К расчету динамических характеристик процесса нестационарной теплопроводности при нагреве вязких нефтепродуктов в проходном индукционном нагревателе

Размещено на http://www.allbest.ru/

К расчету динамических характеристик процесса нестационарной теплопроводности при нагреве вязких нефтепродуктов в проходном индукционном нагревателе

А.И. Данилушкин

Рассматривается проблема идентификации процесса непрерывного нагрева вязких нефтепродуктов в теплообменных аппаратах с внутренними источниками тепла. Полученные точные передаточные функции для температуры жидкости относительно мощности греющих источников и скорости потока жидкости и их аппроксимация ориентированы на решение задач синтеза систем автоматического управления.

Ключевые слова: индукционный нагрев, теплопроводность, математическая модель, передаточная функция, управление.

Проблема создания качественных систем автоматического регулирования режима индукционного нагрева включает ряд аспектов: разработку математических моделей процесса, алгоритмов управления, формирующих заданное температурное поле, и создание систем управления, реализующих требуемые показатели качества. В связи с большим разнообразием технологических процессов и установок, использующих индукционный нагрев как составную часть производства, каждая конкретная технологическая ситуация предполагает разработку собственной математической модели, учитывающей особенности процесса.

Ориентация разрабатываемых математических моделей на синтез высокоточных регуляторов накладывает специфические требования на принцип их построения: модель должна быть относительно простой и вместе с тем учитывать возмущения технологического и энергетического характеров, которые могут привести режим нагрева к недопустимым отклонениям.

Процесс косвенного индукционного нагрева потока вязкой жидкости в трубе за счет энергии, выделяющейся в стенке трубы под действием вихревых токов, описывается системой линейных неоднородных уравнений вида [1]

; (1)

; (2)

.

Здесь , - температура соответственно трубы и нагреваемой жидкости, - радиальная и аксиальная координаты и время процесса; - функция распределения мощности внутренних источников тепла в стенке трубы, определяемая из решения электромагнитной задачи; - скорость потока жидкости; - коэффициенты температуропроводности соответственно материала трубы и жидкости; L - длина нагревателя, - внутренний и внешний радиусы трубы соответственно.

В качестве основного варианта принимаются краевые условия второго рода и условия сопряжения четвертого рода на поверхности контакта:

; ;

, ;

, , (3)

где - коэффициенты теплопроводности материала трубы и нагреваемой жидкости соответственно.

В [1] рассматривается аналитический способ решения системы дифференциальных уравнений в частных производных с помощью специальных подстановок и преобразований Лапласа и Фурье, который позволяет получить в изображениях по Лапласу решение аналогичной задачи нестационарной теплопроводности для случая нагрева жидкости в проходном индукционном нагревателе при постоянной по радиусу трубы скорости течения жидкости. Решение получено в виде бесконечной суммы трансцендентных функций. Однако нахождение оригинала по полученному изображению является достаточно сложной задачей, а использование полученных выражений для целей синтеза системы управления методами классической теории автоматического управления не представляется возможным без предварительной аппроксимации точной передаточной функции дробно-рациональным выражением.

В работе [2] приведены результаты исследования процесса косвенного индукционного нагрева вязкой жидкости в нагревателях непрерывного действия. Показано, что для исследуемого класса объектов в силу существенных различий теплофизических характеристик материала трубы и нагреваемой жидкости, в частности, коэффициентов теплопроводности, динамическими характеристиками трубы можно пренебречь и считать ее безынерционным звеном. В этом случае процесс нагрева потока жидкости в цилиндрической трубе можно рассматривать как задачу с внешним теплообменом, описываемую однородным уравнением теплопроводности для движущегося цилиндра с управлением, вводимым в граничные условия на внешней поверхности потока жидкости. Кроме того, вследствие низкого коэффициента теплопроводности жидкости можно пренебречь передачей тепла по аксиальной координате за счет теплопроводности, учитывая лишь перенос тепла за счет скоростной составляющей. Скорость движения жидкости в трубе неравномерна по всему сечению потока. Для такой упрощенной постановки задачи процесс нагрева может быть представлен уравнением вида

(4)

с граничными условиями

; ; ; (5)

; ; (6)

. (7)

Найдем передаточную функцию для температуры относительно теплового потока, записав уравнение (4) в приращениях при постоянной скорости потока:

; (8)

; ;

; . (9)

Для решения уравнения (8) с начальными и граничными условиями (9) применим последовательно интегральное преобразование Лапласа по времени и конечное интегральное преобразование Ханкеля по радиусу:

. (10)

Применим к (10) интегральное преобразование Ханкеля [3]:

где- корень характеристического уравнения ;

, (11)

откуда

. (12)

Применяя к полученному выражению обратное преобразование Ханкеля, получим в изображениях по Лапласу операторное выражение для температуры вида

. (13)

Здесь . Отсюда, положив , передаточную функцию для температуры относительно теплового потока получим в виде

, (14)

где ; ; .

Для определения передаточной функции по каналу «скорость потока - температурное распределение» запишем исходное уравнение (4) в приращениях:

. (15)

Обозначим .

Запишем (15) в изображениях по Лапласу:

(16)

нагрев теплообменный нефтепродукт

Производная находится из стационарного режима.

Уравнение теплопроводности для стационарного режима

(17)

.

Применяя к (17) конечное интегральное преобразование Ханкеля [3] по радиальной координате, получим решение в виде

. (18)

Для установившегося режима распределение теплового потока по длине нагревателя аппроксимируется функцией

здесь q1 - значение теплового потока на входе в нагреватель.

Тогда решение (18) принимает вид

(19)

оригинал изображения (19) получен в виде

. (20)

Отсюда производная

(21)

Подставляя (21) в уравнение (16) и применяя затем к (16) преобразование Ханкеля по радиальной координате, получим

. (22)

Отсюда после интегрирования

. (23)

Используя формулу обратного преобразования Ханкеля, получим в изображениях по Лапласу:

. (24)

Передаточная функция для температурного распределения относительно скорости потока принимает вид

, (25)

где .

Точная передаточная функция объекта, включающая в себя суммы бесконечных рядов, весьма громоздка и неудобна для последующего анализа. Для синтеза замкнутой системы регулирования необходима более простая модель, позволяющая обеспечить требуемые качественные показатели системы. При практических расчетах, а также при исследовании САР, используем приближенные соотношения, ограничивая бесконечные ряды в выражении точной передаточной функции некоторой конечной суммой элементарных динамических звеньев.

В этом случае выражение для передаточной функции по каналу «тепловой поток - температура жидкости на выходе из нагревателя» при сосредоточенном управлении для каждой фиксированной координаты можно представить в виде

. (26)

Здесь , .

Реализация контроля температуры жидкости по сечению осуществима только в определенных точках (3ч4 точки) на выходе из нагревателя - на поверхности, в центре и в одной или двух промежуточных точках.

Структурная схема объекта для передаточной функции по каналу «тепловой поток - температура в точке контроля» (например, в точке с координатой ) при ограничении ряда тремя первыми членами представлена на рисунке.

Структурная схема объекта управления

Коэффициенты передачи , постоянные времени элементарных звеньев определяются из условия минимизации квадратичной интегральной ошибки приближения к точной передаточной функции.

, (27)

где - амплитудно-фазовая характеристика объекта (25) для каждой точки контроля температуры по радиусу потока с учетом N членов ряда, - амплитудно-фазовая характеристика, соответствующая исследуемой точке контроля температуры по радиусу потока с учетом трех членов ряда.

Задавшись допустимой ошибкой от ограничения членов ряда, можно найти число членов ряда, которое нужно взять для обеспечения заданной точности. Для исследуемого объекта ЛАЧХ и ЛФЧХ построены с учетом 25 членов ряда. Дальнейшее увеличение членов ряда приводит к несущественному увеличению точности. Так, увеличение членов ряда с 25 до 40 сопровождается уточнением характеристик в существенной части ЛАЧХ менее чем на 1%. Наибольшее расхождение между частотными характеристиками наблюдается в высокочастотной части, где сказывается влияние старших членов бесконечных сумм, образующих соответствующие точные передаточные функции. Отсюда следует, в частности, что при выполнении приближенных расчетов можно ограничиться учетом одного, двух или трех членов ряда. Для конкретной технологической ситуации удовлетворительную точность дает учет трех членов в выражении (26).

Таким образом, передаточная функция, полученная на основе базовой модели процесса нагрева, в существенной части частотной характеристики с достаточной степенью точности может быть представлена в виде параллельного соединения конечного числа динамических звеньев, коэффициенты и постоянные времени которых являются функциями пространственных координат процесса.

Дальнейшее исследование динамики замкнутой системы автоматического регулирования осуществляется обычными методами теории автоматического регулирования на основе аппроксимированной передаточной функции. Аналогичный анализ динамики объекта может быть выполнен по каналу «скорость потока - температура» в соответствии с передаточной функцией (25).

Библиографический список

1. Данилушкин А.И., Зимин Л.С. Идентификация процесса низкотемпературного индукционного нагрева при обработке полимерных материалов // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Технические науки. - 1994. - №1. - С. 171-177.

2. Данилушкин А.И. Структурное моделирование систем управления для одного класса систем индукционного нагрева // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Технические науки. - 1998. - Вып. 5.- С. 120-129.

3. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. - М.: Высшая школа, 1985. - 480 с.

Размещено на Allbest.ru