Вычислительное ресурсосбережение алгоритма Шварца

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вычислительное ресурсосбережение алгоритма Шварца

Пеньков В.Б, Саталкина Л.В., Рыбакова М.Р.

Проведено сравнение решений довольно сложной задачи теории упругости для многополостного тела двумя методами: методом граничных состояний (МГС) и алгоритмом Шварца, «вооруженным» МГС с точки зрения затрат вычислительных ресурсов. Обосновано ресурсосбережение второго подхода; эффективность продемонстрирована на задаче об упругом кубе с двумя сферическими полостями различных диаметров.

Ключевые слова: метод граничных состояний, алгоритм Шварца, полости, упругое многополостное тело.

Comparison of the solutions of complicated problems of the elasticity theory for body with many cavity is done using two methods: the method of boundary states (MBS) and the algorithm of Schwartz, "armed" with MBS from the point of view of the cost of computing resources. Resource-saving of second method is justified; effectiveness is demonstrated by the problem of elastic cube with two spherical cavities of various diameters.

Key words: method of boundary states, algorithm of Schwartz, cavities, elastic body with many cavities.

Альтернирующий алгоритм заявлен Шварцем во второй половине XIX века в двумерных краевых задачах для оператора Лапласа со сложной геометрией тела. В XX веке он был распространен на двумерные и трехмерные объекты математической физики, в том числе задач теории упругости [1]. В случае n-связного тела его процедуру коротко можно охарактеризовать так: последовательность повторяющихся групп из n односвязных объектов, в совокупности определяющих тело, образует счетное множество задач для односвязных тел. В первой группе этой последовательности участвуют граничные условия (ГУ) для тела. Задачи решаются поочередно. По решении каждой задачи в ГУ последующих задач вносятся корректирующие поправки, вызванные возмущением от решения текущей задачи. Процесс перебора задач продолжается до достижения необходимой точности.

Метод граничных состояний опирается на понятия внутреннего и граничного состояний, под которыми понимаются наборы характеристик

,

соответственно, где - компоненты векторов перемещений и усилий, , - компоненты тензоров напряжений и деформаций, - оператор взятия границы тела. Гильбертовы пространства внутренних и граничных состояний сопряжены изоморфизмом, что позволяет свести изучение внутреннего состояния к соответствующему граничному. Базис для ограниченного тела с полостью набирается по формулам, выражающим общее решение Аражных - Слободянского для внутренности и внешности компактной границы [2]:

,

- компонента произвольного гармонического вектора . Для первого шаблона - элемент систем линейно независимых гармонических многочленов [3], для второго - . Ортогонализация выполняется в соответствии с определениями скалярных произведений:

После ортогонализации базиса атрибуты результирующего внутреннего и граничного состояний представляются соответственно рядами Фурье по элементам ортонормированного базиса:

.

Основные потери времени в МГС связаны с расчетом матрицы Грама при ортогонализации, которая опирается на все перекрестные скалярные произведения. Если для каждого тела удерживается m элементов базиса, то матрица Грама имеет размерность . Матрица Грама вычисляется единожды и не зависит от номера итерации; совокупные затраты времени для заполнения матриц Грама оцениваются величиной .

Основная идея ресурсосбережения заключается в сочетании МГС с алгоритмом Шварца. Такой симбиоз методов экономит время вычисления матрицы Грама. Если для каждого тела удерживается m элементов базиса, то матрица Грама имеет размерность и требует для заполнения операций по вычислению скалярных произведений, определяемых поверхностными интегралами. Поскольку для тела матрица Грама вычисляется единожды и не зависит от номера итераций, то совокупные затраты времени для заполнения матриц Грама оцениваются величиной .

Рис. 1. Зависимость времени счета от длины удерживаемого отрезка базиса: а) использование МГС; б) использование МГС в алгоритме Шварца

На рис. 1 а, б сопоставлены зависимости времени счета матриц Грама в двух методах. Каждому графику из серий соответствует количество связных участков границы , причем большему значению соответствует график, расположенный выше. Отличие во временных затратах в двух методах составляет порядок.

В качестве примера решена задача: упругий куб (безразмерные постоянные Ламе ), занимающий в пространстве область , ослаблен сферическими полостями радиуса 1.5 с центром в точке , радиуса 1 с центром в точке . Замкнутая область ограничена поверхностями ,

,

,

,

,

где есть «оператор взятия границы» тела. Поверхности нагружены: , , остальные поверхности свободны от нагрузки: .

Требуется восстановить напряженно-деформированное состояние тела.

Для построения решения достаточным оказалось выполнение трех итераций методом Шварца над группой тел: 1) куб , 2) полость , 2) полость . Базис состояний для тел набирался по первому шаблону и содержал 80 элементов, для тел , - по второму шаблону и содержал по 75 элементов. Ортогонализация базисов проводилась с использованием рекурсивного матричного алгоритма [4]. Для каждого тела во всех итерациях ставилась первая основная задача.

Результаты имеют аналитический вид и представлены в графической форме (рис. 2).

Рис. 2. Изолинии напряжений в сечении : а) , б)

Изолинии напряжений свидетельствуют о характере концентрации, вызванной наличием полостей и их размерами. Сочетание методов граничных состояний и Шварца является эффективным приемом, экономящим вычислительные ресурсы при прочностных расчетах.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 13-01-97505).

ресурсосбережение алгоритм шварц

Список литературы

1. Бормотин, К.С. Модификация метода Шварца, регуляризация и параллелизация МГЭ-решений в комплексе программ расчета упругих микронеоднородных тел [Текст]: дисс… канд. физ.-мат. наук: 05.13.18. - Комсомольск-на - Амуре, 2006. - 140 с.

2. Лурье, А.И. Пространственные задачи теории упругости [Текст] / А. И. Лурье. - М.: «Государственное издательство Технико-теоретической литературы», 1955. - 491 с.

3. Пеньков, В. Б. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики [Текст] / В. Б. Пеньков, В. В. Пеньков // Дальневосточный математический журнал. -- 2001. -- Т.2, №2. -- С.115-137.

4. Саталкина, Л.В. Метод граничных состояний в задачах теории упругости неоднородных тел и термоупругости [Текст]: дисс… канд. физ.-мат. наук: 01.02.04.- Тула, 2010. -108 с.

Размещено на Allbest.ru