Структурное моделирование процесса методического индукционного нагрева

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Самарский государственный технический университет

Структурное моделирование процесса методического индукционного нагрева

А.И. Данилушкин

Процесс методического индукционного нагрева дискретно перемещающихся через индуктор цилиндрических заготовок рассматривается как объект управления с управляющим воздействием в виде мощности внутренних источников тепла. Определены передаточные функции объекта с распределенными параметрами относительно сосредоточенного управляющего воздействия и возмущающих воздействий в виде потока тепловых потерь. Предложена структурная модель рассматриваемого объекта как совокупности ограниченных цилиндров с общей для граничащих цилиндров поверхностью контакта на торцах.

Ключевые слова: индукционный нагрев, внутренние источники, структурная модель, распределенная система.

индукционный нагрев цилиндр моделирование

Математическая модель процесса методического нагрева системы ограниченных цилиндров внутренними источниками тепла. Для нагрева цилиндрических заготовок в технологических линиях горячей обработки на деформирующем оборудовании применяются индукционные нагревательные установки методического действия, в которых заготовки перемещаются дискретно. В индукторе одновременно находятся заготовок. Для относительно протяженных заготовок температуры поверхностей контакта смежных заготовок могут существенно отличаться. Это, в свою очередь, оказывает значительное влияние на температурное распределение по длине заготовки. В связи с этим обстоятельством нагрев длинномерных заготовок наряду с температурным перепадом по сечению нагреваемого изделия характеризуется неравномерным температурным распределением по длине заготовки в процессе перемещения ее через нагреватель, что может привести к существенному отклонению температурного распределения заготовки, находящейся на выходе из индуктора. В этом случае для оценки температурного распределения по длине необходимо решать двумерную тепловую задачу, которая позволит определить распределение температуры как по длине, так и по радиусу. Исходя из физической сущности рассматриваемой задачи при моделировании процесса методического нагрева был принят ряд допущений, позволивших получить удовлетворительную точность описания температурного поля с помощью аналитических методов:

1) электромагнитные процессы принимаются безынерционными;

2) электрофизические и теплофизические характеристики материала заготовки для каждого интервала постоянства нагрева остаются неизменными, изменяясь лишь при переходе на следующую позицию;

3) функция распределения мощности по координате х в пределах каждой заготовки принимается неизменной, равной единице.

Используя известные методы решения электромагнитной задачи, можно получить выражения для определения функции распределения мощности внутренних источников тепла по объему тепловыделяющего цилиндра в виде точных аналитических выражений или их аппроксимаций при численном методе решения для объектов индукционного нагрева с ферромагнитными массами [1].

С учетом принятых допущений математическая модель процесса методического индукционного нагрева дискретно перемещающихся цилиндрических заготовок для каждой -ой заготовки может быть представлена в виде [2]

(1)

Начальные условия:

(2)

граничные условия:

(3)

(4)

(5)

(6)

где - температурное поле -ой заготовки;

- радиальная и аксиальная координаты заготовки соответственно, , ;

- коэффициент температуропроводности;

- теплоемкость и удельная плотность металла заготовок соответственно;

- коэффициент теплопроводности;

- число заготовок в нагревателе;

- функция распределения внутренних источников тепла по радиусу заготовки;

- мощность внутренних источников тепла;

- радиус заготовки;

-длина заготовки.

Тепловые потери и с торцов заготовки определяются разностью температур граничащих слева и справа заготовок, причем при перемещении заготовок слева направо с левого торца заготовки имеет место отток тепла, а с правого торца - приток тепла от более нагретой заготовки.

Начальное распределение температуры по объему заготовки на входе в индуктор принимается равномерным, равным температуре окружающей среды. На практике начальное температурное распределение можно принять равным нулю:

(7)

Решение задачи (1)-(6) - в виде суммы[2, 3, 5]

(8)

двух одномерных полей: - неограниченного цилиндра и - неограниченной пластины, каждое из которых моделируется соответствующими уравнениями теплопроводности[2, 3]:

а) для бесконечного цилиндра

(9)

с начальными и граничными условиями

(10)

(11)

, (12)

б)для пластины

(13)

с начальными и граничными условиями

(14)

(15)

. (16)

Эквивалентная система уравнений, соответствующая исходной модели процесса методического нагрева дискретно перемещающихся ограниченных цилиндров в стандартной форме с нулевыми начальными и однородными граничными условиями, принимает вид

(17)

(18)

где и - стандартизирующие функции соответственно для задач (9) ч (12) и (13)ч(16), которые записываются в виде [4]:

- для задачи (9) ч (12)

;(19)

- для задачи (13)ч(16)

.(20)

Здесь - - пространственные входные и выходные координаты для цилиндра и пластины соответственно.

Импульсная переходная функция для задач (17), (18) может быть найдена из решения соответствующих уравнений:

- для бесконечного цилиндра

(21)

- для пластины

(22)

Применяя к (21) конечное интегральное преобразование Ханкеля по радиальной координате, а к (22) - конечное интегральное -преобразование Фурье, получим соответствующие выражения для функции Грина в виде [5]:

(23)

(24)

Таким образом, температурное распределение в каждой -ой заготовке принимает вид

(25)

Полученное выражение позволяет вычислить температурное поле ограниченного цилиндра при произвольном характере распределения внутренних источников тепла в любой момент времени и в любой точке по объему нагреваемого изделия.

Структурное представление процесса методического нагрева системы ограниченных цилиндров внутренними источниками тепла.Объект управления согласно представлению (8) можно рассматривать как параллельное соединение распределенных блоков с общим сосредоточенным входом и передаточными функциями, определяемыми через функцию Грина для каждого блока [4, 5].

Передаточная функция для бесконечного цилиндра по каналу «управляющее воздействие - температурное распределение по радиальной координате» может быть получена на основании функции Грина (23) в следующем виде:

(26)

Передаточная функция для бесконечной пластины по каналу «управляющее воздействие - температурное распределение по аксиальной координате» может быть получена по аналогии на основании функции Грина (24) в следующем виде:

(27)

Таким образом, каждая из представленных передаточных функций представляет собой параллельное соединение одного интегрирующего и бесконечной суммы апериодических звеньев первого порядка с убывающими по мере возрастания постоянными времени для цилиндра и для пластины. Коэффициенты передачи апериодических звеньев для цилиндра и пластины зависят от координат и соответственно.

Граничные условия в рассматриваемой задаче можно представлять как внешние возмущающие воздействия в виде теплового потока с поверхностей. Передаточные функции относительно этих возмущающих воздействий имеют аналогичный (26), (27) вид. Отличие заключается лишь в замене входных координат и на координаты поверхностей соответственно цилиндра , левого и правого торцов заготовки [5]. Структурная схема процесса нагрева для -ого цилиндра представлена на рис. 1.

Здесь - передаточная функция распределенного блока вида (26) по каналу «управляющее воздействие -температурное поле бесконечного цилиндра», в качестве которого рассматривается мощность источников внутреннего тепловыделения , - передаточная функция распределенного блока вида (27) по каналу «управляющее воздействие - температурное поле пластины».

Рис. 1. Структурная модель процесса нагрева цилиндра внутренними источниками

, - передаточные функции статических переходных блоков, преобразующих сосредоточенный сигнал на входе в виде мощности внутреннего тепловыделения в распределенный сигнал по радиальной и аксиальной координатам цилиндра соответственно [5],, - передаточная функция распределенного блока вида (26) по каналу «тепловой поток -температурное поле цилиндра», , - передаточная функция распределенного блока вида (27) по каналу «тепловой поток- температурное поле пластины», , , - передаточные функции статических переходных блоков, преобразующих сосредоточенные сигналы на входе в виде теплового потока с боковой поверхности, а также с левого и правого торцов цилиндра соответственно в распределенный сигнал.

Если в индукторе находится заготовок, перемещающихся дискретно с периодом , то все они находятся под воздействием сосредоточенного управляющего сигнала в виде мощности внутреннего тепловыделения в процессе движения их от входа к выходу. Структурная модель процесса формирования температурного поля при методическом индукционном нагреве совокупности дискретно перемещающихся цилиндров с сосредоточенным управляющим воздействием в виде мощности внутреннего тепловыделения, полученная на основании выражений (26), (27), представлена на рис. 2.

Здесь - передаточная функция ограниченного цилиндра по каналу «мощность внутреннего тепловыделения - температура». В физически реализуемой системе управления в качестве управляемой величины обычно рассматривается температура в какой-либо фиксированной точке, доступной для контроля.

Рис. 2. Структурная модель процесса методического нагрева совокупности цилиндров

Для методического нагревателя в качестве такой точки можно рассматривать точку с координатами , , где - координата торца -ой заготовки на выходе из нагревателя. Поскольку наиболее интересным и важным с точки зрения синтеза систем управления является исследование поведения объекта в динамике при вариации мощности источников нагрева, структура объекта определена по каналу «мощность источников внутреннего тепловыделения -температура объекта». В этом случае передаточная функция ограниченного цилиндра по каналу «мощность внутреннего тепловыделения - температура в фиксированной точке с координатами () на выходе из нагревателя» принимает вид:

(28)

В том случае, когда теплопередачей с торцов заготовокможно пренебречь, математическая модель процесса индукционного нагрева цилиндра может быть представлена в виде одномерного линейного неоднородного уравнения относительно радиального температурного распределения.

Библиографический список

Немков В.С., Демидович В.Б. Теория и расчет устройств индукционного нагрева. - Л.: Энергоатомиздат, Ленингр. отд-е, 1988. - 280с.

Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. - М.: Металлургия, 1993. - 279 с.

Лыков А.В. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа, 1967. - 590с.

Бутковский А.Г. Структурная теория распределенных систем. - М.: Наука, 1977. - 224с.

Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем с распределенными параметрами. - М.: Высшая школа, 2003. - 299с.

Размещено на Allbest.ru