Напряженно-деформированное состояние и устойчивость физически нелинейных пластинчатых систем, контактирующих с упругой средой

Размещено на http://www.allbest.ru/

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

напряженно-деформированное состояние и устойчивость физически нелинейных пластинчатых систем, контактирующих с упругой средой

Иванов Олег Геннадьевич

Москва - 2006

Общая характеристика работы

Актуальность. В настоящее время во многих областях техники и строительства применяют тонкостенные пространственные системы в качестве различных инженерных сооружений. Часть из этих сооружений взаимодействуют с упругой средой. К ним относятся подземные переходы, тоннели, фундаменты и т.д., в технике как упругую среду можно рассматривать оболочки с ребрами жесткости.

Достаточно большое число материалов, применяемых в строительстве и технике, обладают нелинейной диаграммой деформирования, т.е. при расчетах необходимо учитывать физическую нелинейность. Если рассматривать диаграммы деформирования бетонов, различных сплавов, композитов, то видно, что они являются нелинейными.

Проблеме расчета конструкций на упругом основании, посвящены многочисленные научные исследования. Большинство работ относится к расчету на винклеровском основании физически линейных пластинчатых систем. Практически нет работ, связанных с расчетом пластинчатых систем в упругой среде с учетом нелинейной диаграммы деформирования материала оболочек.

Расчет пространственных систем с учетом физической нелинейности значительно трудоемок по сравнению с расчетом конструкций в линейной постановке.

Для более точной постановки коэффициента запаса прочности конструкции, и правильной оценки ее работы необходимо дальнейшее развитие методики расчета пространственных пластинчатых систем, контактирующих с упругой средой на прочность и устойчивость при наличии физической нелинейности. Поэтому разработка методики статического расчета и расчета на устойчивости пластинчатых систем в упругой среде с учетом физической нелинейности материала является актуальной проблемой.

Целью диссертационной работы является:

Разработка алгоритма, методики статического расчета и устойчивости физически нелинейных пластинчатых систем в упругой среде. Построение эффективных математических моделей расчета нелинейных пластинчатых систем на прочность и устойчивость. Разработка вычислительных алгоритмов, программных средств.

Научную новизну работы составляют:

­ получены основные нелинейные дифференциальные уравнения равновесия и устойчивости пластинчатой системы в упругой среде, представленной однослойной моделью;

­ разработан алгоритм расчета призматической оболочки и программа, реализующая предложенный алгоритм;

­ составлено дифференциальное уравнение для расчета физически нелинейных пластинчатых систем типа призматических оболочек с несмещающимися ребрами при продольно поперечном изгибе;

­ исследовано влияние физической нелинейности и упругой среды на напряженно-деформированное состояние и устойчивость пластинчатой системы.

Практическая ценность работы заключается в том, что разработанные алгоритмы и составленные программы могут быть использованы в настоящее время в инженерных расчетах с применением ПЭВМ. Алгоритм и методика расчета использованы при проектировании подземных сооружений проектным институтом "Марийскгражданпроект".

Обоснованность и достоверность научных положений устанавливается сходимостью решений, сопоставлениями с результатами других методов, а также точным выводом дифференциальных уравнений.

Положения, выносимые на защиту:

1. Математические модели статического расчета и устойчивости пластинчатых систем с учетом физической нелинейности материала оболочки, взаимодействующей с упругой средой.

2. Алгоритмы статического расчета и расчета на устойчивость физически нелинейных пластинчатых систем типа призматической оболочки, взаимодействующей с упругой средой.

3. Результаты анализа напряженно-деформированного состояния и устойчивости пластинчатых систем в зависимости от степени физической нелинейности и упругой среды.

Апробация работы. Результаты работы докладывались или публиковались в трудах научно-технических конференций:

­ IV и VII Вавиловских чтениях. Всероссийские междисциплинарные научные конференции (Йошкар-Ола, 2000, 2003, 2004 гг.),

­ ХХХ Гагаринские чтения. Международные молодежные научные конференции (Москва, 2004г.),

­ XXI Международной конференции по теории пластин и оболочек (Саратов, 2005 г.),

­ Международной научно-практической конференции "Актуальные проблемы строительного и дорожного комплексов" (Йошкар-Ола, 2004 г.),

­ IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006г.),

­ на заседании кафедры строительной механики МГСУ (Москва, 2006г.),

­ на заседании кафедры сопротивления материалов и прикладной механики МарГТУ (Йошкар-Ола, 2006г.).

По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ. Наименования работ приводятся в списке использованной литературы.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, основных выводов, списка литературы. Общий объем ее составляет 116 стр. и включает в себя 1 таблицу, 32 рисунка и список литературы из 127 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертационной работы, приведены основные положения, составляющие научную новизну, практическую ценность и достоверность полученных результатов. Кратко излагается содержание работы по главам.

В первой главе приведен краткий обзор работ, связанных с расчетом тонкостенных пространственных систем, контактирующих с упругой средой, на статику и устойчивость.

Приводятся описание различных материалов (сплавы, пластмассы, композиты) диаграммы деформирования, которых можно аппроксимировать в виде кубической параболы.

Рассмотрены некоторые основные модели упругих оснований, наиболее часто применяемых при расчетах сооружений. Среди них наибольшее распространение получили модели Винклера, упругого полупространства, модель упругого основания с двумя коэффициентами постели и т.д. Проанализированы работы, связанные с расчетом оболочек, лежащих на неоднородном основании - Н.Н. Леонтьева, В.В. Петрова, и др.

Расчет балок и плит, контактирующих с упругой средой с использованием выше перечисленных и других моделей упругих оснований, связан с работами известных ученых, таких как Власов В.З., Габбасов Р.Ф., Горбунова-Посадов М.И., Клейн Г.К., Коренев Б.Г., Леонтьев Н.Н., Петров В.В., Соболев Д.Н., Травуш В.И. и др.

Вопросу расчета тонкостенных пространственных систем типа призматических оболочек с учетом и без учета упругой среды посвящены работы Березинской О.А., Власова В.З., Иванова С.П., Кузнецова О.Р., Леонтьева Н.Н., Пастушихина В.Н., Петрова В.В. и др.

Проблеме расчета оболочек вращения посвящены многочисленные исследования. Теория цилиндрических оболочек представляет собой частный случай общей теории оболочек, которые изложены в работах В.З. Власова, П.Л. Пастернака, С.П. Тимошенко. Кроме того, расчет цилиндрических оболочек, взаимодейсвующих с упругой средой, изложен в работах Кима В.Е., Серова М.В, Шашвалеева К.Ф., Якубова С.Х. и др.

Из приведенного краткого обзора в конце главы сделаны выводы, по которым сформулированы задачи диссертации. Можно отметить, что обзор работ по теории расчета пластинчатых систем в упругой среде показывает, что они в основном относятся к расчету физически линейных пластинчатых систем на винклеровском основании. Методика расчета в винклеровском варианте вносит определенную погрешность, особенно когда конструкция контактирует со связанными средами, так как здесь не учитываются касательные напряжения. В разрабатываемой методике упругая среда принимается как однослойное основание конечной толщины Н_m. По сравнению с винклеровским основанием данная модель более совершенно способна “распределять” нагрузку.

Во второй главе разрабатывается методика статического расчета пластинчатых систем в упругой среде с учетом физической нелинейности. В основу методики положены известные гипотезы теории призматических оболочек В.З.Власова, гипотеза о нелинейно-упругом материале, гипотезы теории тонких оболочек Кирхгофа - Лява. Интенсивности напряжений у_i и деформаций e_i связываются в виде кубической параболы.

(1)

где Е и Е₁ - постоянные, принимаются из опытных данных.

При выводе уравнений учитывается сжимаемость материала и полагаются справедливыми законы малых упругопластических деформаций А.А. Ильюшина. Связь между деформациями и перемещениями осуществляется в форме:

 (2)

Перемещения u в продольном x, v - поперечном s и w - нормальном z направлениях (рис. 1) выбираем по В.З.Власову в виде разложений:

(3)

Для вывода уравнений использовался энергетический метод. Составлялась полная энергия для системы. Из условий совместности деформаций в местах соединений пластинчатой системы можно принять при d=k

(4)

Используя уравнения Эйлера-Лагранжа с учетом (4), определяли экстремум полной энергии.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1. Общая схема пластинчатой системы в упругой среде

Полагая, что прогибы пластин системы совпадают с осадкой упругой среды, присоединив работу реактивных давлений упругой среды соответственно в продольном и нормальном направлениях:

(5)

получаются обыкновенные нелинейные дифференциальные уравнения равновесия пластинчатой системы, взаимодействующей с упругой средой:

 (6)

нелинейный пластинчатый упругий программный

где - отношение модуля упругости к модулю сдвига,

Все коэффициенты линейной части уравнений определяются по В.З.Власову кроме е_hk, который учитывает действие изгибающего момента М_x в продольном направлении, и m_hk, учитывающего крутящий момент М_xs:

(7)

Выражения правых частей Ф_j, Ф_h учитывают физическую нелинейность задачи и из-за громоздкости записи в развернутом виде не приведены. Отбросив упругую среду и нелинейные части, приняв коэффициенты e_hk=m_hk=_hk=0, получим уравнения, полностью совпадающие с уравнениями В.З.Власова для расчета призматических оболочек в линейной постановке.

Упругая среда учитывается в виде однослойного основания, и коэффициенты уравнений имеют следующий вид:

(8)

где 0<k_s<1 (коэффициент, учитывающий трение упругой среды с оболочкой)



где Е₀, ₀ - модуль деформации и коэффициент Пуассона упругой среды, H_m - высота слоя основания.

Используя вышеуказанную методику, получаем дифференциальные уравнения для расчета нелинейных пластинчатых систем, контактирующих с упругой средой, когда точки поперечного сечения оболочки имеют только нормальные перемещения.

При этом деформации выражаются следующим образом:

(9)

Нормальные перемещения принимаем в виде разложения:

(10)

Выбор координатных функций f_k(s) проводится в соответствие деформированным состоянием системы, а искомые функции W_k(x) являются обобщенными прогибами и подлежат определению из решения задачи.

Составляем полную энергию для системы. Определяем минимум энергии, используя уравнения Эйлера-Лагранжа. Полагаем, что прогибы пластин системы совпадают с осадкой основания и, присоединив работу реактивных давлений упругой среды, после некоторых преобразований получим нелинейные дифференциальные уравнения равновесия для пластинчатых систем, имеющих несмещаемые ребра:

(11)

где нагрузка Q_i равна:

Выражение Ф_i в (11) учитывает физическую нелинейность материала оболочки и имеет следующий вид:

(12)

Индексы после запятой в (12) показывают на дифференцирование выражений по данным переменным. Функции, входящие под интегралы, имеют следующий вид:

(13)

где = 3 E₂ ⁵/20; E₂ = E₁/E(1+)².

Таким образом, в реферируемой работе получены дифференциальные уравнения, позволяющие учитывать физическую нелинейность в пластинчатых системах, взаимодействующих упругой средой. На основе уравнений (11) также можно рассчитывать и пластины.

Для решения статических уравнений на ПЭВМ составлена фортран - программа. Численное интегрирование дифференциальных уравнений проводилось методом Рунге - Кутта. Здесь непосредственно интегрировались нелинейные дифференциальные уравнения. Для поиска недостающих условий на краях пластинчатой системы в краевой задаче применялся метод итераций типа Ньютона. Решение тестовых примеров показывает достаточную точность получаемых результатов.

В третьей главе рассматриваются вопросы расчета нелинейных пластинчатых систем на устойчивость. На основе уравнений, составленных во второй главе, получены дифференциальные уравнения устойчивости. Поперечная нагрузка Q выражается по В.З.Власову через продольную силу P (рис. 2) и кривизну:

(14)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.2. Общий вид пластинчатой системы с действующей нагрузкой

Здесь а и являются координатными функциями. Под n_i понимаем нормальное напряжение, вызванное в поперечном сечении пространственной системы от действия приращения Р продольной нагрузки.

В результате подстановки (14) во вторую группу уравнений (6) получим дифференциальное уравнение устойчивости для нелинейной пластинчатой системы, взаимодействующей с упругой средой:

(15)

Предложена методика расчета на действие продольных и поперечных нагрузок физически нелинейных пластинчатых систем, контактирующих с упругой средой, когда точки поперечного сечения оболочки имеют только нормальные перемещения. Отмечено, что нелинейные дифференциальные уравнения продольно-поперечного изгиба призматической оболочки с несмещающимися ребрами позволяют рассчитывать и пластины в упругой среде.

Дифференциальные уравнения для расчета призматических оболочек с несмещающимися ребрами и пластин на продольно-поперечный изгиб (устойчивость) имеют вид:

(16)

При решении задачи задаем начальное несовершенство в пластинчатой системе. Для этого вводим бесконечно малую величину поперечной нагрузки в уравнении (15) и (16). В уравнениях (15, 16) соответственно силы P и являются параметром критической нагрузки.

Составлен алгоритм решения задачи на устойчивость. Для решения нелинейной задачи используется численная методика определения критической нагрузки. Для этого нагрузка разбивается на малые величины Р. Двигаясь по параметру нагрузки, мы должны каждый раз удовлетворять граничным условиям на краях оболочки. Для этого используется итерационный процесс типа Ньютона. При приближении нагрузки к критической величине итерационный процесс начинает расходиться. Уменьшая шаг величины Р можно с достаточной точностью определить величину критической нагрузки.

В четвертой главе на основании полученных уравнений (6) исследованы напряженно-деформированные состояния различных пластинчатых систем.

По методике, изложенной во второй главе, проведен расчет П-образной пластинчатой системы (рис. 3), когда верхняя и правая пластины контактируют с упругой средой. Упругая среда задана в виде однослойного основания, а внешняя равномерно распределенная нагрузка q, расположенная в плоскости верхней грани, действует по левому верхнему краю в поперечном направлении по всей длине оболочки. Оболочка рассматривалась при двух видах граничных условий на торцах:

а) края опираются на диафрагмы, абсолютно гибкие из своей плоскости и абсолютно жесткие в плоскости;

б) края заделаны в абсолютно жесткие неподвижные массивы.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3. Схема действующей нагрузки и поперечного сечения оболочки в упругой среде

Исследовано влияние физической нелинейности на напряженно-деформированное состояние (НДС) системы. Геометрические параметры призматической системы принимались следующие: д/а = 1/10 - отношение толщины к поперечному размеру; l/a = 5 - 9 отношение длины к поперечному размеру; Н₁/a = Н/a = 2.5 - отношение толщины деформируемых слоев к поперечному размеру оболочки. Физические постоянные - Е₁/Е = 10⁶, н = 0, Е₀/G = 0.001, н₀ = 0.3. Q = q/Gд = 5 10^-5 - относительная величина нагрузки.

Во всех случаях упругая среда уменьшает влияние физической нелинейности на НДС системы, что вполне очевидно, т.к. упругая среда уменьшает деформацию системы.

На рисунке 4 представлен график изменения относительного поперечного перемещения V/ верхнего ребра по относительной длине l/2a пластинчатой системы с учетом упругой среды при опирании торцов на диафрагмы. Кривая 1 построена по линейной теории с учетом упругой среды, кривая 3 построена для физической линейной пластинчатой системы без упругой среды, а 2 - с учетом физической нелинейности и упругой среды.

На рисунке 5 приведен характер изменения изгибающего момента в среднем сечении пластинчатой системы в наиболее напряженной точке С.

Из графиков видно (рис. 4., рис. 5.), что упругая среда значительно может снижать напряженно-деформированное состояние оболочек. При учете физической нелинейности увеличиваются перемещения в призматической системе. Если учитывать одновременно упругую среду и нелинейное деформирование материала оболочки, то при определенных соотношениях степени физической нелинейности и модуля деформации упругой среды напряженно-деформированное состояние пластинчатой системы можно определять по линейной теории. Анализ результатов расчета показал, что коэффициент , учитывающий работу упругой среды на сдвиге мало, влияет на напряженно-деформированное состояние оболочки (в пределах 1% - 2%, на рисунке 5 кривые 4 и 5).

В определенных случаях может оказаться так, что физически нелинейную пластинчатую систему можно рассчитывать по линейной теории при наличии упругой среды. Упругая среда будет гасить влияние физической нелинейности.

Рис. 4. Графики изменения относительного перемещения верхнего ребра по длине оболочки: 1, 3 - по линейной теории соответственно с учетом и без учета упругой среды; 2 - с учетом физической нелинейности и упругой среды



Рис. 5. Графики изменения относительной величины максимального изгибающего момента М_s, действующего в поперечном направлении в угловой точке С в сечении x=l/2 в зависимости от относительной длины оболочки: 1, 3 - по линейной теории соответственно с учетом и без учета упругой среды; 2 - с учетом физической нелинейности и упругой среды.

Рассматривалась односвязная пластинчатая система на действие крутящей и продольной нагрузок (рис. 6)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 6. Поперечное сечение оболочки, взаимодействующей с упругой средой и схема ее загружения

В качестве следующего примера выполнен расчет пластинчатой системы замкнутого поперечного сечения, контактирующей с упругой средой, на действие сжимающей по торцам и крутящей нагрузок. Геометрические параметры оболочки следующие: д/а = 1/48 - отношение толщины стенки оболочки к поперечному размеру, l/a = 15 - отношение длины к наибольшему поперечному размеру, а/в = 1.5 - отношение большей стороны поперечного сечения к меньшей. Отношение деформируемого слоя упругой среды к поперечному размеру системы равно Н/a = 2.5, а отношение модуля деформации к модулю сдвига - Е₀/G = 0.001. Степень физической нелинейности принималась Е₁/E = 10^5. Сжимающие силы прикладываются к торцам оболочки, кручение создается распределенной нагрузкой, приложенной по верхним ребрам (2). Края оболочки опираются на диафрагмы, которые считаются абсолютно гибкими из своей плоскости и абсолютно жесткими в ней.

Задача решается численным методом. Интегрирование нелинейных дифференциальных уравнений проводится методом Рунге-Кутта. При приближении к критическому состоянию деформации начинают неограниченно расти. Данные в третьей главе уравнения позволяют исследовать призматическую систему на устойчивость. При отсутствии упругой среды и решении задачи в линейной постановке относительная величина критической нагрузки равнялась Q_. = P/Gд² = 2.6*10-³, а при учете упругой среды - Q=3.2*10-³. При наличии физической нелинейности и упругой среды величина критической нагрузки уменьшается до Q=2.9*10-³.

Далее рассмотрен пример расчета на продольно-поперечный изгиб прямоугольной плиты. При этом для сравнения численного расчета показан расчет в тригонометрических рядах в первом приближении. Результаты расчетов показывают, что напряженно-деформированное состояние плиты значительно зависит от соотношения Е₀/Е, высоты упругой среды Н и соотношения продольной нагрузки к поперечной.

Заключение

1. Получены нелинейные дифференциальные уравнения статического расчета пластинчатых систем типа призматических оболочек, взаимодействующих с упругой средой, представленной однослойной моделью

2. Получены нелинейные дифференциальные уравнения устойчивости физически нелинейных пластинчатых систем в упругой среде.

3. Составлены дифференциальные уравнения для расчета физически нелинейных пластинчатых систем типа призматических оболочек с несмещающимися ребрами при продольно-поперечном изгибе.

4. Разработаны алгоритмы расчета призматической оболочки с учетом физической нелинейности материала оболочки и упругой среды.

5. Составлена программа для численного решения задач статики и устойчивости физически нелинейных пластинчатых систем, реализующая предложенный алгоритм.

6. Исследовано влияние физической нелинейности и упругой среды на напряженно-деформированное состояние и устойчивость пластинчатой системы.

7. Показано, что учет физической нелинейности увеличивает напряженно-деформированное состояние в призматических оболочках, а учет упругой среды уменьшает.

8. Анализ полученных результатов показал, что при определенных соотношениях физической нелинейности и упругой среды (при степени физической нелинейности равной и отношении модуля деформации к модулю сдвига ) в нелинейных задачах можно получить результаты близкие к результатам, полученным по линейной теории.

Литература

1. К расчету физически нелинейных призматических оболочек в упругой среде // Четвертые Вавиловские чтения: Материалы постоянно действующей Всероссийской междисциплинарной научн. конференции. - Йошкар-Ола, 2000. - Ч.3. - С. 203-206 (Соавтор Иванов С.П.)

2. Продольно-поперечный изгиб плит, лежащих на упругом основании// Материалы междунар. науч.-практ. конф. "Актуальные проблемы строительного и дорожного комплексов" -Йошкар-Ола, 2004 -С.297-298.

3. К расчету на устойчивость физически нелинейных пластинчатых систем в упругой среде// Тезисы докл. Междунар. молодеж. науч. конф.: ХХХ Гагаринские чтения. -М., 2004. -С.21-21. (Соавтор Иванов С.П.)

4. Устойчивость пластинчатых систем, взаимодействующих с упругой средой// Седьмые Вавиловские чтения: Материалы Всерос. междисциплинар. науч. конф. с международным участием -М.-Йошкар-Ола, 2004. -С.279-287. (Соавтор Иванов С.П.)

5. Устойчивость пластинчатых систем, контактирующих с упругой средой // Материалы междунар. науч.-практ. конф.: "Актуальные проблемы строительного и дорожного комплексов".-Йошкар-Ола, 2004 -С.288-297. (Соавтор Иванов С.П.)

6. Расчет физически нелинейных пластинчатых систем, взаимодействующих с упругой средой// Журнал РАН: Механика композиционных материалов и конструкций - М., 2005. - Т.11, №1. - C.146-155. (Соавтор Иванов С.П.)

7. Устойчивость и продольно - поперечный изгиб призматических систем в упругой среде// Труды XXI междунар. конф. по теории оболочек и пластин - Саратов, 2005. - С.90-95. (Соавтор Иванов С.П.)

8. О продольно-поперечном изгибе в упругой среде физически нелинейных пластинчатых систем, имеющих несмещаемые ребра// Наука в условиях современности: Сб. статей. - Йошкар -Ола: МарГТУ, 2006. -С.184 - 188. (Соавтор Иванов С.П.)

9. Приложение вариационного метода В.З. Власова к расчету физически нелинейных пластинчатых систем, взаимодействующих с упругой средой// Сб. трудов МГСУ посвященной столетию В.З. Власова - М., 2006. - С.79 - 88. (Соавтор Иванов С.П.)

10. Об устойчивости физически нелинейных пластин// IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. - Нижний Новгород. Т.3, 2006. - С.99. (Соавтор Иванов С.П.).

11. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2006613281. Программа расчета напряженно-деформированного состояния и устойчивости пластинчатых систем, контактирующих с упругой средой из нелинейно-упругих материалов. -№ 2006612511; Заявлено 20.07.2006; Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 18.09.2006. (Соавторы Иванов С.П., Лоскутов Ю.В.)

Размещено на Allbest.ru

...