Розв'язання оберненої одномірної задачі теплопровідності для цілей неруйнівного контролю

Размещено на http://www.allbest.ru/

156

|

РОЗВ'ЯЗАННЯ ОБЕРНЕНОЇ ОДНОМІРНОЇ ЗАДАЧІ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ ДЛЯ ЦІЛЕЙ НЕРУЙНІВНОГО КОНТРОЛЮ

Аннотация

інформаційний тепловий контроль сталь

Рассмотрены вопросы, связанные с выявлением информативного параметра при тепловом контроле механических свойств сталей. Дано математическое описание физической модели процесса измерений. Приведены результаты экспериментальных исследований по установлению информативного параметра и его зависимости от толщины объектов контроля одинаковой формы.

Annotation

The feature extraction problem for thermal evaluation of mechanical properties of steel is considered. The mathematical description of the physical model of measuring process is given. The results of experimental investigations on the informative parameter extraction and its dependence from the sample wall thickness are described.

Виклад основного матеріалу

Для визначення механічних характеристик сталей у роботах [1, 2] дано теоретичне обґрунтування і здійснено вибір параметрів неруйнівного контролю, до яких віднесено твердість, теплопровідність та питомий електричний опір. На першому етапі досліджень останній параметр було виключено з цього переліку, оскільки його точне вимірювання у польових умовах поки що не вдається реалізувати у вигляді відповідних технічних засобів.

Метою пропонованої статті є аналіз різних підходів до розв'язання оберненої задачі тепло-провідності для знаходження інформативного параметра при тепловому контролі механічних характеристик сталей.

Перш ніж перейти до вимірювання теплопровідності необхідно провести аналіз можливості визначення цієї характеристики або пов'я-заного з нею параметра за даними, отриманими в ході зняття одномірного теплового поля (залежність температури від часу та однієї координати). До складу фізичної моделі процесу вимірювання входять об'єкт контролю, джерело тепла, набір перетворювачів та вторинний прилад. Для глибшого розуміння фізичної суті процесу вимірювання та встановлення можливості аналітичного розв'язання оберненої задачі теплопровідності спочатку розглянемо його математичну модель.

По суті поставлена задача є оберненою одномірною задачею теплопровідності - за відомими числовими значеннями залежності температури від часу та координати необхідно знайти значення коефіцієнта теплопровідності .

Слід зазначити, що в літературі вказується на те, що прямого математичного розв'язку поставленої задачі не існує. Традиційно задача розв'язується для окремих випадків за умови прийняття ряду припущень та спрощень [3, 4].

Проаналізуємо розв'язок прямої одномірної задачі теплопровідності: вивчимо процес розподілу тепла в однорідному стержні довжини з теплоізольованою бічною поверхнею, якщо початкова його температура , а на кінцях маємо нульові значення теплового потоку.

Сформулюємо задачу математичної фізики: знайти нетривіальний розв'язок в області диференціального рівняння з частинними похідними (ДРЧП)

, (1)

який задовольняє крайовим

(2)

та початковій умовам

(3)

В (1) - питома потужність джерела тепла в точці з координатою у момент часу .

Розв'язок задачі (1)-(3) будемо шукати у вигляді суми

. (4)

Функцію вибираємо такою, щоб задовольнити однорідне ДРЧП

, (5)

однорідні крайові умови

(6)

і неоднорідну початкову умову

(7)

Функція повинна задовольняти неоднорідне рівняння

(8

однорідні крайові умови

(9)

і однорідну початкову умову

(10)

Після зведення задачі (5)-(7) до задачі Штурма-Луівілля та використання методу Фур'є одержимо

(11)

Зауважимо, що при коефіцієнти дорівнюватимуть

(12)

а загальний розв'язок розглядуваної задачі стане таким:

На другому етапі, розв'язуючи задачу (8)-(10) шляхом розвитку функції в ряд Фур'є та використання методу варіації довільних сталих, знаходимо

(13)

Остаточно загальний розв'язок задачі (1)-(3) набуде вигляду

де функції визначаються за формулами (13),

 (14)

Після спрощень та прийняття припущення про те, що потік тепла із джерела завжди сталий і рівний , а початкова температура об'єкта контролю постійна по всій довжині і рівна , загальний розв'язок перепишемо у вигляді [5]

(15)

де - відстань від джерела тепла до останньої точки вимірювань.

Для розрахунку були взяті такі вихідні
дані: кількість точок вимірювання (просторова координата) - шість (розміщені на відстані 1 см одна від одної), час спостереження - 10 хвилин; константи - характеристики матеріалу відповідають значенням для конструкційних сталей (на прикладі сталі Ст 60) [6]: густина - 7800 кг/м³, теплоємкість - 483 Дж/(кг°С), теплопровідність - 48 Вт/(м°С).

На рис. 1 подано графіки результатів прямого розрахунку поля поширення тепла за фор-мулою (15). Кількість кривих відповідає кількості точок вимірювання (шість). Кривій із найвищими значеннями відповідає точка, яка розташована найближче до джерела нагріву. За рисунком 1 бачимо, що характер поширення тепла є нелінійним на протязі приблизно до 200 секунд, а в подальшому криві можна апроксимувати лінійною залежністю. Відносній одиниці температури приблизно відповідає 0,12°С.

Рисунок 1 Результат математичного моделювання процесу вимірювань

Рисунок 2 Інфрачервоний керамічний нагрівач

Далі було здійснено зворотний розрахунок значення коефіцієнта теплопровідності (k = 48 Вт/(м°С)) за даними числовими значеннями теплового поля, отриманими при моделюванні за формулою (15). Рівняння (15) може бути розв'язане для знаходження коефіцієнта теплопровідності в матричній формі після подання експоненти в її правій частині рядом Тейлора. Зворотний розрахунок коефіцієнта теплопровідності за розрахованими значеннями дає правильний результат з точністю до третього знаку після коми (результат розрахунку становив 48,001 Вт/(м°С)). Таким чином, можемо стверджувати, що прийняті припущення та спрощення практично не впливають на точність розв'язку оберненої задачі.

Наступним етапом досліджень стало проведення експериментальних вимірювань для встановлення характеру зміни температурного поля на реальних зразках.

Для зняття одномірного поля поширення тепла по поверхні об'єкта контролю був розроблений прилад [7], суть роботи якого полягає у вимірюванні зміни температурного поля на поверхні об'єкта контролю (з дискретністю 1 с) при одночасному нагріві джерелом, яке розміщено співвісно з лінійкою шести напівпровідникових терморезистивних перетворювачів (точність ±0,25°С в діапазоні температур 20-100°С). Як джерело інтенсивного нагріву використовується керамічний інфрачервоний нагрівач виробництва фірми Salamander [8] (рис. 2). Особливості використовуваного нагрівача: висока віддача споживаної енергії у вигляді теплової (до 96%), потужність в 1000 Вт, безконтактність нагріву, невеликі розміри (в корпусі - 280х110х120 мм), час виходу на робочий режим нагріву (до 5 хвилин).

Для розв'язання поставленої в статті задачі (відшукання інформативного параметра, який би служив теплопровідною характеристикою матеріалу об'єкта контролю та одночасно міг би бути виділений з виміряного теплового поля) проведено такий експеримент. Було взято три зразки однакової форми із різними товщинами (рис. 3), виготовлені зі сталі 17ГС (згідно з ГОСТ 19282-73). За допомогою розробленого приладу проведено три цикли трикратних вимірювань в одних точках на зразках (для уникнення впливу неоднорідності матеріалу) за дотримання схожих умов вимірювань. Пошук інформативного параметра здійснювався за такими критеріями: даний параметр повинен повторюватись для багатократних вимірювань на зразках з однією товщиною і залежати від товщини (оскільки математична модель процесу вимірювань не враховує товщину об'єкта контролю).

Рисунок 3 Зразки, які використовувались в ході експериментальних досліджень

Рисунок 4 Результати вимірювань

Результати вимірювань, отримані за допомогою приладу та відповідного програмного забезпечення на зразках (рис. 3), мають вигляд, поданий на рис. 4. Відносній одиниці температури приблизно відповідає 0,12°С.

З рисунків 1 та 4 бачимо, що розрахований (рис. 1) та експериментально встановлений (рис. 4) характери поширення тепла подібні, що може служити передумовою для застосування розробленого математичного апарата для визначення коефіцієнта теплопровідності. Відмінність між результатами моделювання та результатами експериментів спричинена невеликою нелінійністю характеристики перетворювачів приладу в нижній частині температурного діапазону, спрощеннями в ході математичного опису процесу поширення тепла та відмінністю форми зразків від форми суцільного стержня (за умовами моделювання).

В ході застосування розробленого математичного апарата до результатів вимірювань на зразках розраховані значення коефіцієнта теплопровідності практично були різними для одного значення товщини (середньоквадратичне відхилення становило до 50% діапазону усіх значень параметра) і не корелювали (коефіцієнт кореляції - 0,3) із товщиною зразків.

Основним і суттєвим недоліком аналітичного способу розв'язання оберненої задачі теплопровідності є те, що він передбачає використання абсолютних числових значень знятого температурного поля . Зрозуміло, що в дійсності практично неможливо дотриматись однакових умов вимірювань, що в подальшому негативним чином впливатиме на результати контролю. Тому було вирішено звернутись до інших підходів для пошуку інформативного параметра згідно з заданими критеріями.

Другим підходом до розв'язання поставленої оберненої задачі є застосування чисельного диференціювання до матриці значень . В рівнянні (1) частинні похідні за координатою та часом можуть бути знайдені шляхом чисель-ного диференціювання. Після цього матриці похідних необхідно було б почленно поділити, отримавши масив значень параметра , який називають температуропроводністю, а шукане значення теплопровідності пов'язане із температуропровідністю співвідношенням

, (16)

де: - фізична густина; - теплоємкість.

Для більшості сталей значення густини та теплоємкості є сталими, і тому, знайшовши масив значень , ми б по суті розв'язали поставлену задачу. Таким чином вдалося б відійти від абсолютних значень температури і перейти до відносних. Проте, при застосуванні такої доволі простої методики розв'язку виникають труднощі, які полягають у тому, що розміри матриць (матриця складається із числових значень поля зміни температури від часу та координати) частинних похідних не співпадають: масив значень похідної за координатою зменшений на 2 рядки за довжиною, а масив значень похідної за часом зменшений на 1 стовпчик за шириною.

Подолати дану проблему було вирішено шляхом зменшення результуючого масиву значень температуропровідності на 2 рядки за довжиною та на 1 стовпчик за шириною. Обробка результуючого масиву проводилась різними способами: знаходження середніх дійсних та абсолютних значень елементів масиву. Результуючі величини не виявляли повторюваності на однакових взірцях та кореляції із їх товщиною. Таким чином, для пошуку інформативного параметра було вирішено вдатись до іншого підходу.

Третій підхід полягав у пошуку такого пара-метра, який би характеризував кількість тепла, передану об'єкту контролю за одиницю часу за інших рівних умов (товщина, тепловий потік джерела). Даний підхід базується на спостереженій дослідниками візуальній відмінності між знятими полями для зразків із різною товщиною.

Спочатку було зроблено спробу взяти за інформативний параметр середнє значення тангенса кута нахилу кривих, які на відрізку часу тривалістю 60 секунд можна апроскимувати прямими - на рисунку 5 такими відрізками є AB і DC. Результати розрахунків такого параметра були кращими, ніж попередні спроби: середньоквадратичне відхилення для однієї товщини зразків становило близько 10% від діапазону всіх значень параметра, а коефіцієнт кореляції з товщиною становив 75%.

Для покращання повторюваності та підвищення коефіцієнта кореляції було розроблено удосконалений спосіб виділення інформативного параметра. На рис. 5 наведена побудова, яка демонструє реалізацію даного підходу. Необхідно знайти площу чотирикутника ABCD, якщо відрізки AF=DF=60 секунд. Вибір такої довжини даних відрізків пояснюється тим, що за такий малий час криві зміни температури в часі (рис. 4) можуть вважатись лініями, а також тим, що однаковість даних відрізків забезпечує певну інваріантність методу до абсолютних значень виміряної температури. Дана задача вирішується засобами елементарної геометрії: до площі трапеції BCDF необхідно додати площу прямокутного трикутника ABF та відняти площу трикутника DCE.

Віднайдена площа чотирикутника ABCD дає змогу врахувати як часовий (через нахил відрізків AB та DC), так і просторовий характер (через довжину відрізка AD) поширення тепла в об'єкті контролю. Звичайно, схожим чином можуть бути знайдені й інші характеристики, але автори зупинились саме на описаному.

Результати обчислень із використанням розробленого алгоритму для зразків різної товщини наведені на рис. 6.

Коефіцієнт кореляції середніх значень інформативного параметра та товщини становив 99,95%. Лінійна апроксимована залежність інформативного параметра M від товщини h - M(h)= - 679,71 h + 45699.

Середньоквадратичні відхилення зразків із різними товщинами в порядку зростання товщини становили відповідно:

Збільшене значення СКВ для більших товщин пояснюється підвищеною тепловою інерційністю об'єктів контролю.

Рисунок 5 Пояснення способу виділення інформативного параметра

+ - дані; о - середні значення

Рисунок 6 Залежність знайденого інформативного параметра від товщини зразків

Висновки

1. В роботі зроблено спробу розв'язати зворотну задачу теплопровідності шляхом використання різних підходів: аналітичного опису (через математичний опис фізичної моделі процесу вимірювання), чисельного диференціювання та власного, суть якого полягає в знаходженні площі М чотирикутника, утвореного внаслідок певної побудови у графічному представленні залежності зміни температури від часу.

2. Для конкретної задачі, розглянутої в статті, найбільш прийнятним виявився останній підхід, використавши який вдалось знайти інформативний параметр, переконатись у його повторюваності та встановити його залежність від товщини зразків. Лінійна апроксимована залежність інформативного параметра M від товщини h: M(h)= - 679,71 h + 45699.

3. Інші розглянуті підходи, очевидно, потребують кращої адаптації до умов конкретної задачі, зокрема більшу увагу слід приділити аналітичним розрахункам.

4. Результати, отримані в даній роботі, дають змогу перейти до проведення експериментальних досліджень для встановлення взаємозв'язків між інформативним теплопровідним параметром та механічними характеристиками сталей.

Література

1. Карпаш О.М., Молодецький И.А., Карпаш М.О. Общий обзор методов оценки физико-механических характеристик металлов // Техническая диагностика и неразрушающий контроль. 2004. № 2. С. 18-22.

2. Карпаш М.О. Обґрунтування комплексного підходу до визначення фізико-механічних характеристик матеріалу металоконструкцій // Методи та прилади контролю якості. 2004. № 12. С. 30-33.

3. Перестюк М.О., Маринець В.В. Теорія математичної фізики: Навч.посібник. К.: Либідь, 2001. 336 с.

4. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 724 с.

5. A.Killey, J.P.Sargent. Analysis of thermal non-destructive testing. J.Phys.D.: Appl.Phys. 22 (1989) 216-224.

6. Сорокин В.Г., Волосникова А.В., Вят-кин С.А. и др. Марочник сталей и сплавов / Под общ. ред. В.Г.Сорокина. М.: Машино-строение, 1989. 640 с.

7. Карпаш О., Карпаш М., Кісіль І. Прилад для контролю фізико-механічних характеристик металоконструкцій на базі вимірювання кількох параметрів // Тезисы 3-ей научно-прак-тической конференции «Организация неразрушающего контроля качества продукции в промышленности», 30 апреля - 7 мая 2005 г. г. Аланья, Турция, С. 3-14.

8. http://www.InfraredHeaters.com.

Размещено на Allbest.ru