Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ»

Московский институт электроники и математики

Курсовая работа

«Системы управления и обработки информации в инженерии»

Двумерная модель хаббарда в оптических решетках

Зотов Алексей Владимирович

Москва 2018 г



Аннотация

Целью данной работы является построение метода термометрии для количественного описания эксперимента [1]. Были проанализированы результаты для двух разных моделей (Хаббарда и Гейзенберга), проведено сравнение результатов моделирования на решетках разной конфигурации (квадратная и специальная, подробнее в практической части работы). В ходе работы получена зависимость корреляционной длины от температуры, температурная зависимость спинового коррелятора на ближайших узлах (является экспериментально наблюдаемой величиной и может напрямую сравниваться с экспериментом), а также намагниченности подрешетки.

Обзор сделанной работы

Обзор проделанной работы в первую очередь стоит начать с эксперимента, описанного в работе [1], который во многом послужил причиной написания данной работы. Суть эксперимента заключается в экспериментальном наблюдении антиферромагнитной упорядоченности в сильнокоррелированных ультрахолодных системах. Основной проблемой, с которой столкнулись исследователи было отсутствие способа непосредственного измерения температуры системы. Для решения этой задачи был предложен способ, связанный с спин спиновой корреляционной функцией. Для проверки корректности использования расчетных моделей было проведено численное моделирование результатов эксперимента [1].

В ходе решения этих задач я освоил ряд навыков, решил несколько подзадач, перечисленных в приложении 1, а также представил краткую выдержку результатов на конференции имени Арменского в МИЭМ [2].



Введение

Одним из самых выдающихся и удивительных открытий 20 века по праву можно считать квантовую механику. Необычные свойства нашего мира, которые были скрыты от нашего непосредственного наблюдения, были проявлены с помощью свежих мыслей и революционных идей.

Влияние, которое было оказано на прогресс человечества, трудно переоценить. Хотя бы сам тот факт, что я пишу эту работу на компьютере, работающем на полупроводниках, в основе которых тоже лежит квантовая механика. Или лазеры, область применения которых поистине огромна, начиная от сверхточных операций заканчивая системами наведения боеголовок. Так и получается, что с квантовой механикой, сами того не подозревая, мы сталкиваемся везде.

Уравнения квантовой механики описывают отдельные атомы, электроны и их взаимодействия, однако прямое их использования без каких-либо упрощений приводит к вызывающим апатию вычислениям, сложность которых зашкаливает с увеличением размеров системы. Это приводит к мысли о том, что на каждом масштабе рассматриваемой системы необходимы какие-то свои допущения, обобщения и идеи, поэтому просто применять уравнения, написанные для взаимодействия двух электронов на случай такого же взаимодействия десятков, а то и сотен электронов может привести к избыточности и невозможности за разумное время получить какой бы то ни было результат.

Прежде всего, обозначу пространство, в котором производятся все расчеты. Это конечномерное Гильбертово пространство, расчеты производятся в относительных единицах температуры.

Очевидно, что прямое применение законов квантовой механики к системам из хотя бы десятков взаимодействующих частиц, расчет парных взаимодействий “каждый с каждым” приводит к катастрофически большим массивам данных, которые не в состоянии не то, чтобы обработать, а хотя бы хранить современные компьютеры.

Однако в большинстве физических систем в природе гамильтониан включает только локальные взаимодействия, что делает матрицу гамильтониана крайне разряженной. Этого достаточно, чтобы дать некоторую примерную структуру низкоэнергетических собственных функций, что существенно снижает необходимый для описания системы объем информации.

Еще одно преимущество, следующее с физически обоснованным гамильтонианом в том, что закономерности, установленные для систем малых размеров, помогут понять, что происходит в больших системах. Это является следствием локальности взаимодействий.

Тем не менее, решение проблемы систем большего числа частиц остается трудной задачкой. Одним из возможных способов перехода от малых систем к большим - допущение о том, что система большого числа частиц состоит из множества не взаимодействующих друг с другом подсистем. Иными словами. проблема сводится к проблеме систем с малым количество частиц, что достаточно просто решить. Под этим мы подразумеваем, что волновая функция , факторизуется при помощи одночастичных волновых функций:

То есть системы, описанные с помощью одночастичного гамильтониана, хорошо согласуются с текущими теориями и с точки зрения вычислительной сложности относятся к категории решаемых за разумное время.

Тем не менее, такой подход не является панацей. Существуют феномены, для которых учет многочастичной природы описываемой системы является необходимым условием для понимания процессов, происходящих в системе (например, антиферромагнетизм). В таком случае обычно говорят о сильно коррелированных системах (strongly correlated systems).

Одним из самых популярных феноменов, описываемых в терминах такого рода систем, является высокотемпературные сверхпроводники. Несмотря на широкоизвестную и прекрасно работающую теорию БКШ (Бардин, Купер, Шриффер) [3], к сожалению, эта теория не объясняет высокотемпературную сверхпроводимость для материалов, чьим нормальным состоянием не является ферми жидкостью. В этой работе я больший упор планирую сделать на исследовании явления антиферромагнетизма и его свойствах.



1. Теоретическая часть

1.1 Модели решеток для сильно коррелированных систем

Даже если мы захотим промоделировать целиком уравнение Шредингера, ясно, что это такое моделирование приведет к невообразимо большим вычислительным затратам. Вместо этого мы применим другой подход. Предположим, что гамильтониан системы, определенный на дискретной решетке, будет близок к реальному, причем мы не вводим какой- то точной процедуры оценки такого приближения. Даже если мы ошибемся, мы можем понять, какая часть гамильтониана важна, а какая нет. Начнем рассмотрение возможных моделей с модели Хаббарда.

Модель Хаббарда является одной из самых простых (на первый взгляд) моделей, применяемых в теоретических исследованиях высокотемпературной сверхпроводимости, названной в честь своего открывателя Джона Хаббарда [5].

Гамильтониан модели на квадратной решетке с интегралом перекрытия , ответственным за кинетическую энергию электронов и локальное отталкивание , обозначающее вклад потенциальной энергии кулоновского отталкивания электронов, записывается вот так

где означает спин электрона, а означают ближайших соседей и . и обозначают операторы создания и уничтожения соответственно. На каждой клетке решетки возможно 4 состояния: нет электрона, электрон со спином вверх, электрон со спином вниз и два электрона с противоположными спинами.  

В дополнении к интегралу перескока и внитриузельному отталкиванию, мы также можем изменять заполнение ячеек, которое определяется как отношение суммы электронов к общему числу ячеек. Как правило используют так называемое половинное заполнение, при котором система содержит половину от всего максимально возможного числа частиц (по две на ячейку).

Двумерная модель Хаббарда исследовалась с помощью большого числа различных методов, как аналитических [например, 6,7] так и с помощью численного моделирования (с помощью точной диагонализации [8], квантового Монте-Карло [9], Density matrix renormalization group, включая квазидвумерные системы [10]).

В случае половинного заполнения и в пределе большего модель Хаббарда переходит в модель Гейзенберга, так как в этом случае перескоки электронов становятся затруднительными, и кинетическая энергия становится незначительной. В результате в этой модели точно один электрон в ячейке, вид гамильтониана следующий:

где это операторы Паули, а сумма проходит по всем занятым ближайшим соседним ячейкам. Обменный интеграл определяется через параметры модели Хаббарда и :

Такое упрощение позволяет сократить размерность Гильбертова пространства с до .

Двумерная модель Гейзенберга активно изучалась как аналитическими методами, так и с помощью численного моделирования. В первом случае можно обратится к работам [11,12], а во втором - к работам [13,14].

1.2 Численные методы в сильнокоррелированных системах

В предыдущем разделе мы установили, что прямое решение уравнение Шредингера в надежде получить какое-то решение с увеличением размера системы быстро приводит нас в тупик, поэтому было решено использовать другой подход, в ходе которого мы воспользуемся численными методами для моделирования и понимания гамильтонианов моделей для сильнокоррелированных систем. Помимо непосредственного получения требуемых волновых функций, в ходе моделирования мы также сможем получить интересные величины с физическим смыслом, такие как энергия, намагниченность, спин спиновые корреляционные функции. Отдельно стоит отметить, что численные методы не единственный способ получить решение проблемы. Существуют аналитические методы, например для одномерной модели Гейзенберга получено аналитическое решение [15], однако в данной работе мы больше сконцентрируемся на численных методах.

1.3 Точная диагонализация (Exact Diagonalization)

При наивном подходе можно предположить, что для решения уравнения Шредингера на дискретном базисе размера необходима матрица размеров и возможность ее диагонализовать. Однако, как уже упоминалось, физические гамильтонианы локальны и, как правило, достаточно разрежены. Кроме того, необязательно хранить весь гамильтониан к памяти компьютера, нам достаточно знать результат действия гамильтониана на вектор в гильбертовом пространстве. Наконец, у нас, как правило, нет необходимости считать все собственные значения и собственные вектора.

Набор алгоритмов, который получает почти точное значение для небольших собственных чисел и собственных векторов называется точная диагонализация (Exact diagonalization, ED). Основная идея метода в том, что самое большое по модулю собственное значение может быть получено с помощью многократного умножения матрицы на случайный вектор .

Для того, чтобы понять, почему это работает, представим себе, что случайный вектор может быть разложен по неизвестному собственному базису матрицы:

где - коэффициенты разложения. Без потери общности, предположим, что собственный базисы матрицы такой, что удовлетворяет следующему условию:

. Чаще всего,  и есть искомое собственное значение. Умножая матрицу гамильтониана раз на этот вектор дает:

Для достаточно больших мы можем получить аппроксимацию основного состояния волновой функции как . Мы можем рассчитать энергию этого состояния:

Ошибка зависит от отношения энергий на основном и первом возбужденном состояниях в степени , на практике степень берут достаточно большой, чтобы энергия основного состояния и собственный вектор сходились с требуемой точностью.

Несмотря на простоту, такой подход достаточно неэффективен из-за того, что большая часть информации отбрасывается (степени от 0 до матрицы гамильтониана). Вместо этого, мы можем построить аппроксимацию полного гамильтониана в пространстве Крылова:

,

Гамильтониан в этом случае - матрица размеров , причем , что проще диагонализовать численно. Примером подхода реализации алгоритма точной диагонализации с помощью данной идеи служит алгоритм Ланцоша [16]. Суть его в том, что пространство Крылова обеспечивает более компактную запись волновой функции в основном состоянии, иными словами, в этом пространстве необходимо меньшее , чем в базисе исходного гамильтониана.

Чтобы понять, какой выигрыш в вычислительных возможностях дает алгоритм, рассмотрим пример. На обычном ПК с объемом оперативной памяти в 8 гб можно посчитать систему с порядка 100 миллионами состояний. С помощью современных реализаций алгоритма точной диагонализации можно увеличить число состояний до 100 миллиардов!

1.4 Квантовое Монте-Карло

Хотя точное решение желательно, мы не всегда можем его получить. Более того, нас чаще всего интересуют оценки средних значений каких-то переменных.

Вместо этого мы можем попробовать получить семпл из распределения, задаваемого волновым уравнением в гильбертовом пространстве. Конечно, при таком подходе у полученных значений будет некоторый разброс, однако центральная предельная теорема утверждает, что ошибка оценки будет уменьшаться как единица, деленная на корень из числа сэмплов (если второй момент конечен) с множителем, зависящем от рассматриваемой системы и способа сэмплирования. Общее название всех методов, которые включают сэмплирование из гильбертова пространства - квантовое Монте-Карло. Описание метода можно найти в [17].

Самым простым примером квантового Монте-Карло может служить вариационное Монте-Карло (variational Monte Carlo,VMC) [18]. В этом методе мы считаем вариационную энергию гамильтониана используя пробную функцию :

при помощи сэмплирования Монте Карло. Вариационный принцип гарантирует, что , где это энергия основного состояния. Также предполагается, что пробная волновая функция взята таким образом, что ее можно посчитать за разумное время.

Обозначим возможные состояния в конфигурационном пространстве как . Чтобы посчитать вариационную энергию введем оператор равенства как чтобы получить выражение для энергии.

Недостатком вариационного метода является факт того, что пробную волновую функции нужно подбирать под каждую задачу, более того, в волновой функции должна быть отражена физическая суть проблемы, что само по себе требует глубокого понимания проблемы. И даже после этого требуется немало усилий в поиске оптимальных параметров волновой функции, при которых достигается минимум энергии [19].

Ограниченная гибкость метода - самое большая проблема вариационного Монте Карло, и делает его не способным выявить ту физику процесса, которая была изначально заложена в пробную волновую функцию. Поэтому этот метод считается смещенным и может использовать в ограниченном кругу задач.

Вторым типом алгоритмов квантового Монте Карло можно считать projector Monte Carlo, что является общем термином для целого семейства алгоритмов (диффузионный Монте Карло [20], Монте Карло на основе функций Грина [21] и другие).

Для большей конкретики, предположим, что проекция , что обусловлено маппингом уравнения Шредингера в уравнения диффузии в мнимом времени. В этом уравнении частицы совершают случайные блуждания, и в любой момент времени количество частиц в заданном объеме случайная величина. Однако, в случае продолжительного наблюдения за количеством частиц в определенном объем и усреднение этих наблюдений даст нам информацию о равновесном состоянии системы и каких-то средних значениях. В проекционном Монте Карло роль реального пространства играет Гильбертово пространство конфигураций электронов, роль диффузионных частиц играют “ходоки” (сущности с информацией обо всех координатах электронов) а роль равновесного распределения играет квантовомеханическая волновая функция, причем раз волновая функция может быть и отрицательной, и положительной, то и “ходоки” содержат знак.

Со временем “ходоки” могут вносит большой положительный или отрицательный эффект на измеряемую величины. Так как процесс случайный, это приводит к смещенным оценкам мер центральной тенденции. Причем смещение растет вместе с размером системы экспоненциально, что говорит о полной неэффективности наивного применения проекционного Монте Карло. Родовая проблема этого метода называется проблема знака.

Однако это проблема актуальна не для всех систем. Например, в случае системы бозонов или если мы априорно знаем, в каких регионах какие знаки у системы. решетка коррелированный диагонализация температурный

1.5 Метод ренормализационной группы

Ренормализационная группа (ренормгруппа) дала способ понять физику низких энергий гамильтонианов для классических и квантовых систем [22].

Одним из примеров подхода в рамках метода ренормгруппы называется действительное пространство ренормализационной группы. Основная идея метода в разбиении большой системы на подблоки и замена блочных степеней свободы на меньшие эффективные степени свободы. Нет одного подхода по усечению степеней свободы, ренормгруппа -- это общее название методов, которые используют усечение Гильбертового пространства. Одним из самых первых и наиболее известных примеров применения данного подхода было изучения гамильтониана Кондо, за которую Вилсон получил нобелевскую премию в 1982.

Однако его успех не смогли повторить в применении этого метода для других задач, потому что стало очевидно, что ренормгруппа подходит для узкого класса задач, поскольку метод рассматривает только взаимодействие между блоками.

Идея о том, что окружающее пространство блока играет важную роль в оптимальном отсечении Гильбертова пространства привела к новому методу, названному Density Matrix Renormalization Group[23]. Основная идея метода в том, что лучше всего оставлять те состояния в блоке ячеек (пусть это будет B), у которых наибольшие веса в уменьшенном матрице плотности , рассчитанная в квантовом многочастичном состоянии:

Алгоритм Density Matrix Renormalization Group оказался крайне успешен в области объяснения физики низких энергий одномерных систем. Для более детального ознакомления можно посмотреть статьи [24,25].

Спустя всего несколько лет после того, как была сформулировано DMRG, было открыто, что волновая функция, которая получается с помощью этого алгоритма, не что иное как состояние произведения матриц (matrix product state) [26].

У ренормгруппы нет проблемы знака, но этот метод ограничен в применении к системам большой размерности.

Динамическая теория среднего поля

До сих пор, мы изучали методы, основанные на сэмплировании или подсчете волновых функций. У каждого из этих методов есть свои плюсы и минусы, однако все они ограничены либо основным состоянием, либо небольшим числом возбужденных состояний систем конечного размера. В дополнении ко всему, мы рассматривали сильнокоррелированные системы в пределе атома, предполагая, что электроны локализованы в пространстве. Было бы интересно рассмотреть случай, когда они делокализованы. На самом деле, в этом вопросе на поможет теория среднего поля.

В динамической теории среднего поля, которая развивалась большим числом исследователей на протяжении большого числа лет [27] поможет справится с этой задачей. Метод способен получать информацию о спектре системе и является своеобразным мостом между случаем локализованных электронов и почти свободным электронным газом.

Основная идея метода в том, чтобы представить отдельную ячейку (группу ячеек) так называемой примесью, которая погружена в “ванну” из остальных ячеек. Главный ингредиент метода заключается в написании условия самосогласования - условия совпадения функции Грина для примесей и функции Грина для бани. Для того чтобы решить такое уравнение, нужно допустить, что собственная энергия решетки независима от импульса. Основная проблема такого допущения в том, что стирается вся информация о ячейках за пределами выбранных.

Одним из самых успешных применений метода стало объяснение фазового перехода между металлом и изолятором Мотта.



2. Практическая часть

Практическую часть моей работы можно разбить на две взаимодополняющие друг друга части:

1. Непосредственное моделирование.

2. Обработка и анализ данных.

Каждый из этих разделов был реализован с помощью своего языка программирования, а взаимодействие между частями происходило при помощи обмена данными в xml и hdf5 формате. Для моделирования был выбран язык python и библиотека pyalps, являющаяся по сути оберткой над ALPS (Algorithms and Libraries for Physics Simulations) [28]. ALPS -- это проект с открытым исходным кодом, который обеспечивает высокоуровневые функции для моделирования квантовых сильно коррелированных систем, а также библиотеки на C++ для упрощения разработки такого кода.

В качестве языка анализа данных был выбран R, как язык, обладающий богатым набором способов визуализации данных и активным сообществом.

Основной задачей работы являлось построение модели виртуального термометра для работы [30] а также примерно оценить, насколько сильно будут расходится модели Хаббарда и Гейзенберга в своей оценке температуры.

Непосредственное моделирование

В ходе этой части моей практической работы я преследовал несколько целей. Во-первых, необходимо было разобраться, как пользоваться ALPS. К сожалению, внятной и подробной документации нет, есть отрывочные сведения общего характера на официальном сайте проекта, а также базовые примеры использования различных алгоритмов (exact diagonalization, DMRG и тд). Однако и из этих скудных материалов мне удалось понять общую схему создания задания на расчеты.

Мои рабочим GUI был jupiter notebook для python'а, достаточно удобная среда разработки. С базовым синтаксисом python'а я уже был знаком, поэтому сам язык с нуля изучать мне не пришлось. Итак, для создания самого простого задания на расчет, необходимо загрузить требуемые библиотеки при помощи команды:

После этого библиотека загружена и ее можно пользоваться. Чтобы непосредственно задать само задание, нужно создать объект типа лист с параметрами моделируемой системы. Сделать это можно например вот так :

parms = [{ 'LATTICE'                : "square lattice", 'MODEL'                  : "spin", 'SEED'                   : 20171210, 'local_S'                : 0.5, 'T'                      : 0.5, 'J'                      : 1, 'THERMALIZATION'         : 1000, 'L'                      : 10, 'h'                      : 0 }]

С помощью такого кода мы задали обычную модель Гейзенберга для антиферромагнетика на квадратной решетке размера 10х10 при относительной температуре 0.5 с половинным заполнением, а также задали параметры цепи -  всего будет сделано 10000 шагов, а первая 1000 будет “сожжена” в надежде на то, что уж за 1000 то шагов цепь сойдется и начнет сэмплировать из равновесного распределения.

После того, как был задан лист с параметрами, можно переходить непосредственно к моделированию. Для этого используется команда:

В первой строчке мы записываем xml файл с заданием на моделирование (указывая названия файла), а вторым запускаем его, указывая какой именно алгоритм хотим использовать. Также можно разрешить параллельное моделирования, указав в соответствующем параметре необходимое число процессоров, которые можно использовать. В данном примере мы используем алгоритм квантового Монте Карло, а именно алгоритм направленного цикла [29]. Результатом работы алгоритма будет набор файлов расширения .h5 или .xml, если указать соответствующие настройки в функции вызова моделирования.

После того, как я разобрался с базовым инструментарием, который давал ALPS, я начал изучать возможности ALPS'а по созданию собственных нестандартных решеток. Это было трудно, но я справился. Действовать приходилось методом проб и ошибок, поскольку четко прописанной документации с примерами, как я уже говорил, не предусмотрено. Но зато я научился создавать собственные решетки двумя способами -  как с помощью модуля lattice, так и с помощью модуля graph, причем если lattice проще в использовании и гораздо проще масштабируется, то graph позволяет пользователю включить фантазию на полную и ограничен исключительно трехмерным пространством.

В случае с модулем lattice концептуально задачу построения новой решетки решается через описание базиса, причем желательно это делать параметрически для упрощения масштабируемости, после этого указывается тип граничных условий (открытые или периодические), тип связей и частиц в ячейках и наконец сами связи, точнее, что с чем соединять. Все это записывается в один xml файл под названием lattices.xml и лежит в специальной папке, откуда по умолчанию подключаются решетки. По умолчанию ALPS идет с большим числом различных решеток на любой вкус - начиная от простых одномерных заканчивая решеткой Кагоме, причем каждая дублируется в зависимости от граничных условий и гомогенности.

В случае же модуля graph за дополнительную гибкость приходится платить огромным множеством ручной работы в случае больших систем, потому что размер системы фиксируется изначально на стадии создания, и все связи и тип узлов прописывается руками, в отличии от модуля Lattice, где достаточно было прописать базис и его масштабировать.  Такое количество ручной работы неизбежно привело бы к ошибкам и большим временным затратам на поиск багов, поэтому я написал простой скрипт, который создавал решетку нужной формы за меня, и записывал ее в нужном формате в .xml файл. Структура файла была проста: в начале идет заголовок с названием решетки, типом гран условий и количеством узлов, а после этого идет описание структуры решетки, с описанием каждого узла и его координат, а так е связей между этими узлами.

С помощью модуля graph мне удалось создать решетку нестандартной формы, которая использовалась в работе [1].

С помощью скрипта стало гораздо удобнее создавать и контролировать правильность создания решеток. Скрипт был написан в среде R версии 3.4.4, все исходные материалы хранятся в моем персональном репозитории на гитхабе [31].

Обработка и анализ данных

После того, как я разобрался с тем, как работать в среде ALPS, я приступил к изучению и моделированию интересующих меня систем. В первую очередь, я изучил, как можно моделировать модель Гейзенберга и ее характеристики в среде ALPS. Вся информация, включая файлы на python'e и для анализа данных хранятся также в этом же репозитории [31].

Формула спиновой корреляционной функции:

В формуле Sz это оператор спина, S=1/2, двойная сумма берется по совокупности N_d узлов решетки, находящихся на расстоянии d друг от друга.

Пример создания задания на расчет для модели Гейзенберга уже был показан, в этот раз я добавил только цикл для того, чтобы промоделировать систему при разных температурах. В результате я получил рассчитанное значение намагниченности подрешетки и спин спинового коррелятора, которые удовлетворяют здравому смыслу и теории, а именно значения функции спинового коррелятора убывают с расстоянием и увеличением температуры:

Значения спин спинового коррелятора в зависимости от относительной температуры и номера ячейки.

На этом графике отчетливо видно поведение системы. Стоит отметить, что размер системы равен 10х10, а на рисунке отмечены только первые 5 ячеек так как остальные ячейки являются зеркальной копией первых пяти в силу периодических граничных условий.

С помощью средств 3D визуализации можно наглядно увидеть антиферромагнитную упорядоченность в рассматриваемой системе. Язык R позволяет это делать разными способами, я воспользовался пакетом plotly.

Значения спиновых корреляций при температуре T/J = 0.1.

На этом рисунке абсолютно четко видно структуру антиферромагнетика, что говорит о том, что модель задана правильно и результаты, полученные с ее помощью, имеют смысл.

Наконец, можно посмотреть на значения спиновой корреляционной функции в меньшем масштабе, чтобы лишний раз убедится в том, что поведение системы логично.

Зависимость значения спиновой корреляционной функции от температуры.

На этом рисунке отчетливо видно, что с увеличением температуры корреляция на соседних узлах уменьшается до нуля.

Также была предпринята попытка оценить температуру перехода в модели Гейзенберга. Для этого система была смоделирована на решетках разных размеров. Результат на рисунке 5.

Грубая оценка температуры перехода в модели Гейзенберга.

Следующим шагом решения задач было сравнение моделей Хаббарда и Гейзенберга. Сравнение было решено проводить по параметру энергетической щели для одномерной модели (цепочки длинной 8 ячеек). Выбор такой скромной модели обусловливается большими затратами оперативной памяти при расчетах, которые к сожалению, были весьма ограничены (8 Гб).

Получу формулу связи параметров моделей Хаббарда и Гейзенберга в рамках эксперимента [1]. Известно, что J=4t^2/U, а U=7t. Отсюда получаю T/J = 7/4 T/t

В результате численного моделирования получены следующие результаты:

Энергетическая щель вычислялась для разных значений параметров модели, и на картинке прекрасно видно, что в пределе больших значений для U модель Хаббарда в половинном заполнении сходится в своих предсказаниях с моделью Гейзенберга, что является лишним подтверждением теоретического предсказания.

На рисунке ниже представлены те же данные, но вычисленный по формуле:

Относительная разница рассчитанных значений энергетической щели для моделей Гейзенберга и Хаббарда.

Затем было проведено моделирование с целью повторить экспериментальные замеры из работы [1].  Моделирование проводилось при помощи модели Гейзенберга, при помощи двух различных решеток - стандартной квадратной с периодическими граничными условиями и нестандартной решетки (рисунок 1), повторяющей форму решетки, использовавшейся в эксперименте.

Различные параметры для модели Гейзенберга для различных типов решеток.

Наибольший интерес представляет параметр квадрат плотности намагниченности подрешетки (Staggered magnetization density^2), так как форма решеток разная (поэтому плотность) и из-за методики расчетов ( поэтому квадрат).

Вид зависимости квадрата плотности намагниченность подрешетки от температуры и типа решетки.

По рисунку видно, что геометрическая форма решетки оказывает существенное влияние на результаты. Поэтому в дальнейшем буду использовать только решетку специальной формы. Теперь можно посмотреть на характеристики спиновой корреляционной функции (формула 2.1). Для этого построим зависимость спинового коррелятора от узла и температуры. Получим следующую зависимость.

Вид закономерности спин спинового коррелятора от расстояния и температуры.

Из рисунков видно, что с увеличением температуры наклон прямых увеличивается, что говорит об уменьшении значений корреляционной функции.

Основная идея построения этих кривых была в том, чтобы рассчитать корреляционную длину для каждой температуры по следующей формуле:

Из этой формулы видно, что для того, чтобы вычислить корреляционную длину, нужно взять логарифм от при d>=1 , после этого аппроксимировать данные линейную функцию. Наклон этой функции и будет являться обратной корреляционной длиной.

Вид зависимости расчетной корреляционной длины от температуры.

На рисунке отчетливо видно, что с увеличением температуры корреляционная длина убывает. При чем видно, что наибольшая корреляционная длина, которая наблюдается в системе равна 3.5 при температуре при самой низкой температуре рассматриваемой системы. Однако в эксперименте [1] получена иная картина:

Результаты, полученные в ходе эксперимента [1].

Если сравнивать корреляционную длину, полученную в эксперименте, видно, что она отличается от рассчитанной практически в 2 раза (8 и 3.5). Ясно, что такое существенное различие нельзя объяснить погрешностью вычислений, которая указана на обоих рисунках в виде разбросов (плюс минус одно стандартное отклонение)



Выводы

В ходе проведенного анализа было установлено существенное отличие между полученными результатами в ходе численного моделирования условий эксперимента, поставленного в работе [30]. Это может быть вызвано как использованием модели Гейзенберга вместо модели Хаббарда, так и некорректной постановкой эксперимента. На рисунке 6 видно, что приблизительная разница между значениями, которые дает модель Хаббарда и модель Гейзенберга при использовании U = 8 будет приблизительно 30%, однако при сравнении рассчитанной корреляционной длины с полученной экспериментально, видно, что разница больше, чем 30%.

Также хотелось бы поблагодарить моего научного руководителя Буровского Евгения Андреевича за терпение и поддержку в ходе написания этой работы.



Список литературы

1. Mazurenko et al., A cold-atom Fermi-Hubbard antiferromagnet, NATURE, VOL 545,462, 25 May 2017.

2. Зотов А.В. , Aнтиферромагнетизм ультрахолодных газов в оптических решетках // В кн.: Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов НИУ ВШЭ им. Е.В. Арменского. Материалы конференции. / Под общ. ред.: А. Н. Тихонов, С. А. Аксенов, У. В. Аристова, Л. С. Восков, М. В. Карасев, Л. Н. Кечиев, В. П. Кулагин, Ю. Л. Леохин, А. Б. Лось, И. С. Смирнов, Н. С. Титкова. М. : МИЭМ НИУ ВШЭ, 2018. С. 38-39.

3. K. v. Klitzing, G. Dorda, and M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980).

4. R. Laughlin, Phys. Rev. Lett. 50, 1395 (1983).

5. J. Hubbard, Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences 276, 238 (1963).

6. M. C. Gutzwiller, Phys. Rev. 137, A1726 (1965).

7. G. Kotliar and A. E. Ruckenstein, Phys. Rev. Lett. 57, 1362 (1986).

8. E. Dagotto, Rev. Mod. Phys. 66, 763 (1994).

9. C. N. Varney et al., Phys. Rev. B 80, 075116 (2009).

10. E. Jeckelmann, D. J. Scalapino, and S. R. White, Phys. Rev. B 58, 9492 (1998).

11. D. A. Huse, Phys. Rev. B 37, 2380 (1988).

12. A. V. Chubukov, S. Sachdev, and J. Ye, Phys. Rev. B 49, 11919 (1994).

13. E. Manousakis, Rev. Mod. Phys. 63, 1(1991).

14. N. Trivedi and D. M. Ceperley, Phys. Rev. B 41, 4552 (1990).

15. H. Bethe, Zeitschrift fьr Physik A Hadrons and Nuclei 71, 205 (1931).

16. Lanczos, C. "An iteration method for the solution of the eigenvalue problem of linear differential and integral operators", J. Res. Nat'l Bur. Std. 45, 255-282 (1950).

17. Quantum Monte Carlo Methods in Physics and Chemistry, NATO ASI Ser. C 525, edited by M. P. Nightingale and C. J. Umrigar (Kluwer, Dordrecht,1999).

18. W. L. McMillan, Phys. Rev. 138, A442 (1965).

19. E. Neuscamman, C. J. Umrigar, and G. K.-L. Chan, Phys. Rev. B 85, 045103 (2012).

20. J. B. Anderson, The Journal of Chemical Physics 63, 1499 (1975).

21. N. Trivedi and D. M. Ceperley, Phys. Rev. B 40, 2737 (1989); N. Trivedi and D. M. Ceperley, Phys. Rev. B 41, 4552 (1990).

22. K. G. Wilson, Rev. Mod. Phys. 47, 773 (1975).

23. S. R. White, Phys. Rev. Lett. 69, 2863 (1992).

24. U. Schollwцck, Rev. Mod. Phys. 77, 259 (2005).

25. K. A. Hallberg, Advances in Physics 55, 477 (2006).

26. S. Цstlund and S. Rommer, Phys. Rev. Lett. 75, 3537 (1995).

27. G. Kotliar et al., Rev. Mod. Phys. 78, 865 (2006).

28. B. Bauer et al. (ALPS collaboration) The ALPS project release 2.0: open source software for strongly correlated systems,J. Stat. Mech. P05001 (2011).

29. A. W. Sandvik, Phys. Rev. B 59, 14157 (1999).



Приложение

1. Разобрался со структурой ALPS. Понял, как задавать собственные, нестандартные решетки, разобрался с синтаксисом XML, написал скрипт, облегчающий создание собственных графов связей, позволяющий создавать любые графы, не привязанные к системе координат.

2. Вычислил вид корреляционной зависимости на соседних узлах от температуры для модели Гейзенберга, убедился с что с увеличением температуры падает упорядоченность, построил 3D картину корреляционных зависимостей для конкретной решетки. Сделал это при помощи серии симуляций, в которых с шагом в 0.1 менялась температура.

3. Проверил влияние различных типов краевых условий на вычисляемые параметры (Намагниченность подрешетки, спин-спин корреляция). Научился задавать нестандартную решетку двумя способами, в виде модуля Lattice и в виде модуля graph.

4. Провел серию тестов для рукописного графа чтобы убедится в корректности создания решетки. Проверкой корректности было сравнение результатов моделирования с результатами, полученными при помощи стандартной решетки.

5. Создал решетку нестандартной формы (в виде вписанных в окружность радиуса 10 квадратов со стороной 1), которая максимально близка к условиям проводимого эксперимента.

6. Начал проводить сравнение моделей Гейзенберга и Хаббарда при различных J (U для Хаббарда) для того, чтобы проверить теоретический факт о том, что модель Хаббарда при достаточно большом U переходит в модель Гейзенберга. Для этого на квадратной решетке размера 3х3 было проведено моделирование с различным U и соответствующим ему J. T принималось равным 1.

Размещено на Allbest.ru

...