Реактивные элементы электрических цепей с "неэлектрическими" параметрами

РЕАКТИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ С «НЕЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ» ПАРАМЕТРАМИ

И.П. Попов Правительство Курганской области

Департамент экономического развития, торговли и труда

Управление стратегического планирования и прогнозирования

Аннотация

Рассматриваются реактивные элементы электрических цепей с «неэлектрическими» параметрами - инертный, упругий и др. Определяется характер процессов, протекающих в них, и характер самих элементов. Показана возможность создания колебательных систем, элементы которых имеют различную физическую природу - электрическую и механическую, электрическую и термодинамическую и т.д.

Ключевые слова: реактивные, цепи, инертный, упругий, термодинамический.

Введение

Изоморфность в математическом смысле механических и электрических устройств позволяет осуществлять электрическое моделирование механических процессов и систем [1]. Ниже будет показано, что «неэлектрические» величины могут являться параметрами не только схем замещения, но и электрических цепей непосредственно, и на основе этого возможна разработка и использование реактивных элементов электрических цепей, выполненных на иных физических принципах.

Традиционные реактивные элементы емкость и индуктивность характеризуются фазовыми соотношениями между приложенным синусоидальным напряжением и протекающим синусоидальным током, а также видом переходных процессов. Кроме того, совокупность реактивных элементов с различным характером реактивности образует колебательные системы, в которых могут возникать свободные гармонические колебания и резонансные явления. Эти три позиции положим в основу дальнейшего рассмотрения.

1. Инертный m-элемент

Покажем, что число параметров электрических цепей R, L, C может быть расширено за счет введения нового параметра, характеризующегося массой m подвижного элемента электромеханической системы.

Вводимый в рассмотрение m-элемент представляет собой устройство (рис. 1), состоящее из последовательно соединенных проводящих рамок, активные части проводников которых длиной l распределены в некоторой плоскости, и постоянного магнита массой m с индукцией B, между полюсами которого находится n проводников [2]. По существу это упрощенная модель электрической машины.

Рис. 1. Инертный--m-элемент

Определим характер процессов, протекающих в электрических цепях, содержащих m-элемент, а также характер самого m-элемента.

1.1 m-элемент в цепи синусоидального тока

Покажем, что m-элемент имеет реактивный характер. Для его выявления в чистом виде целесообразно прибегнуть к идеализации m-элемента, т.е. к следующим допущениям: активное сопротивление , коэффициент трения b = 0, индуктивность L = 0.

Подключим m-элемент к источнику синусоидальной ЭДС . Опишем состояние m-элемента в виде системы двух уравнений в соответствии со вторым законом Ньютона и вторым правилом Кирхгофа

где x - перемещение инертной части, Blni - сила Ампера, Bln - ЭДС электромагнитной индукции. B, l, n, - параметры, обусловливающие электромеханическое взаимодействие. Введем параметрический коэффициент . Система имеет решение

где - реактивное инертное сопротивление. Ток опережает приложенное напряжение на угол . Таким образом, рассматриваемый m-элемент имеет емкостной характер. При этом

1.2 Переходный процесс при постоянной ЭДС

Покажем, что и в этом случае m-элемент ведет себя идентично электрической емкости.

Для исключения влияния собственной индуктивности m-элемента положим . При этом , и, следовательно, уравнение для сил по сравнению с п. 1.1 дополнится силой трения , а уравнение по второму правилу Кирхгофа - падением напряжения Ri. В момент t = 0 цепь подключается к источнику ЭДС . Пусть . Уравнения движения и состояния цепи примут вид:

Система имеет следующее решение: где E₀ = yv₀ - ЭДС, индуцированная в обмотке в момент t = 0,

При b = 0, и решение примет вид: С_эR, что соответствует [3, с. 451, (14-16)]. В частном случае, когда E = 0, имеет место переходный процесс при коротком замыкании. При этом , ср. [3, с. 452].

Замечание 1. Механическая величина - коэффициент трения b также может входить в число параметров электрических цепей.

1.3. Электромеханическая Lm колебательная система. Свободные гармонические колебания

Поскольку m-элемент и катушка индуктивности L имеют противоположный друг другу реактивный характер, то они могут образовывать колебательный контур. Покажем, что в таком контуре возможны свободные гармонические колебания. Поскольку последние могут происходить лишь в отсутствие диссипации энергии, положим R = 0, b = 0. Зададимся начальными условиями: x(0) = 0; ; i(0) = i₀.

В уравнении, описывающем состояние электрической цепи, по сравнению с п. 1.1 появляется величина - ЭДС самоиндукции и система уравнений для Lm-контура приобретает вид:

Система имеет решение:

где

(1)

- собственная частота автономной консервативной системы (в которой отсутствует диссипация энергии).

(2)

- волновое сопротивление колебательной системы.

Таким образом, в системе происходят свободные гармонические колебания.

Замечание 2. В отличие от LC колебательного контура, в котором происходит взаимное превращение энергии, обусловленной движением, а именно - энергии магнитного поля в энергию, обусловленную положением, а именно - энергию электрического поля, в рассматриваемой Lm колебательной системе происходит взаимное превращение энергии, обусловленной движением (энергии магнитного поля катушки), в энергию, обусловленную также движением, а именно - в кинетическую энергию инертной массы.

2. Упругий k-элемент

Из того обстоятельства, что пружинный маятник может совершать гармонические колебания, следует, что пружина обладает реактивностью, знак которой противоположен знаку реактивности инертной массы. Положим это заключение в основу введения нового параметра электрической цепи, характеризующегося коэффициентом упругости. С этой целью рассмотрим k-элемент (рис. 2), представляющий собой, например, n последовательно соединенных рамок, закрепленных пружиной с коэффициентом упругости k. Активная часть рамок длиной l находится в магнитном поле с индукцией B. Исследуем k-элемент с тех же позиций, что и m-элемент.

Рис. 2. Упругий k-элемент

2.1 k-элемент в цепи синусоидального тока

Покажем, что k-элемент имеет индуктивный характер. Для этого воспользуемся допущениями п. 1.1, т.е. R = 0, , L = 0. Кроме того, положим, что масса движущейся части m = 0.

Подключим k-элемент к источнику синусоидальной ЭДС . Пусть i(0) = 0. По аналогии с п. 1.1 запишем систему уравнений, описывающих состояние k-элемента:

Здесь kx - сила упругости.

Система имеет решение

где - реактивное упругое сопротивление. Ток i отстает от приложенного напряжения на угол . Таким образом, рассматриваемый k-элемент имеет индуктивный характер.

2.2 Переходный процесс при постоянной ЭДС

Постановка задачи и принимаемые допущения в этом случае подобны изложенным в п. 1.2, т.е. L = 0, , , e(t) = E. Как и в п. 2.1, положим m = 0.

Зададимся начальными условиями: x(0) = 0. Уравнения механического и электрического состояния имеют вид:

Система имеет решение , ср. [3, с. 444].

2.3. Электромеханическая kC колебательная система. Свободные гармонические колебания

Исследуем возможность возникновения свободных гармонических колебаний в контуре, составленном из конденсатора с емкостью C и k-элемента при допущениях п. 1.3, т.е. R = 0, b = 0, а также m = 0. Пусть начальные условия u_C (0) = u₀, i(0) = 0. Исходная система уравнений:

Здесь - напряжение на конденсаторе. Система имеет решение ,

где

(3)

- волновое сопротивление колебательной системы,

(4)

- собственная частота автономной консервативной системы.

Замечание 3. В рассматриваемой kC колебательной системе происходит взаимное превращение энергии, обусловленной положением, а именно - потенциальной энергии пружины, в энергию, также обусловленную положением, а именно - в энергию электрического поля конденсатора.

Замечание 4. Эквивалентность механических параметров электрическим позволяет перейти от дуального соответствия между собственными частотами колебаний пружинного маятника и колебательного контура к непосредственному, имея ввиду, что , .

3. Термодинамический Г-элемент

Здесь и далее, в п. 4, покажем, что не только механические величины, но и величины, имеющие другую физическую природу, могут входить в состав параметров электрических цепей. В качестве примера рассмотрим объект, относящийся к области термодинамики.

Г-элемент отличается от описанного в п. 2 тем, что вместо пружины в нем установлен пневмоцилиндр объемом V, площадью поршня S, наполненный газом. Покажем, что Г-элемент имеет электрическое реактивное сопротивление. Для этого воспользуемся допущениями п. 2.1, т.е. R = 0, b = 0, L = 0, масса поршня m = 0.

Подключим Г-элемент к источнику синусоидальной ЭДС .

Уравнения движения, состояния цепи переменного тока, состояния газа и политропического процесса соответственно запишутся:

где M - масса газа, - молярная масса, R^* - универсальная газовая постоянная, T - абсолютная температура, - показатель политропы, C - константа, p - давление газа, p_a - атмосферное давление. Здесь Sp и Sp_a направлены встречно друг другу.

Система приводится к виду:

где - обобщенный параметр, характеризующий исходное состояние газа, тип термодинамического процесса и геометрию цилиндра. Здесь T_a - абсолютная температура данного газа при давлении, равном атмосферному, . Таким образом, уравнения, описывающие Г-элемент, идентичны уравнениям для k-элемента (см. п. 2.1). Отсюда следует, что Г-элемент идентичен k-элементу (параметр Г - аналог коэффициента упругости) и имеет индуктивный характер. Основные формулы в соответствии с этим будут иметь вид:

, (5)

4. Термопара Т-элемент

Покажем, что Т-элемент также обладает реактивным сопротивлением, и определим его характер.

Пусть в исходном состоянии температура обоих спаев будет Т₁ = Т₂ = Т₀. Пропустим через термопару количество электричества q. Тогда в одном спае выделится, а в другом поглотится теплота Q = Пq (явление Пельтье), где П - коэффициент Пельтье. При этом появится разность температур спаев T = 2Q/C^*, где C^* - теплоемкость. На концах термопары возникнет разность потенциалов (явление Зеебека), где E_T0 - удельная термо-ЭДС.

Для выявления реактивной составляющей сопротивления положим R = 0, L = 0. Подключим термопару к источнику синусоидальной ЭДС. Тогда баланс напряжений запишется в виде: где - обобщенный коэффициент. Термо-ЭДС и приложенное напряжение направлены встречно друг другу. Продифференцируем уравнение баланса напряжений: Ток опережает напряжение на . Таким образом, термопара имеет емкостный характер. Основные формулы будут иметь вид:

(6)

5. Электрические колебательные контуры, полностью состоящие из «нетрадиционных» реактивных элементов

реактивный электрический цепь колебательный

Четыре электрические контура, содержащие по одному «нетрадиционному» элементу, рассмотрены выше. Это Lm, kC, ГС и LT, собственные частоты и волновые сопротивления которых определяются соответственно выражениями (1), (2), (4), (3), (5) и (6). Очевидно, что свободные гармонические колебания могут возникать в электрических контурах, полностью состоящих из «нетрадиционных» реактивных элементов.

mk-контур. Собственная частота

Последнее соотношение ничем не отличается от частоты механического маятника, за исключением того, что это параметр электрической цепи.

Волновое сопротивление

mГ-контур ,

kT-контур ,

ГT-контур ,

Замечание 5. Рассмотренными «нетрадиционными» реактивными элементами и образованными ими колебательными системами все их многообразие не ограничивается.

Заключение

1. В электрических цепях наряду с электрическими емкостями и индуктивностями могут использоваться элементы, имеющие другую физическую природу, например, механическую - инертный m- и упругий k- элементы, термодинамическую - Г-элемент, термоэлектрическую - Т-элемент. Таким образом, в качестве параметров электрических цепей могут рассматриваться «неэлектрические» величины, такие как масса, коэффициент упругости, температура, молярная масса, теплоемкость и др.

2. Каждый из рассмотренных элементов имеет электрический эквивалент, что делает возможным определить прямое соответствие между величинами разной природы. Так, , , , k = Г, .

3. В отличие от известных колебательных систем, в которых происходит взаимное превращение энергии, обусловленной движением, в энергию, обусловленную положением, в колебательных системах, состоящих из реактивных элементов, имеющих разную физическую природу, происходит взаимное превращение энергии, обусловленной движением, в энергию, обусловленную также движением, или энергии, обусловленной положением, в энергию, обусловленную также положением.

Библиографический список

1. Ленк А. Электромеханические системы. Системы с сосредоточенными параметрами. М.: Мир, 1978. 283 с.

2. Попов И.П. Реактивные элементы цепей, выполненные на основе линейных электродинамических машин // Состояние и перспективы развития научно-технического потенциала Южно-Уральского региона: Тр. Межгосударств. науч.-техн. конф. Магнитогорск: МГМИ, 1994. С. 26-28.

3. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники, ч. 1. Линейные электрические цепи. М.: Энергия, 1970. 592 с.

4. Шубин А.С. Курс общей физики. М.: Высшая школа, 1976. 480 с.

Размещено на Allbest.ru