Математичні моделі крокового двигуна як об'єкта контролю

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математичні моделі крокового двигуна як об'єкта контролю

Кухарчук В.В., Усов В.В.

Вінницький національний технічний університет

Вступ

При побудові систем контролю параметрів крокових двигунів необхідно враховувати їхні особливості. Адже характер зміни вимірюваних параметрів в часі визначає архітектуру побудови вимірювальної системи, а врахування їх особливостей дозволяє підвищити точність і швидкодію вимірювань. Тому дуже важливо описати роботу крокового двигуна (КД) адекватною математичною моделлю, та виділити інформативні параметри для подальшого аналізу.

В цьому напрямі значна увага приділяється математичним моделям, що описують електромеханічні процеси у двофазних КД. В основі цих моделей нелінійні диференціальні рівняння динаміки руху і напруг статора, які розв'язуються шляхом лінеаризації, при цьому, звичайно, виникає похибка. Тому важливо в першу чергу здійснити кількісну оцінку похибки лінеаризації і оцінку адекватності спрощеної моделі.

Поряд з моделями двофазних КД існує узагальнена математична модель [2]. Проте не існує чіткого представлення та аналізу моделей, наприклад, чотирифазного КД, які також широко розповсюджені. Тому неможливо математично описати зміну його параметрів, що є необхідною умовою при їх вимірюванні.

Мета роботи. Метою роботи є розв'язання нелінійної та лінеаризованої математичних моделей двофазного КД, і розробка та аналіз розв'язку математичної моделі чотирифазного КД.

Матеріал і результати дослідження

Для аналізу електромеханічних процесів у двофазному КД застосовується структурна модель [1], представлена на рис. 1. Ротор такого двигуна є постійним магнітом і має 2р магнітних полюсів. Статор складається з ідентичних полюсів і обмоток, розташованих через рівні інтервали ?.

Рисунок 1 - Структурна модель крокового двигуна

Раптові стрибкоподібні зміни кутових положень складають основу всіх режимів роботи КД і по суті є єдиною, але дуже важливою його особливістю. Тому всі параметри, які підлягають вимірюванню, також змінюються відповідним чином. Це стає очевидним після розв'язку математичної моделі КД, яка являє собою систему нелінійних диференціальних рівнянь [1]:

(1)

де: VgA, VgB - напруга живлення, відповідно фази А та В;

L - власна індуктивність кожної фази;

М - взаємна індуктивність;

r - опір кола обмотки статора;

Nr - кількість зубців ротора;

J - момент інерції;

D - коефіцієнт в'язкого тертя;

- кут повороту ротора КД відносно статора;

р - число пар полюсів;

n - кількість витків обмоток;

m - взаємоіндукція;

iA, iB - струм в обмотках фаз, відповідно A та В;

- крок зубців статора КД.

Одним з методів розв'язку системи (1) є приведення нелінійних диференціальних рівнянь до лінійних, таким чином фактично виводиться лінеаризована математична модель КД. Проте тоді стає неможливим знайти похибку і попередньо оцінити адекватність отриманої моделі. Тому розв'яжемо систему (1) для двофазного КД типу M35SP-6 чисельними методами за допомогою сучасних комп'ютерних засобів, які забезпечують похибку не більшу .

Особливу увагу варто звернути на кут пороту  , відповідно кутову швидкість ? = d? / dt та обертовий момент .

Рисунок 2 - Графік зміни кута повороту вала КД

кроковий двигун контроль обертовий

Рисунок 3 - Графік зміни кутової швидкості вала КД

Рисунок 4 - Графік зміни обертового моменту КД

На рис. 2 показано зміну кута повороту КД та коливання навколо стійких положень, що також спостерігається на графіку зміни кутової швидкості (рис. 3). Різка зміна напряму обертання супроводжується і зміною обертового моменту (рис.4).

При лінеаризації системи (1) припускається, що L та М не залежать від  , а відхилення ? від положення рівноваги ?/2 достатньо мале, при цьому струм в обох фазах змінюється на [1]. Таким чином припускається, що:

(2)

де I0 - усталене значення струму в обмотках.

Тоді з врахуванням (2), лінеаризована система (1) матиме вигляд:

 (3)

Розв'язком спрощеної системи лінійних диференціальних рівнянь (3) є аналітичні залежності:

. (4)

де: - кут моменту;

- корегувальний коефіцієнт;

- коефіцієнт, який залежить від типу КД;

- коефіцієнт, який також залежить від типу КД;

- коефіцієнт, залежний від типу КД.

Представимо результати розв'язку лінеаризованої математичної моделі (4) у вигляді графічних залежностей кута повороту, кутової швидкості та моменту від часу.

Рисунок 5 - Графік зміни кута повороту вала КД
(лінеаризована модель)

Рисунок 6 - Графік зміни кутової швидкості вала КД

Рисунок 7 - Графік зміни обертового моменту КД (лінеаризована модель)

Для визначення відносної похибки лінеаризованої моделі КД відносно нелінійної використовуємо таку розрахункову формулу (5):

(5)

де: - кут повороту нелінійної моделі КД;

- кут повороту лінеаризованої моделі.

Рисунок 8 - Графік зміни відносної похибки лінеаризованої математичної моделі КД відносно нелінійної

Таким чином максимальне значення похибки лінеаризованої моделі для першого кутового положення становить 12,5%, в подальшому зменшується за експоненціальним законом. Звідси можна судити про адекватність спрощеної моделі, та можливість її застосування замість нелінійної моделі (1).

Для опису фізичних процесів у чотирифазному КД використовуємо структурну модель, наведену на рис. 8.

Рисунок 9 - Структурна модель чотирифазного КД

Очевидно, що електромеханічні процеси, що протікають у обох двигунах, можуть описуватися одними и тими ж рівняннями, з тою лише різницею, що складових буде вдвічі більше. Таким чином, одна з можливих математичних моделей чотирифазного КД матиме вигляд:

 (6)

де: i 1 , i 2 , i 3 , i 4 - струм в обмотках фаз 1,2,3 та 4;

Vg1 , Vg2, , Vg3 , Vg4, - напруга живлення, відповідно фаз 1, 2, 3 та 4.

Систему нелінійних диференціальних рівнянь (6) розв'язуємо наближеним методом в середовищі ППП MathCad.

На рис. 9 - 11 представлені результати розв'язку математичної моделі (6) для двигуна ШД-88-1,6-0,8, відповідно кут повороту, кутова швидкість та момент.

Як вже згадувалося в стійких кутових положеннях ротор КД здійснює коливання, що яскраво видно на рис. 9. Відповідно при визначенні, наприклад, похибок відпрацювання кроків, під час якого здійснюється вимірювання кута повороту на кожному кутовому положенні, необхідно враховувати зміну напряму обертання. В противному випадку відносна похибка вимірювань може перевищити 100%.

Аналогічно методиці лінеаризації моделі двофазного КД здійснено лінеаризацію моделі чотирифазного двигуна (6). Матимемо систему рівнянь (7), розв'язок якої представлений на рис. 12.

Рисунок 9 - Перехідний процес кута поворотуротора чотирифазного КД

Рисунок 10 - Перехідний процес кутової швидкості чотирифазного КД

Рисунок 11 - Перехідний процес електромагнітного моменту чотирифазного КД

Рисунок 12 - Перехідний процес кута повороту ротора чотирифазного КД (лінеаризована модель)

Рисунок 13 - Похибка лінеаризованої моделі чотирифазного КД

(7)

Відповідно похибку лінеаризованої математичної моделі чотирифазного КД розраховуємо за (5).

Висновки

В результаті проведених досліджень математичних моделей двофазного КД, було отримано графічні залежності кута повороту, кутової швидкості та обертового моменту. Розроблена і розв'язана математична модель чотирифазного КД. Проведено кількісну оцінку похибки лінеаризовних моделей для обох типів двигунів та доведено їх адекватність та доцільність застосування для опису процесів в КД.

Аналіз результатів розв'язків моделей підтвердив важливість проведених досліджень та виявив необхідність врахування напрямку обертання вала КД при вимірюванні інформативних параметрів.

Література

1. Кенио Т. Шаговые двигатели и их микропроцессорные системы управления: Пер. с анг. _ М.: Энергоатомиздат, 1987. - 200 с.

2. Дискретный электропривод с шаговыми двигателями: под общ. ред. М.Г.Чиликина. - М.: "Энергия", 1971. - 624 с.

3. Deb A., Sarcar G., Sen S.K. Linearly pulse-width modulated block pulse functions and their application to linear SISO feedback control system identification // IEE Proc. - Control Theory Appl. - 1995. - 142, №1. - P.44-50.

4. Козловський А.В., Кухарчук В.В., Поджаренко В.О. Мікропроцесорні засоби вимірювання контролю обертового моменту: Монографія. _ Вінниця: УНІВЕРСУМ, 2005. - 125 с.

Размещено на Allbest.ru