Моделирование и управление температурными полями в процессе индукционного нагрева алюминиевых заготовок, вращающихся в магнитном поле постоянного тока

Размещено на http://www.allbest.ru/

Самарский государственный технический университет

МОДЕЛИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫМИ ПОЛЯМИ В ПРОЦЕССЕ ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА АЛЮМИНИЕВЫХ ЗАГОТОВОК, ВРАЩАЮЩИХСЯ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Ю.Э. Плешивцева, Н.В. Заикина

Аннотация

нагрев индукционный магнитный поле

Исследуется инновационная энергосберегающая технология индукционного нагрева алюминиевых заготовок, вращающихся в магнитном поле постоянного тока. Проведено моделирование процесса нагрева с использованием электромагнитно-тепловой двумерной численной модели и параметрическое исследование температурных полей заготовки. Приводятся постановка и решение задачи оптимального по быстродействию управления процессом нагрева заготовок.

Ключевые слова: индукционный нагрев, температурное поле, численная модель, альтернансный метод, оптимальное по быстродействию управление.

Введение

Индукционный нагрев алюминия, обладающего высокой удельной проводимостью, является одним из самых крупномасштабных электротехнологических процессов, применяющихся в цветной металлургии, особенно в технологиях горячей обработки цветных металлов давлением. Традиционные индукционные нагреватели представляют собой сплошной соленоид (индуктор), создающий переменное во времени магнитное поле, и конвейерную ленту, по которой в нагревательную установку поступают новые заготовки, нагревающиеся в процессе прохождения внутри индуктора. Установки такого типа обладают большими энергетическими потерями за счет водяного охлаждения медных частей, и их КПД обычно не превышает 60%.

Для повышения энергетической эффективности процесса индукционного нагрева в последние годы была разработана принципиально новая технология, которая заключается в использовании сверхпроводящих материалов для возбуждения магнитного поля высокой интенсивности [1]. Данная технология основана на способности сверхпроводников проводить постоянный ток практически без потерь. Нагрев в таких установках осуществляется за счет токов, индуцируемых в заготовке при ее вращении в постоянном магнитном поле. Коэффициент полезного действия при таком методе нагрева теоретически может достигать 90%.

При вращении заготовки с постоянной скоростью в направленном перпендикулярно оси её вращения (рис. 1) постоянном магнитном поле магнитный поток изменяется по синусоидальному закону, в результате чего и производится нагрев изделия индуцируемыми вихревыми токами.

Р и с. 1 Принцип индукционного нагрева заготовки, вращающейся в магнитном поле суперпроводника

Численная двумерная модель процесса нагрева

Математическая модель системы нагрева алюминиевых заготовок вращением включает взаимосвязанный расчет электромагнитных и тепловых полей в поперечном сечении заготовки в предположении, что длина заготовки много больше её радиуса.

При моделировании рассматриваемого процесса необходимо учитывать следующие факторы:

– теплофизические свойства материала заготовки существенно зависят от температуры и от неравномерности магнитного поля;

– существует сложный характер теплообмена, то есть имеет место одновременное протекание процессов радиационного, конвективного и кондуктивного теплообмена;

– необходимо решать сопряженные задачи, то есть согласовывать решения определяемых отдельных блоков математической модели;

– геометрия системы «индуктор-металл» имеет достаточно сложную форму.

Р и с. 2 Бесконечно длинный цилиндр, вращающийся в однородном поперечном магнитном поле постоянного тока

В подобных условиях для исследования свойств процесса нагрева и решения соответствующих задач оптимального управления удовлетворительное по точности моделирование можно получить только численными методами.

Для моделирования исследуемого процесса был выбран метод конечных элементов, где в качестве конечных элементов используются четырехугольные элементы для детали и элементов индуктора, треугольные элементы - для сетки окружающего пространства. Численная двумерная модель была разработана в среде наукоемкого расчетного программного комплекса ANSYS [2]. Алгоритм решения задачи моделирования представляет собой последовательную итерационную процедуру, включающую гармонический электромагнитный анализ и переходный тепловой анализ.

В качестве базовой рассматривается двумерная модель температурного поля в поперечном сечении заготовки радиусом R (рис. 2), поскольку такая модель, с одной стороны, является достаточно представительной для исследований общего характера, а с другой стороны - позволяет использовать ее в оптимизационных процедурах за счет относительно ограниченного времени расчетов.

Длина цилиндрической заготовки в направлении оси z считается бесконечной. Также предполагается, что заготовка находится в среде с нулевой проводимостью и проницаемостью м₀ = 4р•10^-7 Н/м, вращается с угловой скоростью Щ = f•(2р/60), где f - число оборотов заготовки в минуту во внешнем однородном магнитном поле с магнитной индукцией В₀, T [1].

В общем случае пространственно-временное распределение температуры по объему заготовки в процессе индукционного нагрева описывается взаимосвязанной системой уравнений Максвелла и Фурье для электромагнитного и температурного полей [2].

Уравнение Максвелла для электромагнитного поля внутри проводящего материала может быть записано как

; ; ; . (1)

Здесь - вектор напряженности электрического поля; - вектор электрической индукции; - вектор магнитной индукции; - вектор напряженности магнитного поля; - плотность электрического тока проводимости; - время.

Уравнение Фурье, описывающее в наиболее общем виде температурное поле в нагреваемой заготовке, имеет вид

, (2)

где - температурное поле в поперечном сечении заготовки; - соответственно удельная теплоемкость, плотность и коэффициент теплопроводности нагреваемого металла; - вектор скорости перемещения заготовки; - внутренние источники тепла, возбуждаемые индуцируемыми в заготовке вихревыми токами, за счет которых происходит нагрев.

Удельная мощность тепловыделения на единицу объема нагреваемого тела, которая зависит от частоты вращения заготовки , может быть найдена путем расчета передаваемой в заготовку энергии электромагнитного поля [2]:

. (3)

Применительно к рассматриваемой технологии мощность тепловыделения [Вт/м³] может быть вычислена согласно соотношению [1]

, (4)

где - радиальная составляющая магнитного поля в цилиндрических координатах; [1].

Таким образом, для исследуемой инновационной технологии нагрева управление мощностью тепловыделения осуществляется за счет изменения скорости вращения заготовки.

Теплофизические параметры в (2) являются нелинейными функциями температуры. Совместно с соответствующими граничными и начальными условиями уравнение (2) описывает трехмерное температурное распределение в любой момент времени для любой точки по объему нагреваемой заготовки.

Параметрическое исследование математической модели

Исследование модели проводилось для процесса нагрева заготовок из алюминия со следующими параметрами:

– скорость вращения заготовки - 8, 16, 25, 35, 50 [об/с];

– диаметр нагреваемой заготовки - 215 [мм].

С целью использования модели в оптимизационной процедуре было исследовано, как влияет шаг дискретизации модели на точность вычислений. Результаты показали, что обычно 50-60 временных шагов достаточно для получения точности вычислений, удовлетворительной для инженерной практики.

Путем анализа результатов моделирования было выявлено, что влияние конфигурации катушки индуктора на радиальное распределение температуры в поперечном сечении заготовки невелико, и им можно пренебречь. При изменении конструктивных параметров катушки изменялась только величина индуцируемой мощности источников тепла для одних и тех же значений тока источника питания (расчёты проводились для величины тока 323 kA) [2].

Дальнейшие исследования были посвящены изучению влияния скорости вращения и времени нагрева на изменение температурного поля в поперечном сечении заготовки. Расчёты проводились для различных значений скорости вращения заготовки в диапазоне от 8 до 50 об/сек.

Полученные зависимости температуры поверхности и центра заготовки, перепада температур между поверхностью и центром загрузки от частоты вращения при постоянном времени нагрева свидетельствуют о том, что скорость вращения заготовки имеет значительное влияние на распределение джоулева тепла по поперечному сечению заготовки и, как следствие, на распределение температуры в этом сечении.

Таким образом, изменяя скорость вращения заготовки (время нагрева), можно влиять на распределение температуры по сечению заготовки и термоперепад между центром и поверхностью, поэтому именно скорость вращения заготовки выбирается в дальнейшем как управляющее воздействие на процесс нагрева заготовок, вращающихся в магнитном поле постоянного тока.

Постановка и решение задачи оптимального по быстродействию управления

Для решения задачи управления нагревом заготовок, вращающихся в постоянном магнитном поле, процесс индукционного нагрева рассматривается в качестве объекта оптимизации с распределенными параметрами [3], состояние которого однозначно определяется пространственно-временным распределением температуры нагреваемого тела во времени и по радиальной координате при условии пренебрежения температурной неравномерностью по её длине, поскольку неравномерность распределения температуры в осевом направлении оказывается пренебрежимо малой по сравнению с неравномерностью по радиусу.

Холодные заготовки поступают в установку с начальным распределением температуры и должны быть нагреты в процессе вращения до заданной температуры .

Как было описано выше, изменение частоты вращения заготовки во времени , позволяющее целенаправленно изменять температурное поле заготовки, можно рассматривать в качестве сосредоточенного управляющего воздействия, подобного управлению по мощности индукционного нагрева, осуществляемого по типовой технологии [4].

Ограничение на управляющее воздействие вводится исходя из максимально и минимально возможных величин частоты вращения заготовок и записывается в виде

. (5)

В качестве критерия оптимальности для обеспечения максимальной производительности установки рассматривается минимальное время нагрева .

Применительно к исследуемому в настоящей работе классу задач оптимизации индукционная установка в конечный момент времени должна обеспечивать нагрев металлической заготовки до заданной температуры с допустимым температурным отклонением по сечению заготовки :

. (6)

Таким образом, задача оптимального по быстродействию управления процессом нагрева заготовки, вращающейся в магнитном поле постоянного тока, может быть сформулирована следующим образом.

Необходимо найти такое переменное во времени управляющее воздействие , стесненное ограничением (5), которое обеспечивает перевод нагреваемого изделия с начальным распределением температуры в заданное целевое множество, согласно (6), за минимально возможное время .

Исследование рассматриваемой инновационной технологии процесса нагрева заготовки путем её вращения в постоянном магнитном поле на численной модели температурных полей свидетельствует, что характер пространственно-временного температурного распределения при управлении по скорости вращения идентичен характеру температурного распределения при управляющем воздействии по мощности внутреннего тепловыделения в типовых технологиях нагрева в переменном электромагнитном поле [4].

Подобно известным результатам для общей нелинейной задачи оптимального по быстродействию управления процессами нестационарной теплопроводности с внутренним тепловыделением [4], стандартные процедуры принципа максимума непосредственно определяют -параметризованное представление управляющего воздействия для математической модели ОРП вида (2)-(4) в форме кусочно-постоянной функции времени (рис. 3)

, (7)

однозначно задаваемой тем самым с точностью до числа N и длительностей интервалов своего постоянства, выступающих в роли искомых параметров и зависящих только от требуемой точности нагрева в (6), где N может быть найдено по заданной величине по общей методологии альтернансного метода [3]. В итоге осуществляется процедура редукции исходной задачи к задаче полубесконечной оптимизации:

; (8)

, (9)

где зависимости находятся по численной ANSYS-модели объекта при управлении вида (7).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Р и с. 3 Общий вид оптимального алгоритма управления процессом индукционного нагрева

Аналогии математических моделей и закономерностей температурного распределения в рассматриваемом и типовом процессах оптимального по быстродействию индукционного нагрева приводят к сохранению в сформулированной задаче (8)-(9) соответствующих этим процессам оптимальной формы кривой радиального распределения результирующих температур и его альтернансных свойств, что позволяет использовать для решения данной задачи общую схему альтернансного метода [3], подобно тому, как это сделано в [5].

Ниже представлены результаты расчета оптимального по быстродействию процесса нагрева алюминиевых цилиндрических заготовок диаметром 215 мм путем их вращения в постоянном магнитном поле при токе источника питания 323,2 кА.

Общие результаты расчетов одноинтервального процесса нагрева до температуры 500 єC для путем решения системы уравнений

(10)

относительно оптимальной длительности процесса , величины и приведены в таблице и на рис. 4. Эти результаты показывают, что технологически допустимое температурное отклонение =12.5 єC ( 2.5%) может быть получено только при частоте вращения заготовки, меньшей, чем 16 об/с, которая значительно ниже максимальной f_max. Данное обстоятельство приводит к существенному увеличению времени нагрева. Отклонение ₀=41.4 єC, получаемое при максимальной частоте вращения, означает неравномерность нагрева, которая обычно недопустима для последующего процесса горячего прессования, где требуется более высокая точность нагрева. Поэтому необходимо применение двухинтервального оптимального алгоритма управления.

Р и с. 4 Зависимость максимального температурного отклонения на выходе от частоты вращения заготовки

Т а б л и ц а 1

Одноинтервальный процесс нагрева

Р и с. 5 Двухинтервальный оптимальный алгоритм управления частотой вращения заготовки при

Р и с. 6 Температурный профиль по сечению заготовки в конце оптимального процесса двухинтервального нагрева при

Р и с. 7 Радиальное температурное распределение в конце оптимального двухинтервального процесса нагрева при

Решение задачи поиска оптимального по быстродействию двухинтервального управления для случая, когда заданная величина совпадает с минимаксом , сводится к решению системы уравнений вида

(11)

относительно искомых длительностей , интервалов нагрева и выравнивания температур, минимакса и координаты . Результаты представлены на рис. 5-7. На рис. 5 показана зависимость оптимальной частоты вращения заготовки от времени. Длительность интервала нагрева с максимальной частотой вращения составляет 172,5 с, продолжительность интервала выравнивания температуры - 34,7 с, максимальное температурное отклонение на выходе составляет 0,404 єC. Оптимальное температурное распределение по сечению заготовки в конце процесса нагрева приведено на рис. 6. На рис. 7 показаны результаты моделирования оптимального процесса нагрева с помощью прикладного пакета ANSYS.

Заключение

Из представленных результатов численного моделирования и оптимизации следует, что только применение двухинтервального управления позволяет обеспечивать высокую точность нагрева заготовок при минимальном значении времени процесса.

Для учета дополнительных требований к состоянию нагреваемых изделий в процессе термообработки должны быть сформулированы и решены задачи оптимального управления с учетом ограничений как на максимально допустимую температуру, так и на термонапряжения [6], введение которых позволяет обеспечивать требуемое качество нагрева при максимальной производительности технологического комплекса.

Полученные оптимальные алгоритмы управления приводят к повышению эффективности индукционных нагревателей за счет сокращения общего времени нагрева и отсутствия брака благодаря учету технологических ограничений. В дальнейшем планируется разработка количественных критериев оценки экономического эффекта, достигнутого путем применения полученных оптимальных технологий нагрева.

Библиографический список

1. Magnusson N. Prospects for rotating billet superconducting induction heating // Proceedings of the International Symposium on Heating by Electromagnetic Sources - Padua. 2007. Pp. 479-486.

2. Nacke B. Zlobina M., Nikanorov A., Ulferts A. Numerical simulation of induction heating of aluminum billets by rotation in DC magnetic field [Text] // Proceedings of the International Symposium on Heating by Electromagnetic Sources - Padua. 2007. Pp. 497-504.

3. Рапопорт Э.Я. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами. М.: Высшая школа, 2009. 677 с.

4. Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. М.: Металлургия, 1993. 279 с.

5. Плешивцева Ю.Э. Последовательная параметризация управляющих воздействий и полубесконечная оптимизация алгоритмов управления технологическими объектами с распределенными параметрами: Дис. … д-ра техн. наук. Самара: Сам. госуд. техн. ун-т, 2009. 416 с.

6. Time-optimal control of energy-efficient heating of aluminum billets rotating in DC magnetic field / Pleshivtseva Yu., Zaikina N., Nacke B. Nikanorov A. // Przeglad Electrotechniczny (Electrical Review).2008. R. 84 NR 11/2008. Pp. 120-123.

Размещено на Allbest.ru