Аппроксимация сплайнами второго и третьего порядка функции внутреннего тепловыделения при решении обратных задач теплопроводности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Аппроксимация сплайнами второго и третьего порядка функции внутреннего тепловыделения при решении обратных задач теплопроводности

Рассматривается обратная задача теплопроводности с подлежащей восстановлению функцией внутреннего тепловыделения, сформулированная в экстремальной постановке, как задача оптимального управления процессом с распределенными параметрами. Поиск управляющих воздействий осуществляется на множестве непрерывных и непрерывно-дифференцируемых или дважды непрерывно-дифференцируемых функций. Применение параметризации управляющих воздействий сводит задачу к специальной задаче математического программирования, решение которой осуществляется на основе метода, учитывающего альтернансные свойства искомых экстремалей.

Ключевые слова: Обратная задача теплопроводности, параметрическая оптимизация, альтернансный метод, кусочная аппроксимация, класс функций непрерывных, непрерывно-дифференцируемых, непрерывных со второй производной.

Обратные задачи, возникающие при диагностике и идентификации процесса теплопроводности, как правило, основаны на экспериментальных данных, когда по определенной информации о выходной характеристике - температурном поле - требуется восстановить входные характеристики, например, функции или параметры, содержащиеся в уравнении математической модели объекта. Исходная постановка таких задач в большинстве случаев не обладает свойством устойчивости решения по отношению к вариациям исходных данных, и для получения устойчивых решений требует применения специальных методов [1, 2].

Исследование обратных задач на достаточно широком классе возможных решений влечет большие погрешности искомых характеристик и обычно требует применения методов регуляризации, поэтому актуален поиск подходов, основанных на соответствующем выборе множества допустимых решений, позволяющих получить искомое решение без использования процедур регуляризации [1]. Одним из таких способов является формулировка задачи в экстремальной постановке с последующим применением численных методов, основанных на аналитических условиях оптимальности.

В качестве типовой модели нестационарного процесса теплопроводности с внутренним тепловыделением рассматривается линейное одномерное неоднородное уравнение Фурье в относительных единицах при краевых условиях третьего рода:

(1)

Здесь - температурное поле, зависящее от безразмерного времени (число Фурье) и пространственной координаты ; - безразмерный критерий Био, выражающий теплофизические свойства материала; - температура внешней среды, определяющая тепловые потери на границе тела ; - пространственно-временное управление по мощности внутреннего тепловыделения. В некоторых случаях, в частности, при индукционном нагреве, функция может быть представлена в виде произведения двух функций от одной переменной [3, 4]

, (3)

где - удельная величина полной мощности источников тепла, выделяемого в нагреваемом теле, а - закон их распределения по пространственной координате.

Считая закон распределения источников тепла по пространственной координате доступным для определения в зависимости от геометрических, теплофизических параметров объекта и нагревательной установки, подлежащей идентификации функцией является управляющее воздействие удельной мощности внутреннего тепловыделения, регулируемое обычно напряжением на индукторе и подчиненное ограничению

(4)

принадлежности заданному множеству соответствующих управляющих воздействий.

В таком случае обратная задача теплопроводности может быть сформулирована в следующей экстремальной постановке. По заданной температурной зависимости в некоторой фиксированной точке контроля требуется восстановить удельную величину мощности внутреннего тепловыделения , минимизирующую невязку между заданной и точным решением краевой задачи (1), (2), соответствующим .

Оценить эту невязку можно на основе ошибки равномерного приближения результирующего температурного поля к требуемому на заданном временном интервале [5]

. (5)

На практике поиск идентифицирующей функции приходится осуществлять на основе качественной информации об объекте, обычно исходя из требований максимальной гладкости физически реализуемых функций [1].

В большинстве физически обоснованных случаев поиск достаточно осуществлять [1] в классе непрерывных и непрерывно-дифференцируемых на интервале идентификации функций . В некоторых случаях, для типовых моделей объектов с распределенными параметрами, возможно рассмотреть класс функций, непрерывных на рассматриваемом интервале вместе со второй производной .

Таким образом, необходимо сузить исходное множество управляющих воздействий до класса физически реализуемых или на интервале идентификации [1]. Для этого за управление вместо достаточно принять ее вторую [5]

теплопроводность двухинтервальное управление

(6)

или, соответственно, третью производную

, (7)

на которую накладывается типовое ограничение

, (8)

гарантирующее непрерывность на интервале искомой функции вместе с ее двумя в классе или тремя при производными соответственно.

В такой постановке при минимизации критерия (5) используется описание объекта (1), (2) в виде бесконечного ряда [3, 4]

(9)

разложения температурного поля по собственным функциям тепловой задачи [3,4], где , собственные числа определяются решением уравнения , а - коэффициенты разложения .

На основе (9) искомое оптимальное воздействие должно обеспечивать на заданном интервале достижение минимаксного соотношения

(10)

Применение к такой постановке задачи известной процедуры принципа максимума Понтрягина показывает [5], что новое оптимальное управляющее воздействие представляет собой кусочно-постоянную функцию времени, поочередно принимающую только свои предельно допустимые значения , в соответствии с чем определяется числом и длительностями знакочередующихся интервалов постоянства

, (11)

где .

Интегрирование дважды или трижды уравнения (6) или (7) связи нового управляющего воздействия с соответствующей производной дает кусочно-параболическую форму искомой мощности внутреннего тепловыделения в классе непрерывных и непрерывно-дифференцируемых функций

(12)

или кусочное кубическое представление в классе функций непрерывных вместе со второй производной

(13)

Тем самым устанавливается структура управляющего воздействия, которое параметризуется вектором, содержащим длительности знакочередующихся интервалов постоянства, а также априори неизвестные значения и, при необходимости, . Температурное поле, в свою очередь, также однозначно характеризуется вектором и значениями , и в классе непрерывно - дифференцируемых функций может быть представлено как реакция на сумму составляющих искомой :

(14)

Здесь - решение краевой задачи (1) (2) при управляющем воздействии имеет следующий вид:

, (15)

- решение той же краевой задачи для имеет вид:

, (16)

определяет теплообмен с внешней средой

. (17)

В классе дважды непрерывно - дифференцируемых функций расчетное температурное поле имеет вид:

(18)

Здесь определяются в соответствии с (15) и (17), а -решение краевой задачи (1) (2) при имеет вид

(19)

а - решение той же задачи для :

. (20)

На основании (12)-(20) искомое управляющее воздействие и соответствующее ему температурное поле однозначно характеризуется вектором параметров , заданным при известном значении на замкнутом ограниченном множестве при или на множестве в классе .

Используя полученное описание , на основе критерия оптимальности (10) осуществляется точная редукция исходной некорректной постановки обратной задачи теплопроводности (1), (2) к задаче параметрической оптимизации, являющейся специальной негладкой задачей математического программирования

. (21)

Надлежащим выбором числа n и вектора искомая функция может быть аппроксимирована с любой требуемой точностью, что обеспечивает корректную постановку задачи без дополнительных процедур регуляризации.

К ошибке приближения температурного поля могут быть применены специальные свойства чебышевского альтернанса, фиксирующие достижение знакочередующихся максимальных по абсолютной величине отклонений на интервале в точках , общее число которых на единицу превышает число искомых параметров , на основании которых составляется замкнутая система соотношений.

В зависимости от числа точек достижения максимальных значений разности , от их расположения на интервале возможны различные формы пространственной конфигурации кривой погрешности аппроксимации температуры [5].

Переход от класса функций в класс при одно-, двух- и трехинтервальном управлении приводит к увеличению числа неизвестных параметров идентифицируемого воздействия, и, следовательно, количества расчетных уравнений системы, и влечет усложнение результирующей конфигурации разности температур, но дает существенное уменьшение погрешности аппроксимации искомой функции (таблица 1) при рассмотренном в качестве примера экспоненциальном изменении и следующих значениях параметров . Максимальная погрешность аппроксимации, как правило, достигается на границах интервала или .

Таблица 1

Аппроксимация сплайнами второго (12) или третьего порядка (13) искомой функции внутреннего тепловыделения приводит к соответствующей структуре полученного решения (рис. 1).

Рис.1. Аппроксимация управляющего воздействия в случае двухинтервального управления:

а - сплайнами второго порядка;

б - сплайнами третьего порядка;

в- составляющие аппроксимирующей функции:

г - составляющие:

1 - ; 2 - ; 3 - ; 4 - ;

1 - ; 2 -; 3 - ; 4 - ; 5 - .

Проведенные расчеты показывают возможность получения аппроксимирующих решений как в классе функций с минимальной гладкостью (непрерывных и непрерывно-дифференцируемых), так и повышенной (непрерывных со второй производной) при решении обратных задач теплопроводности на основе альтернансного метода при наиболее распространенных случаях управляющих воздействий с одним, двумя или тремя интервалами постоянства.

Увеличение степени гладкости решений влечет усложнение формы результирующей кривой отклонения расчетной температуры от заданной , и, соответственно, системы расчетных уравнений, но дает значительный выигрыш в точности восстановления искомой функции.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. - 280 с.

2. Цирлин А.М., Балакирев В.С., Дудников Е.Г. Вариационные методы оптимизации управляемых объектов. М.: Энергия, 1976. - 448 с.

3. Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. М.: Металлургия, 1993. - 278 с.

4. Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. М.: Наука, 2000. - 336 с.

5. Рапопорт Э.Я. Плешивцева Ю.Э. Специальные методы оптимизации в обратных задачах теплопроводности. Известия РАН. Энергетика, 2002. № 5. С. 144-155.

Размещено на Allbest.ru