Статистическое моделирование и анализ свойств процессов Леви

Размещено на http://www.allbest.ru/

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

Статистическое моделирование и анализ свойств процессов Леви

Кузьмина Анна

Минск, 2013

Работа выполнена в Белорусском государственном университете

Научный руководитель Труш Николай Николаевич

доктор физико-математических наук, про-фессор, заведующий кафедрой теории вероятностей и математической статистики Белорусского государственного универ-ситета.

Официальные оппоненты: Малинковский Юрий Владимирович

доктор физико-математических наук, про-фессор, заведующий кафедрой экономи-ческой кибернетики и теории вероятностей УО “Гомельский государственный универ-ситет имени Франциска Скорины”;

Абрамович Михаил Семенович

кандидат физико-математических наук, до-цент, заведующий НИЛ статистического анализа и моделирования Белорусского государственного университета.

Оппонирующая организация Учреждение образования “Гродненский государственный университет имени Янки Купалы”.

КРАТКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Одной из основных проблем финансовой инженерии является определение рациональной стоимости опциона. Вопрос о рациональной, справедливой стоимости опциона интересует как покупателей, так и эмитентов-продавцов ценной бумаги. Правильность расчета стоимости производных ценных бумаг, к которым относится и опцион, во многом зависит от моделей, которые применяются для описания процессов эволюция динамики стоимости основных ценных бумаг.

Проблема моделирования процесса эволюции финансовых характеристик (цен акций, индексов) привлекает внимание многих ученых на протяжении более 100 лет. Первая попытка моделирования эволюции цен финансовых инструментов была предпринята Л. Башелье (L. Bachelier) в 1900 году. Именно он сделал предположение о случайном характере эволюции движения цен, описывая его с помощью стандартного винеровского процесса. Важный вклад в развитие процессов моделирования ценообразования был сделан в 1965 году П. Самуэльсеном (P. Samuelson). Он предложил для описания динамики логарифмов отношения цен акций использовать геометрическое броуновское движение. В 1973 году для расчетов стоимостей опционов Ф. Блэком (F. Black), М. Шоулсом (M. Scholes) и Р. Мертоном (R. Merton) была использована модель эволюции цен. Впоследствии она получила название стандартной диффузионной (B,S)-модели Блэка-Мертона-Шоулса или стандартного диффузионного (B,S)-рынка. В 1997 работа Ф. Блэка и М. Шоулса была отмечена Нобелевской премией. Являясь одной из самых популярных моделей динамики цен финансовых инструментов, стандартная диффузионная (B,S)-модель Блэка-Мертона-Шоулса вместе с тем не лишена явных недостатков.

В настоящее время считается, что процессы Леви в наибольшей мере соответствуют природе эволюции движения цен акций. И что модели, построенные на их основе, наиболее адекватно отражают процесс эволюции финансовых характеристик. К таким моделям относятся экспоненциальная интегральная модель Леви, экспоненциальная модель Леви, модель Леви со стохастической волатильностью (Levy SV Market Model). Для некоторых типов опционов разработаны аналитические методы определения их стоимости. В случае, когда невозможно построить соответствующие формулы в явном виде, прибегают к численным методам. Для нахождения стоимости опциона используют метод Монте-Карло, который, в контексте рассматриваемой задачи, основан на получении большого числа реализаций процесса Леви. Моделирование процессов Леви может быть основано на их аппроксимации составным процессом Пуассона. Однако, в частных случаях в зависимости от типа моделируемого процесса можно использовать и другие методы. Например, для моделирования процессов Леви в класса обобщенных гиперболических процессов используют винеровского процессы в моменты времени, задаваемые процессом с неотрицательными приращениями. Основным недостатком такого подхода является необходимость для моделирования основного процесса Леви использовать несколько вспомогательных процессов. Это усложняет процесс моделирования и, учитывая особенности метода Монте-Карло, приводит к значительным затратам времени.

В диссертации предлагаются эффективные алгоритмы для моделирования процессов Леви:

· алгоритмы моделирования процессов Леви из класса обобщенных гиперболических процессов с использованием случайных величин с обобщенным гиперболическим распределением;

· алгоритм моделирования процесса CGMY The fine structure of asset returns: empirical investigation / P. Carr [et al.] // J. of Business. - 2002. - Vol. 75. - P. 305-332. (Carr P., Geman H., Madan, D. H. and Yor M.) как разности двух медленно растущих устойчивых случайных процессов.

Проводится сравнительный анализ эффективности алгоритмов моделирования распределений (которым подчиняются приращения процессов Леви) и алгоритмов моделирования процессов Леви. Кроме того, исследуются статистические свойства этих распределений и свойства рассматриваемых процессов Леви.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Связь работы с крупными научными программами (проектами) и темами

Исследования проводились на кафедре теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и информатики учреждения «Белорусский государственный университет» в соответствии с заданиями научных программ, выполняемых в рамках

· государственной программы фундаментальных исследований «Исследование математических моделей и их применение к анализу систем, структур и процессов в природе и обществе» («Математические модели», 2006-2010 гг.);

· государственной программы научных исследований «Междисциплинарные научные исследования, новые зарождающиеся
технологии как основа устойчивого инновационного развития» (ГПНИ ”Конвергенция“, 2011-2015 гг.);

· научно-исследовательской работы кафедры теории вероятностей и математической статистики «Вероятностно-статистический анализ временных рядов» (2011-2015 гг.).

Цель и задачи исследования

Целью диссертационной работы является разработка алгоритмических средств статистического моделирования процессов Леви и анализ свойств указанных процессов в применении к задачам стохастической финансовой математики. Для достижения поставленной цели требуется решить следующие основные задачи:

1. Вычислить семиинварианты рассматриваемых случайных величин, процессов Леви и найти выражения для их моментов, коэффициентов асимметрии, эксцесса.

2. Разработать эффективные алгоритмы моделирования обобщенных гиперболических процессов Леви, устойчивых процессов Леви. Для класса обобщенных гиперболических процессов Леви определить условия, позволяющие применить преобразование Эшера в задаче нахождения стоимости опциона.

3. Провести сравнение различных алгоритмов моделирования процессов Леви как разработанных соискателем, так и известных. Разработать программно-инструментальные средства в среде MATLAB для организации и проведения статистических экспериментов по определению эффективности предлагаемых алгоритмов моделирования.

Объект исследования - процессы Леви и случайные распределения, которым подчиняются приращения процессов Леви.

Предмет исследования - алгоритмы статистического моделирования процессов Леви, моменты случайных величин и процессов Леви.

Положения, выносимые на защиту

1. Выражения для семиинвариантов, моментов, коэффициентов асимметрии, эксцесса нормального обратного гауссовского процесса, VG-процесса, гиперболического процесса, обобщенного гиперболического процесса, полученные с использованием семиинвариантного подхода.

2. Алгоритмы моделирования процессов Леви в классе обобщенных гиперболических процессов, основанные на использовании случайных величин с обобщенным гиперболическим распределением, что позволяет уменьшить время при сохранении точности моделирования; сравнение предлагаемых и ранее известных алгоритмов моделирования процессов Леви в классе обобщенных гиперболических процессов. Условия, полученные для класса обобщенных гиперболических процессов Леви, позволяющие применить преобразования Эшера в задаче нахождения стоимости опциона.

3. Алгоритм моделирования процесса CGMY, основанный на представлении этого процесса в виде разности двух медленно растущих устойчивых случайных процессов, что позволяет уменьшить время при сохранении точности моделирования; сравнение предлагаемого и ранее известного алгоритмов моделирования процесса CGMY.

Личный вклад соискателя

Все основные результаты, изложенные в диссертационной работе, получены автором самостоятельно. Роль научного руководителя Труша Н.Н. состояла в определении цели диссертационной работы, постановке задач, рассматриваемых в работе, обсуждении методов решения задач, анализе полученных соискателем результатов, формировании структуры диссертации. леви моделирование гиперболический

Апробация результатов диссертации

Основные результаты диссертации были представлены и обсуждались на заседаниях научного семинара кафедры теории вероятностей и математической статистики БГУ, научных конференциях студентов и аспирантов Белорусского государственного университета, на крупных Республиканских и Международных конференциях, в том числе на Международной научной конференции “Теория вероятностей, математическая статистика и их приложения” (22-25 февраля 2010 года, г. Минск), 67-ой научной конференции студентов и аспирантов БГУ (17-20 мая 2010 года, г. Минск), 6-ой Международной научной конференции “Computer algebra systems in teaching and research“ (2-5 февраля 2011 года, Poland, Siedlce), 9-ой Международной научной конференции “Computer data analysis and modeling: complex stochastic data and systems” (7-11 сентября 2010 года, г. Минск), Республиканской научной конференции студентов и аспирантов Республики Беларусь “НИРС-2011” (18 октября 2011 года, г. Минск), Международном конгрессе по информатике “Информационные системы и технологии” (31 октября-1 ноября 2011 года, г. Минск), Международной научной конференции “XI Белорусская математическая конференция” (4-9 ноября 2012 года, г. Минск).

Опубликованность результатов диссертации

Результаты диссертационной работы опубликованы в 11 научных работах. Из них 4 статьи в научных журналах в соответствии с пунктом 18 Положения о присуждении ученых степеней и присвоении ученых званий в Республике Беларусь (общим объемом 2,5 авторских листа), 5 статей в сборниках материалов научных конференций, 2 тезисов докладов на научных конференциях.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из перечня условных обозначений, введения, общей характеристики работы, пяти глав, заключения, библиографического списка. Полный объем диссертации составляет 96 страниц, в том числе 14 рисунков на 5 страницах, 13 таблиц на 5 страницах. Библиографический список содержит 79 наименований, включая собственные публикации автора.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе проводится аналитический обзор литературы по теме исследования и описывается эволюция вероятностно-стохастических моделей определения стоимостей опционов.

Вторая глава содержит основные понятия и результаты теории случайных процессов в финансах и методы статистического моделирования.

В третьей главе рассматриваются процессы Леви с неотрицательными приращениями: субординаторы.

В разделе 3.1 приводится определение процесса Леви, представление Леви-Хинчина для характеристической экспоненты.

Определение 3.1. Случайный процесс , заданный на вероятностном пространстве ? со значениями в ? такой, что , называется процессом Леви, если выполнены следующие условия:

1) имеет независимые приращения: для любого и любого набора точек , , таких, что , величины являются независимыми;

2) для любых имеет стационарные приращения

,

где обозначает равенство по распределению;

3) обладает свойством стохастической непрерывности, т.е. для каждого и

.

В разделах 3.2.1 - 3.2.3 рассматриваются обобщенные обратные гауссовские процессы, которые являются процессамі Леви с неотрицательными приращениями, т.е. субординаторами. Приращения обобщенного обратного гауссовского процесса подчиняются обобщенному обратному гауссовскому распределению.

Определение 3.6. Случайная величина , заданная на вероятностном пространстве ?, имеет обобщенное обратное гауссовское распределение с параметрами ?, , , если ее плотность распределения имеет вид

(3.7)

где

- модифицированная функция Бесселя 3-го рода, ,

,

,

.

Исследуются свойства плотностей распределений обобщенного обратного гауссовского распределения, в зависимости от принимаемых параметрами , , значений [2].

Получены выражения для семиинвариантов, математического ожидания, дисперсии, коэффициентов асимметрии, эксцесса обобщенного обратного гауссовского распределения.

Утверждение 3.2. Пусть случайная величина имеет обратное гауссовское распределение с параметрами , т.е. , тогда для любых , ? плотность случайной величины имеет обратное гауссовское распределение с плотностью

.

Обобщенный обратный гауссовский процесс с параметрами ?, , является процессом Леви, для которого выполнено

,

где , , - случайная величина с обобщенным обратным гауссовским распределением.

В разделе 3.2 проводится моделирование обратного гауссовского и гамма-процесса [1-3, 5-8], сравнение эффективности алгоритмов моделирования распределений, которым подчиняются приращения этих процессов Леви.

В главе 4 рассматривается класс обобщенных гиперболических процессов Леви, исследуются свойства и проводится моделирование этих процессов.

В разделе 4.1 рассматриваются обобщенный гиперболический процесс и его частные случаи: гиперболический процесс, нормальный обратный гауссовский процесс, VG-процесс. Рассматриваются четыре варианта параметризации обобщенного гиперболического распределения. Случайную величину с обобщенным гиперболическим распределением в параметризации A обозначают как , в параметризации B, C, D - как , , соответственно.

Определение 4.7 (Параметризация A). Случайная величина , заданная на вероятностном пространстве ? , имеет обобщенное гиперболическое распределение с параметрами , , , , , если ее плотность распределения имеет вид

, (4.10)

где ,

- модифицированная функция Бесселя 3-го рода, , ?,

если

если ,

если .

Теорема 4.3. [11] Для обобщенного гиперболического распределения параметризации (A-D) эквивалентны.

Приведены соотношения, связывающие параметры в различных параметризациях. Исследованы свойства плотности обощенного гиперболического распределения в зависимости от принимаемых параметрами , , , , значений [2].

Обобщенный гиперболический процесс с параметрами , , , , является процессом Леви, для которого выполнено

,

где , , - случайная величина с обобщенным гиперболическим распределением.

Получены выражения для семиинвариантов, моментов, коэффициентов асимметрии, эксцесса обобщенных гиперболических процессов Леви.

Теорема 4.6. [10] Автокорреляционная функция обобщенного гиперболического процесса с параметрами , , , , при имеет вид:

, (4.29)

где - модифицированная функция Бесселя 3-го рода, .

В разделе 4.2 рассматривается моделирование обобщенного гиперболического процесса и его частных случаев, проводится сравнение эффективности алгоритмов моделирования этих процессов.

Алгоритм 4.1. [9] Моделирование обобщенного гиперболического процесса с параметрами , , , , с использованием случайных величин с обобщенным гиперболическим распределением.

0) Задаем значения параметров , , , , и временной шаг .

1) Генерируем независимые случайные числа с обобщенным обратным гауссовским распределением с параметрами :

, .

2) Генерируем независимые случайные числа с обобщенным гиперболическим распределением как случайные числа с нормальным распределением:

, .

3) Генерируем обобщенный гиперболический процесс с параметрами , , , , следующим образом:

, , .

Алгоритм 4.1 предоставляет возможность моделирования обобщенного гиперболического процесса, нормального обратного гауссовского процесса (алгоритм 4.2), VG-процесса (алгоритм 4.4), гиперболического процесса задавая соответствующие этим процессам значения параметра . Проводится анализ эффективности предложенных алгоритмов в сравнении с алгоритмами 4.3, 4.5, 4.6. Моделирование обобщенного гиперболического процесса с помощью алгоритма 4.1 основано на моделировании случайных величин с обобщенным гиперболическим распределением и не требует моделирования никаких вспомогательных процессов. Аналогичный результат имеем и для частных случаев обобщенного гиперболического процесса: алгоритм 4.2 позволяет моделировать нормальный обратный гауссовский процесс используя случайные величины с нормальным обратным гауссовским распределением в отличии от алгоритма 4.3, в котором для моделирования указанного процесса необходимо предварительно смоделировать обратный гауссовский процесс и стандартный винеровский процесс. Проводится моделирование VG-процесса с использованием стандартного винеровского процесса и гамма-процесса (алгоритм 4.5) и как разности двух независимых гамма-процессов (алгоритм 4.6). Моделирование VG-процесса алгоритмом 4.4 основано на моделировании случайных величин с VG-распределением и отсутствует необходимость моделировать другие процессы как в алгоритмах 4.5, 4.6.

В разделе 4.3 рассматривается определение областей допустимых значений параметров процессов Леви из класса обобщенных гиперболических процессов при нахождении стоимости опциона с помощью преобразования Эшера.

Пусть ,?,(?), - фильтрованное вероятностное пространство, - процесс Леви на этом вероятностном пространстве
,?, (?), и процесс цен акции имеет вид:

, (4.35)

где , - заданная процентная ставка.

Преобразование Эшера используется при определении стоимости опциона финансового актива (акции), изменение цены которого задается моделью (4.35). Условиями существования преобразования Эшера является наличие у случайной величины производящей функции моментов на некотором интервале , ? с и точки такой, что

. (4.37)

В разделе 4.3.3 рассматривается определение областей допустимых значений параметров нормального обратного гауссовского процесса при нахождении стоимости опциона с помощью преобразования Эшера.

Теорема 4.7. Если параметры , , , нормального обратного гауссовского распределения удовлетворяют условиям , ,, то существует единственная точка , такая, что выполнено равенство (4.37).

В разделе 4.3.4 рассматривается определение областей допустимых значений параметров VG-процесса при нахождении стоимости опциона с помощью преобразования Эшера.

Теорема 4.8. Если параметры , , VG-распределения принимают значения , ?, или , то существует точка

, ,

такая, что выполнено равенство (4.37), причем .

Если или , то

и .

В главе 5 рассматриваются устойчивые случайные процессы: их свойства и моделирование.

Медленно растущий устойчивый процесс с параметрами , , является процессом Леви, для которого выполнено

,

где , , - случайная величина с медленно растущим устойчивым распределением, характеристическая функция которой имеет вид:

. (5.6)

В разделе 5.1.3 рассматривается распределение CGMY и процесс CGMY.

Процесс CGMY с параметрами , , , является процессом Леви, для которого выполнено

,

где , , - случайная величина с распределением CGMY, характеристическая функция которой имеет вид

, (5.7)

где - гамма-функция, .

Теорема 5.1. [4] Пусть - процесс CGMY с параметрами
, , , , заданный на вероятностном пространстве ,?,, с мерой Леви

а и - медленно растущие устойчивые независимые процессы Леви с параметрами , , и , , соответственно такие, что их меры Леви имеют вид

и . (5.9)

Тогда процесс CGMY представим как

. (5.10)

В разделе 5.2 рассматривается моделирование медленно растущих устойчивых процессов, процесса CGMY. Раздел 5.2.1 содержит алгоритм 5.1 моделирования медленно растущего устойчивого процесса , который используется при моделировании процесса CGMY в предлагаемом алгоритме 5.3.

Раздел 5.2.2 представляет алгоритмы моделирования процесса CGMY. Моделирование процесса CGMY с использованием винеровского процесса и случайной замены времени неотрицательным неубывающим -устойчивым процессом описано в алгоритме 5.2. Предлагаемый алгоритм 5.3 моделирования процесса CGMY как разности двух медленно растущих устойчивых процессов основан на теореме 5.1 и состоит из следующей последовательности шагов.

Алгоритм 5.3. [4] Моделирование процесса CGMY как разности двух медленно растущих устойчивых процессов.

0) Задаем значения параметров , , , .

1) Генерируем медленно растущий процесс с параметрами , , .

2) Генерируем медленно растущий процесс с параметрами , , .

3) Процесс CGMY с параметрами , , , получаем как

.

Преимущество предлагаемого алгоритма 5.3 заключается в значительно меньших временных затратах по сравнению с моделированием этого процесса алгоритмом 5.2 как винеровского процесса с помощью случайной замены времени -устойчивым субординатором.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные результаты диссертации

В диссертационной работе проведено исследование свойств некоторых процессов Леви: вычислены семиинварианты, моменты, коэффициенты асимметрии, эксцесса с использованием семиинвариантного подхода.

В работе предложены новые алгоритмы моделирования процессов Леви и проведено сравнение предлагаемых и ранее используемых алгоритмов, в результате которого выявлены преимущества предлагаемых алгоритмов по сравнению с имеющимися.

В диссертации представлены следующие основные научные результаты:

1. Выражения для семиинвариантов, моментов, коэффициентов асимметрии, эксцесса нормального обратного гауссовского процесса, VG-процесса, гиперболического процесса, обобщенного гиперболического процесса, полученные с использованием семиинвариантного подхода [1, 10].

2. Алгоритмы моделирования процессов Леви в классе обобщенных гиперболических процессов, основанные на использовании случайных величин с обобщенным гиперболическим распределением, что позволяет уменьшить время при сохранении точности моделирования; сравнение предлагаемых и ранее известных алгоритмов моделирования процессов Леви в классе обобщенных гиперболических процессов. Условия, полученные для класса обобщенных гиперболических процессов Леви, позволяющие применить преобразования Эшера в задаче нахождения стоимости опциона [2, 3, 8, 9].

3. Алгоритм моделирования процесса CGMY, основанный на представлении этого процесса в виде разности двух медленно растущих устойчивых случайных процессов, что позволяет уменьшить время при сохранении точности моделирования; сравнение предлагаемого и ранее известного алгоритмов моделирования процесса CGMY [4].

Рекомендации по практическому использованию результатов диссертации

Полученные результаты могут быть использованы при статистическом анализе и прогнозировании реальных данных в финансах, а также в учебном процессе при чтении специальных курсов по финансовой математике на математических факультетах университетов.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ СОИСКАТЕЛЯ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в научных рецензируемых журналах

1. Кузьмина, А. В. Моделироване дисперсионного гамма-процесса / А.В. Кузьмина // Вес. нац. акад. навук Беларуси. Сер. фiз.-мат. навук. - 2011. - №1. - С. 70-74.

2. Труш, Н. Н. Моделирование обобщенного гиперболического процесса / Н. Н. Труш, А. В. Кузьмина // Вестн. ГрГу им. Я. Купалы. Сер. 2, Мат., физ., информат., вычислит. техника и управление. - 2011. - №3. - С. 89-96.

3. Кузьмина, А.В. Моделирование нормального обратного гауссовского процесса и оценивание его параметров / А. В. Кузьмина // Вестн. Белорус. гос. ун-та. Сер. 1, Физ., мат., информат. - 2011. - № 2. -
C. 133-138.

4. Труш, Н. Н. Моделирование процесса CGMY / Н. Н. Труш, А.В. Кузьмина // Вестн. Белорус. гос. ун-та. Сер. 1, Физ., матем., информат. - 2012. - № 2. - C. 102-105.

Статьи в сборниках материалов научных конференций

5. Кузьмина, А.В. Моделирование гамма-процесса и оценка его параметров / А. В. Кузьмина // Теория вероятностей, математическая статистика и их приложения: Материалы Междунар. конф., Минск, 22-25 февраля 2010 г. / РИВШ; редкол. Н. Н. Труш [и др.]. - Минск, 2010. - С. 179-186.

6. Kuzmina, A.V. Variance gamma process simulation and its parameters estimation / A. V. Kuzmina // Computer data analysis and modeling: complex stochastic data and systems: proc. of the ninth intern. conf., Minsk, Sept. 7-11, 2010.: in 2 vol. / Belorussian State University; editors: S. Aivazian [et. al]. - Minsk, 2010. - Vol. 1. - P. 242-245.

7. Кузьмина, А.В. Оценка параметров дисперсионного гамма - процесса / А. В. Кузьмина // 67-ая научно-практическая конференция студентов и аспирантов Белорус. гос. ун-та: сб. работ, Минск, 17-20 мая 2010 г.: в 3 ч. / Белорус. гос. ун-т; редкол.: С. А. Мазаник [и др.]. - Минск, 2010. - Ч.1. - C. 44-47.

8. Kuzmina, A. V. Variance gamma and normal inverse Gaussian random variables simulation and their parameters estimation / A. V. Kuzmina // Computer algebra systems in teaching and research: Proceedings CASTR 2011, Siedlce, Poland, 2-5 February 2011. - Siedlce, 2011. - P. 123-127.

9. Кузьмина, А.В. Моделирование процессов Леви / А. В. Кузьмина // Международный конгресс по информатике: информационные системы и технологии: материалы Междунар. научн. конгресса, Минск, 31 октября-3 ноября 2011 г.: в 2 ч. / Беларус. гос. ун-т, редкол.: С. В. Абламейко [и др.]. - Минск, 2011. - Ч. 1. - С. 86-91.

Тезисы докладов научных конференций

10. Кузьмина, А.В. Ковариационные функции обобщенных гиперболических процессов / А. В. Кузьмина // НИРС-2011: сб. тезисов докладов Респ. науч. конф. студентов и аспирантов высших учебных заведений Республики Беларусь, Минск, 18 октября, 2011 г. / Белорус. гос. ун-т; редкол.: С. В. Абламейко [и др.] - Минск, 2011. - С. 64.

11. Kuzmina, A. V. Parametrizations equivalence of generalized hyperbolic distribution / A. V. Kuzmina // XI Белорусская математическая конференция: материалы междунар. Научн. конф., Минск, 4-9 ноября 2012 г.: в 4 ч. / Институт математики НАН Беларуси, Белорус. гос. ун-т; редкол.: С.Г. Красовский, В.В. Лепин. - Минск, 2012. - Ч. 4- С. 39-40.

РЭЗЮМЭ

Ключавыя словы: абагульненыя гіпербалічныя працэсы Леві, працэс CGMY, устойлівы выпадковы працэс з павольным ростам, пераўтварэнне Эшара, мадэліраванне працэсаў Леві.

Мэта работы. Даследванне ўласцівасцей і распрацоўка эфектыўных алгарытмаў мадэліравання працэсаў Леві, якія выкарыстоўваюцца ў фінансавай матэматыцы.

Метады даследвання. Метад суперпазіцыі, метад момантаў, крытэрый Калмагорава-Смірнова.

Атрыманыя вынікі і іх навізна. Знойдзены семіінварыянты і моманты працэсаў Леві. Даказана эквівалентнасць чатырох выглядаў параметрызацыі абагульненага гіпербалічнага размеркавання. Для класу абагульненых гіпербалічных працэсаў Леві вызначаны ўмовы, якія дазвалююць прымяніць пераўтварэнні Эшара ў задачы знаходжання кошту апцыёна. Распрацаваны алгарытмы мадэліравання працэсаў Леві ў класе абагульненых гіпербалічных працэсаў і алгарытм мадэліравання працэсу CGMY.

Навізна складаецца ў распрацоўцы алгарытму мадэліравання працэсаў ў класе абагульненых гіпербалічных працэсаў з дапамогай выпадковых велічынь з абагульненым гіпербалічным размеркаваннем і алгарытма мадэлірвання працэса CGMY як рознасці двух устойлівых выпадковых працэсаў з павольным ростам.

Рэкамендацыі па прымяненні. Атрыманыя вынікі могуць быць выкарыстаны пры статыстычным аналізе і прагназаванні рэальных даных у фінансах, а таксама ў вучэбным працэсе пры чытанні спецыяльных курсаў па фінансавай матэматыцы на матэматычных факультэтах універсітэтаў.

Ключевые слова: обобщенные гиперболические процессы Леви, процесс CGMY, медленно растущий устойчивый случайный процесс, преобразование Эшера, моделирование процессов Леви.

Цель работы. Исследование свойств и разработка эффективных алгоритмов моделирования процессов Леви применяемых в финансовой математике.

Методы исследования. Метод суперпозиции, метод моментов, критерий Колмогорова-Смирнова.

Полученные результаты и их новизна. Найдены семиинварианты и моменты процессов Леви. Доказана эквивалентность четырех видов параметризации обобщенного гиперболического распределения. Для класса обобщенных гиперболических процессов Леви определены условия, позволяющие применить преобразование Эшера в задаче нахождения стоимости опциона. Разработаны алгоритмы моделирования процессов Леви в классе обобщенных гиперболических процессов и алгоритм моделирования процесса CGMY.

Новизна состоит в разработке алгоритма моделирования процессов в классе обобщенных гиперболических процессов с помощью случайных величин с обобщенным гиперболическим распределением и алгоритма моделирования процесса CGMY как разности двух медленно растущих устойчивых случайных процессов.

Рекомендации по применению. Полученные результаты могут быть использованы при статистическом анализе и прогнозировании реальных данных в финансах, а также в учебном процессе при чтении специальных курсов по финансовой математике на математических факультетах университетов.

Key words. generalized hyperbolic Levy processes, the CGMY process, the tempered stable process, Esscher transform, Levy processes statistical modeling.

A purpose of work. Levy processes properties research and effective algorithms development.

Methods of research. A superposition method, a method of matching moments, a Kolmogorov-Smirnov test.

The obtained results and their novelty. The moments and the autocorrelation functions of the generalized hyperbolic process, the normal inverse Gaussian process, the variance gamma process, the hyperbolic process are found. Four parameterization types equivalence of generalized hyperbolic distribution is proved. The parameters acceptable regions of a normal inverse Gaussian distribution, a variance gamma distribution that give an opportunity to use Esscher transform are found. The Levy processes simulation algorithms are proposed. The novelty is as follows. The simulation algorithms of the generalized hyperbolic processes using a generalized hyperbolic random variables are developed. The simulation algorithm of the CGMY process as a difference of two tempered stable processes is developed.

Recommendations to use. The obtained results can be used in statistical analysis and forecasting of real data observed in finance. Also they can be used in teaching process by reading special courses of financial mathematics in universities.

Размещено на Allbest.ru

...