ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНІ СИСТЕМИ ТА АВТОМАТИЗАЦІЯ

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вісник КДПУ. Випуск 4/2006 (39). Частина 1

144

Вінницький національний технічний університет

Застосування Парето-оптимальності б-рівня для розв`язування задач енергетики з нечіткими параметрами

УДК 681.3.07

Лежнюк П.Д., Рубаненко О.О.

Рекомендовано до друку д.т.н., проф. Родькіним Д.Й.

15.04. 2006

Вступ

Система, яка містить ряд станцій і розгалужену електричну мережу, потребує для аналізу складного математичного апарату. Цей апарат може бути різним. Питання про його правильний вибір є найбільш суттєвим при дослідженні [1].

Сучасні електроенергетичні системи представляють собою складні об`єкти, які характеризуються наявністю великої кількості елементів, розташованих на великій території. Загальна мета управління цими системами - отримання оптимального значення критерію ефективності, сумісного з заданими обмеженнями [2].

Аналіз умов роботи електроенергетичної системи потребує розрахунку її режимів. Мета розрахунку - визначити параметри режиму: напругу в вузлах (на електростанціях та підстанціях), струми і потужності, які протікають в вітках (в лініях електропередач) [3].

Мета роботи. Основною метою проведених в даній роботі досліджень було знаходження алгоритму розв'язку задач багатокритеріального нелінійного програмування з нечіткими параметрами для поліпшення розрахунку режимів електроенергетичної системи.

Матеріал і результати дослідження

Однією із розповсюджених областей застосування нечітких концепцій є управління технічними системами. При цьому враховуються не тільки складні системи, складовою яких є людина з її нечіткими уявленнями, але й порівняно прості системи, які працюють без втручання людини. Для побудови оптимальних алгоритмів управління необхідно знати точні значення параметрів системи. Останні нерідко відомі тільки наближено, причому в режимі роботи вони можуть змінюватись в широких межах. Крім того, при функціонування системи на неї діють різні зовнішні фактори, які мають випадковий характер і не завжди можуть бути адекватно відображені в алгоритмі управління.

Наприклад, можуть виникати задачі знаходження економічно доцільних напруг і перерізів ліній електропередачі, які забезпечать мінімальні витрати на будівництво і обслуговування або задачі зменшення втрат напруги, які виникають при переключені РПН трансформатора, а саме їх залежність від номера відпайки.

З графіка (рис. 1) видно, що мінімальні втрати будуть при 17 відпайці, але при цьому більше потрібно більше часу для переключень.

Досить висока ефективність алгоритму управління (виражена будь-яким критерієм) для розрахункових значень параметрів системи, різко падає при зміні цих параметрів.

Один із шляхів подолання цього недоліку полягає в використанні нечітких моделей і нечітких алгоритмів управління, які мають меншу ефективність для розрахункових значень параметрів, але зберігають її майже постійною в широкому діапазоні змін цих значень.

Рисунок 1 - Залежність втрати напруги в трансформаторі від номера відпайки РПН

Реалізація цього підходу складається з трьох етапів:

1.фазифікація - перехід від точних початкових даних вирішуваної задачі до нечітких на основі вхідних функцій приналежності;

2.розв`язування задач за допомогою нечіткої логіки;

3.дефазифікація - перехід від нечітких конструкцій до чітких на основі вихідних функцій приналежності.

Для розв`язування задач багатокритеріального нелінійного програмування з нечіткими параметрами перспективним є використання Парето-оптимальності -рівня.

Тому в загальному випадку маємо багатокритеріальну задачу оптимізації, векторний критерій оптимальності і векторну цільову функцію

f (X) = (f₁ (X), ...,f_s (X)), (1)

що складається з s компонентів. Потрібно було б знайти такі значення змінних X у допустимій області D, щоб усі критерії одночасно були оптимальними. Але, як правило, критерії суперечливі.

Розв`язування багатокритеріальних задач оптимізації зв'язано з пошуком деякого компромісу між критеріями. Найбільшу зацікавленість викликають розв`язки, оптимальні в розумінні Парето (розв`язки Парето).

У найпростішій ситуації (рис. 2): заштрихована область зображує ті значення двох критеріїв оптимізації f₁ і f₂, що відповідають змінним X у допустимій області. Координатами площини є не змінні х₁ і х₂. На рисунку змінні х₁ і х₂ взагалі не наведені: їх може бути не обов'язково дві, а скільки завгодно.

Рисунок 2 - Точки Парето у випадку двох критеріїв

Для такої двохкритеріальної задачі мінімізації точками Парето є множина контурних точок P між точками А і В заштрихованої фігури [4].

Візьмемо точку всередині області. Тоді, наприклад, будь-яка точка лівіше цієї області буде краще за критерієм f₁ при тому ж значенні критерію f₂. Виходить, цю точку ми змогли покращити і вона вже не може називатися оптимальною. Якщо взяти точку на контурі Р, як би її не пересували, який-небудь з критеріїв при цьому буде збільшуватися [4].

Такий підхід дає широкий вибір оптимальних рішень. Чим більше точок Парето, тим гірше, тому що вони рівноцінні між собою (вони створюють нечітку множину рішень).

Задачу з багатьма критеріями оптимізації досить часто зводять до звичайної задачі з одним критерієм оптимізації (скалярної). При цьому потрібно об'єднати (згорнути) декілька критеріїв оптимальності. Це зробити дуже просто, якщо один із критеріїв сильно виділяється по своїй важливості, а інші показники (навіть його вартість), до деякої міри не так важливі. Будемо оптимізувати цей головний критерій f₁. Обмежимо значення інших s - 1 критеріїв максимально допустимими значеннями f_kmax, k = 2,...,s. Тоді одержимо однокритеріальну задачу оптимізації з s - 1 обмеженням.

Якщо жорстко вибрати обмежувальні значення для неоптимізуємих критеріїв, то допустима область може бути порожньою.

При такому підході вибір розумних f_kmax вимагає багатократного рішення задачі оптимізації. Роблять «поступку» по будь-якому другорядному критерію і знаходять рішення - тобто дивляться, може отримаємо сприйнятливий оптимум. електроенергетичний трансформатор відпайка

Якщо важко вибрати найбільш значущий критерій, (якщо критерії можна вважати кількісно однаковими), тоді звичайно об'єднують багато критеріїв в один узагальнений критерій f (іноді це називають методом зважених сум):

(2)

Параметри _k звичайно називають ваговими коефіцієнтами (ступенями корисності, вагами критеріїв). Звичайно, їхній вибір теж нечіткий. Вибір вагових коефіцієнтів суттєво полегшується, коли їм можна надати деякий економічний або фізичний зміст. Наприклад, одним критерієм є втрати електроенергії в ЛЕП, іншим - величина струмоведучих кольорових металів. У такому випадку ваговим коефіцієнтам можна надати економічний зміст. Нехай коефіцієнт ₁ втрати енергії - вартість одиниці електроенергії, ₂ - вартість одиниці кольорових металів. Тоді одержимо узагальнений критерій f - сумарні витрати, який і будемо мінімізувати.

В значеннях параметрів цільових функцій та обмежень трапляються неоднозначності, через неповноту знань експертів. Тоді доцільно розглядати задачу багатокритеріального нелінійного програмування з нечіткими параметрами в описі цільових функцій та обмежень:

мінімізувати

f(x,а)=[ f1 (x, a1), f2 (x, a2),…, fn (x, an)](3)

при обмеженнях

хХ(b)={ хEn, gj(x,b)0, j=},(4)

де a_i =[ a_i1, a_i2,…, a_ib], b_j=[ b_j1, b_j2,…, b_jr] - вектор нечітких параметрів, які використовуються в цільовій функції f_i(x, a_i) та обмеження g_j(x,b_j) відповідно.

Множиною рівня нечітких чисел, представлених у вигляді матриць і векторів, зветься множина, для якої ступінь належності всіх елементів не нижча за величину [5].

Вектор розв`язків називають -Парето-оптимальним розв`язком -задачі нечіткого багатокритеріального нелінійного програмування тоді і тільки тоді, коли не існує іншого вектора розв`язків при заданих обмеженнях, для якого виконується нерівність:

fі (x, aі) fі (x*, aі*), і=, (5)

де відповідні величини параметрів (а^*,b^*) називаються оптимальними параметрами рівня [5].

Класичне математичне програмування і його різновиди - у значній мірі нормативна методологія ефективного вибору. Нечітке ж програмування виділяє природну множинність неточно визначених цілей, значень і обмежень. При цьому опти-мальність визначається як у термінах поведінки, і як якість, властива рішенню.

Головна мета нечіткого математичного програмування - допомогти особі, що приймає рішення, розібратися у висунутих ним же допущеннях. Нечіткий підхід не підміняє собою найпростішого аналізу в пошуках розумної точності. Він полегшує задачу особи, що приймає рішення, дозволяючи йому не формулювати явно точні обмеження. Форми нечіткого опису вихідної інформації в задачах прийняття рішень можуть бути різними; звідси і розходження в математичних формулюваннях відповідних задач нечіткого математичного програмування.

Перерахуємо деякі з таких постановок:

1. Максимізація заданої звичайної функції f: XR¹ на заданній нечеткій множині допустимих альтернатив _: X [0,1].

2.Нечіткий варіант стандартної задачі математичного програмування. Нехай визначена наступна задача математичного програмування:

f(x) max, (х)0, хХ.

Нечіткий варіант цієї задачі утворюється, якщо "зм'якшити" обмеження, тобто допустити можливість їхнього порушення з тим або іншим ступенем. Крім того, замість максимізації функції f(x) можна прагнути до досягнення деякого заданого значення функції, причому різним відхиленням значення функції від цього розміру приписувати різні ступені допустимості.

3.Нечітко описана "максимізуюча" функція, тобто задане відображення : Х R¹[0,1], де X - універсальна множина альтернатив, R¹ - числова вісь. У цьому випадку функція (х₀,r) при кожному фіксованому х₀Х являє собою нечіткий опис оцінки результату вибору альтернативи х₀ (нечітку оцінку альтернативи х₀) або нечітко відому реакцію керованої системи на керування х₀ . Задана так само нечітка множина допустимих альтернатив _с: Х [0,1].

4. Задана звичайна максимізуюча функція f: ХR¹[0,1], система обмежень виду _i(x)b_i, i=1,…m, причому параметри в описах функцій _i(x) задані у формі нечітких множин.

5.Нечітко описані як параметри функцій, визначаючих обмеження задачі, так і самої максимізуючої функції.

Задача нечіткого математичного програмування формулюється звичайно як задача максимізації (або мінімізації) заданої функції на заданій множині допустимих альтернатив, що описується системою рівностей або нерівностей.

Розглянемо задачу перебування мінімуму на заданій області. Нехай задана область виду:

Р={xRn+ ai1x1 + ai2x2+…+ ainxn bi, i=},(6)

де a_ij, b_i - нечіткі підмножини множини R, а бінарная операція + позначає додавання нечітких множин. Потрібно знайти мінімум на заданій області.

Коефіцієнт при кожній змінній в обмеженнях можна вважати функцією корисності.

Ці коефіцієнти дають суб'єктивну оцінку різних можливостей, включаючи в такий спосіб інші, не визначені обмеження.

Зведемо розв`язки вихідної задачі до розв`язку ряду задач лінійного програмування. Для цього введемо дискретні -рівні.

У результаті нечіткі обмеження приймають наступний інтервальній вид:

Перейдемо від нечітких множин до чітко визначених і запишемо задачу в наступному вигляді:

(а₁₁, а₁₂) х₁+(с₁₁, с₁₂) х₂(b₁₁, b₁₂),

(а₂₁, а₂₂) х₁+(с₂₁, с₂₂) х₂(b₂₁, b₂₂),

Щоб привести задачу до виду звичайної задачі лінійного програмування, досить записати нерівності окремо по лівому і правому краям інтервалів, з врахуванням знаків нерівності.

а₁₁х₁+с₁₁х₂b₁₁,,

а₁₂х₁+с₁₂х₂b₁₂,

а₂₁х₁+с₂₁х₂b₂₁,

а₂₂ х₁+ с₂₂х₂ b₂₂.

За допомогою перетворень перейшли від задачі з нечіткими коефіцієнтами до задачі лінійного програмування з чіткими коефіцієнтами, при цьому кількість обмежень збільшилася в два рази й отриману задачу можна розв`язатити будь-яким математичним методом.

Висновки

Проведені дослідження свідчать про можливість використання алгоритму Парето-оптимальності -рівня для розв`язку багато-критеріальних нелінійних задач в умовах нечітко визначених вхідних даних, а саме для розв`язку задач електроенергетики.

Література

1. Веников В.А. Кибернетика электрических систем; М.: Высш. школа, 1974. - 328 с.

2. Веников В.А. Математические задачи электроэнергетики: Учебник для студентов вузов; - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. школа, 1981. - 288с.

3. Перхач В.С. Математические задачи электроэнергетики. - Львов: Высшая шк. Изд-во при Львов. ун-те. 1989. - 464с.

4. Жилинкас А., Шалтянис В. Поиск оптимума: комп'ютер расширяет возможности. - М.: Наука, 1989. - 128 с.

5. Зайченко Ю.П. Дослідження операцій: - К., 2001. - 688 с.

Размещено на Allbest.ru