлетворяющими таким же коммутационным соотношениям.

Авторам этой работы удалось выполнить измерения состояний Белла, но качество копированного состояния оказалось довольно низким -- около 58%, и то в предположении, что конечное состояние принадлежит определенному классу (когерентных состояний).

В 2004 году было объявлено об успешном экспериментальном наблюдении квантовой телепортации состояния атома сразу двумя исследовательскими группами: М. Рибле (ион атома кальция) и М. Барретта (ион атома бериллия). В 2006 году была впервые осуществлена телепортация между объектами разной природы -- квантами лазерного излучения и атомами цезия (исследовательская группа Института Н.Бора, Копенгаген). Стоит отметить, что эти эксперименты -- скорее очередной шаг в реализации квантовой криптографии, и что ни один из описанных выше опытов для практического использования не предназначен.

Наиболее реалистичной и легко реализуемой на этом фоне выглядит схема, предложенная в 2009 году специалистами из Университета Мэриленда (США) во главе с К. Монро. Ученым удалось осуществить перемещение квантовой информации между двумя атомами, расположенными в метре друг от друга, с показателем надежности доставки более 90 %.

В эксперименте американских ученых фигурируют запутанные ионы иттербия, помещенные в вакуумные ловушки и окруженные металлическими электродами.

Непосредственно перед проведением опыта исследователи определили два основных состояния ионов, которые использовались в качестве элементов хранения квантовой информации -- кубитов. В начале эксперимента ионы А и Б находились в одном из основных состояний. Затем на ион А направлялось микроволновое излучение, испускаемое одним из электродов; в результате кубит оказывался в некоторой суперпозиции своих собственных состояний (происходила запись информации для передачи). Сразу после этого оба иона возбуждались лазерным импульсом пикосекундной длительности. Возврат в одно из основных состояний («значений» кубита) проходил с испусканием фотонов, цвет которых (красный или синий), соответствовавший разным длинам волн, определял их значение.

Рис. 3. Схема установки опыта К. Монро

Затем фотоны с помощью линз направлялись по оптоволоконному кабелю к светоделительному элементу; при попадании на него каждая частица могла либо отразиться, либо пройти напрямую с равной вероятностью. По обеим сторонам светоделителя располагались детекторы.

До попадания на светоделитель каждый из фотонов находился в неизвестной суперпозиции состояний, однако в детекторе могли быть зарегистрированы уже только четыре различных вида частиц, соответствующих цветовым комбинациям красного и синего, и лишь в одном случае фотоны одновременно достигают обоих детекторов. Тогда определить, какому иону «принадлежит» данный квант света, становится невозможно (не хватает информации о том, отразился фотон от светоделителя или прошел насквозь). Такая неопределенность и сигнализирует о том, что квантовые состояния ионов оказались связаны.

Достигнув этого результата, ученые определили состояние иона А. В полном соответствии с законами квантовой механики, измерение вывело его из суперпозиции в некоторое определенное состояние, причем ион Б при этом принял противоположное «значение». Зная выходное состояние кубита А, исследователи установили параметры микроволнового импульса, при воздействии которым на кубит Б из него извлекалась информация, записанная на первой стадии эксперимента. На этом процесс телепортации завершился. Как и полагается, исходное состояние иона А в процессе передачи разрушилось.

Заключение

Квантовая телепортация -- одно из наиболее парадоксальных проявлений квантовой природы, вызывающее в последние годы огромный интерес специалистов. Например, кроме рассмотренных экспериментов, известен также опыт китайских ученых, проведенный в 2010 году, в котором была осуществлена телепортация фотона уже на расстояние шестнадцати километров.

Этот интерес обусловлен, в первую очередь, широким применением явления в квантовой криптографии, также заключающейся в передаче зашифрованных сообщений по двум каналам связи -- квантовому и традиционному. Квантовая криптография, в свою очередь, является одним из самых стремительно развивающихся прикладных направлений квантовой физики, потому что хоть и не гарантирует абсолютной криптостойкости, но обеспечивает непременное уведомление о попытке перехвата сообщения из-за необратимости коллапса волновой функции.

Список литературы

1. Бауместер Д., Экерт А., Цайлингер А. Физика квантовой информации. М.: Постмаркет, 2002.

2. Белокуров В. В., Тимофеевская О. Д., Хрусталев О. А. Квантовая телепортация

3. обыкновенное чудо. Ижевск: РХД, 2000.

4. Бройль Л. Революция в физике (Новая физика и кванты). М: Атомиздат, 1965.

5. Валиев К. А. Квантовая информатика: компьютеры, связь и криптография. М.: Вестник РАН, 2000.

6. Валиев К. А., Кокин А. А. Квантовые компьютеры: надежда и реальность. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001.

7. Гейзенберг В. Физика и философия. М.: Наука, 1989. Перевод - Акчурин И. А., Андреев Э. П.

8. Кадомцев Б. Б. Динамика и информация. М.: Успехи физических наук, 1999.

9. Клышко Д. Н. Физические основы квантовой электроники. М.: Наука, 1986.

10. Мандель Л., Вольф Э. Оптическая когерентность и квантовая оптика. М.: Физматлит, 2000.

11. Прескилл Дж. Квантовая информация и квантовые вычисления. М.: РХД, 2008.

12. Холево А. С.. Введение в квантовую теорию информации. М: МЦНМО, 2002.

13. Эйнштейн A., Подольский Б., Розен Н. «Можно ли считать, что квантово-механическое описание физической реальности является полным?» УФН, 1934. Том XVI, выпуск 4. Перевод - Любина А. Г. под редакцией Фока А. В.

Размещено на Allbest.ru