Ускорение свободного падения внутри и снаружи Земли

Размещено на http://www.allbest.ru/

Учреждение образования

«Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина»

Физико-математический факультет

Кафедра Общей физики

Курсовая работа

Ускорение свободного падения внутри и снаружи Земли

Выполнил:

Косиченко Данил Викторович

Научный руководитель:

Кац Петр Борисович

Брест 2018



СОДЕРЖАНИЕ

1. УСКОРЕНИЕ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ ВНУТКРИ И СНАРУЖИ ЗЕМЛИ

1.1 Ускорение свободного падения

1.2 Ускорение свободного падения снаружи Земли

1.3 Ускорение свободного падения внутри Земли

1.4 «Мысленный эксперимент»

1.5 Референтная модель PREM

2. ЭФЕКТЫ СУТОЧНОГО ВРАЩЕНИЯ ЗЕМЛИ

2.1 Суточное вращение Земли

3. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ И СУТОЧНОГО ВРАЩЕНИЯ ЗЕМЛИ

3.1 Синхронные орбиты

3.2 Геостационарная орбита

3.3 Гравиметрия (геодезия)

4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ g НА ПРИМЕРЕ МОДЕЛИ ЗЕМЛИ «PREM». С УЧЕТОМ СУТОЧНОГО ВРАЩЕНИЯ



1. УСКОРЕНИЕ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ ВНУТКРИ И СНАРУЖИ ЗЕМЛИ

1.1 Ускорение свободного падения

Ускорение свободного падения (ускорение силы тяжести)- ускорение, придаваемое телу силой тяжести, при исключении из рассмотрения других сил. В соответствии с уравнением движения тел в неинерциальных системах отсчёта ускорение свободного падения численно равно силе тяжести, воздействующей на объект единичной массы.

Ускорение свободного падения на поверхности Земли (обычно произносится как «Же») варьируется от 9,780 м/сІ на экваторе до 9,832 м/сІ на полюсах (далее в работе будет пояснение). Стандартное («нормальное») значение, принятое при построении систем единиц, составляет = 9,80665 . Стандартное значение было определено как «среднее» в каком-то смысле на всей Земле, оно примерно равно ускорению свободного падения на широте 45,5° на уровне моря. В приблизительных расчётах его обычно принимают равным 9,81; 9,8 или 10 м/сІ..

Для определения ускорения свободного падения нам нужно вспомнить закон всемирного тяготения. Закон всемирного тяготения Ньютона формулируется следующим образом: «каждые две материальные частиц и притягивают друг друга с силами, равными по модулю, направленными по прямой , причем модуль этих сил пропорционален массам этих частиц и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними».

, ,

Где G -- так называемая гравитационная постоянная; (из многочисленных опытов найдено ее значение ).

Г. Кевендиш (798 г.), впервые нашедший эту величину, совершенно справедливо сказал о себе с гордостью, что он «взвесил Землю»; действительно, если -- масса Земли, то сила, с которой Земля притягивает тело массой , находящееся у земной поверхности, такова:

,

откуда легко находим , , где - радиус земли.

1.2 Ускорение свободного падения снаружи Земли

Из ранее выведенной формулы для , , мы можем узнать ускорение свободного падения над поверхностью земли.

,

где - расстояние над землей.

Для более четкого понимания зависимости от (расстояния над землей) проведем простейшие математические преобразования.

1. Запишем формулы для двух случаев.

,

,

2. Раздели формулы друг на друга

,



мы получим

,

Следует заметить что: .

Из этого можно сделать вывод «Ускорение свободного падения убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от цента Земли».

,

1.3 Ускорение свободного падения внутри Земли

Как будет изменяться сила тяготения по мере погружения тела в воображаемую шахту, прорытую сквозь Землю по ее диаметру? Какая сила тяготения действовала бы внутри некоторой «полой» планеты? Можно ли было бы ходить по ее внутренней поверхности? Попытаемся ответить на эти и аналогичные им вопросы. И не для того, конечно, чтобы выработать инструкцию для бурильщиков сверхглубоких скважин или для астронавтов, а чтобы лучше разобраться в законе всемирного тяготения.

Закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном, утверждает, что любые две материальные частицы (точечные массы) притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной массам этих частиц и и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между ними:

,

где = 6,67*10-11 -- гравитационная постоянная. В произвольном случае неточечных масс для определения силы тяготения можно воспользоваться широко известным в физике принципом суперпозиции.

Пусть, например, нам нужно рассчитать силу тяготения, действующую на точечную массу со стороны тела произвольной формы. Мысленно разобьем тело на точечные массы , , …, , вычислим силы, действующие на массу со стороны всех точечных масс, а затем векторно сложим эти силы. Что же получится в итоге? Сразу бросаются в глаза два факта. Во-первых, сила, действующая на точечную массу , пропорциональна величине этой массы. Во-вторых, сила существенно зависит от того, какое именно тело взаимодействует с нашей точечной массой -- какова его форма и размеры, какой массой оно обладает.

Кто и как действует на массу в нашем примере? Непосредственно массы , …, через пустое пространство, их разделяющее? Или существует некоторый «посредник»? По современным представлениям таким материальным посредником является поле тяготения, создаваемое массами , …, во всем окружающем пространстве. Именно это поле и действует на массу , в нем находящуюся. Если, например, изменить какую-нибудь из масс или как-то сместить их, то изменится и поле.

Для количественной характеристики поля тяготения в данной точке вводится специальная физическая величина -- напряженность гравитационного поля. Определим ее так. Запишем выражение для силы тяготения, действующей на точечную массу , в виде:

, или ,

где (величина, не зависящая от m) и есть напряженность гравитационного поля. Она имеет простой физический смысл: с таким ускорением будет двигаться любая точечная масса, если ее поместить в данную точку поля и освободить. В частном случае, когда точечная масса взаимодействует с Землей, -- это известное вам ускорение свободного падения.

От чего и как зависит ? Как и сила тяготения, напряженность поля подчиняется принципу суперпозиции :

,

где ,…,-- напряженности полей, создаваемых в данной точке пространства отдельными массами , …, . Из выражений (1) и (2) следует, что любая точечная масса создает вокруг себя поле, напряженность которого направлена к этой точке и зависит от расстояния до нее по закону:

,

А какое гравитационное поле создает вокруг себя сферически симметричное тело? Ответ на этот вопрос был известен Ньютону с самого начала -- сила притяжения к Земле вычисляется по той же формуле (1), где r -- расстояние до центра Земли. Однако Ньютон понимал, что такое утверждение требует доказательства. Потратив очень много времени и сил, он доказал, что сила притяжения к тонкой сфере тел, расположенных вне нее, равна силе притяжения к материальной точке той же массы, расположенной в центре сферы. А поскольку шар можно разбить на тонкие сферы, такой же результат остается в силе и для шара. Переходя на язык поля, скажем, что величина напряженности поля тяготения, создаваемого тонкой сферой (или шаром) радиусом R, на расстоянии r > R от центра задается формулой (3).

Доказательство по принципу суперпозиции является действительно достаточно сложным. Поэтому мы не будем его рассматривать.



Рисунок 1.

Выясним теперь, каково поле тяготения внутри тонкой сферы, т. е. при r < R. Оказывается, внутри сферы напряженность поля равна нулю. Для доказательства возьмем произвольную точку, например точку А на рисунке 1, и покажем, что вклады в A от двух противоположных участков поверхности сферы, отсекаемых узким конусом, взаимно уничтожаются. Действительно, из подобия следует, что линейные размеры выбранных участков относятся как , следовательно, отношение их площадей , равное отношению масс , есть . Тогда из формулы (3) получаем, что создаваемые этими участками в точке А напряженности равны по величине. А поскольку направления их противоположны, они в сумме дают ноль.

Интересный результат, не правда ли? Если бы внутри Земли, скажем, существовала концентрическая пустая полость , то в этой полости была бы полная невесомость. Оттолкнись чуть-чуть от поверхности и полетишь равномерно и прямолинейно до противоположной стенки. Так что путешествовать по такой «Плутонии» крайне затруднительно.

Теперь мы можем ответить и на самый первый вопрос -- чему равно поле тяготения в шахте, прорытой вдоль диаметра Земли. Для простоты будем считать Землю однородным шаром с радиусом R. Рассмотрим точку на расстоянии r < R от центра Земли. Проведя мысленно сферу радиусом r, разделим Землю на две части -- внешнюю и внутреннюю. Как мы уже выяснили, поле, создаваемое в рассматриваемой точке всеми внешними сферическими слоями, равно нулю. Поэтому поле Земли в данной точке совпадает с полем, созданным внутренней частью, т. е. шаром радиусом r. Чтобы использовать формулу (3), надо найти массу этого шара. Очевидно, что отношение массы к массе , всей Земли равно отношению их объемов, т. е. отношению кубов радиусов.

,

Следовательно

,

где -- ускорение свободного падения на поверхности Земли.

Рисунок 2.

Итак, мы знаем на любых расстояниях от центра Земли, как при r > R, так и при r < R. Эта зависимость изображена графически на рисунке 2. Попробуем использовать полученные результаты для ответа на вопрос: «Что будет с камнем, брошенным в прорытый сквозь Землю колодец?» Ответить на этот вопрос совсем просто, если вы знакомы со свойствами гармонических колебаний. Действительно, раз сила притяжения пропорциональна r, тело будет совершать колебания относительно центра Земли (сопротивление воздуха, естественно, при этом не учитывается). Интересно, что такие же колебания (с таким же периодом) будет совершать и тело в колодце, прорытом наклонно. Существовали даже фантастические проекты межконтинентального пассажирского сообщения по прорытым каналам с помощью вагонов на воздушной подушке.

Рисунок 3.

Оказывается, даже не зная ничего о колебаниях, все же можно понять, как будет двигаться камень, брошенный в прорытый колодец. Сравним между собой два движения -- камня в колодце и спутника, летящего по околоземной круговой орбите. Точнее, проекции спутника на ось X, проведенную сквозь колодец (рис. 3). Легко убедиться, что проекция ускорения спутника равна . Но именно с таким ускорением будет двигаться камень на расстоянии x от центра. Значит, и время движения камня сквозь Землю и обратно совпадает с периодом обращения спутника вокруг Земли. Кроме того, легко определить максимальную скорость камня. Очевидно, что она будет равна скорости спутника, т. е. первой космической скорости



1.4 «Мысленный эксперимент»

Для подведения итога и более наглядного понятия значения g внутри планеты проведем мысленный эксперимент. Допустим человек бросил камень в колодец проходящий через центр земли. Что с ним произойдет. Прежде всего, ему придётся пройти через 35- 70 км континентальной коры. Затем нужно будет пройти около 2900 км мантии Земли. После этого придётся пройти через внешнее ядро планеты, состоящая в основном из жидкого железа, температура этого расплава - 5500 градусов Цельсия. Затем камень доберётся до внутреннего, твёрдого ядра (хотя некоторые исследователи полагают, что внутреннее ядро тоже жидкое).

Для мысленного эксперимента допустим, что Земля является холодным, ровным, инертным каменным шаром, без сопротивление воздуха. На поверхности Земли ускорение свободного падения составляет 9,8 м/с^2 (усредненное значение) . Это означает, что каждую секунду вашего падения вниз ваша скорость будет увеличиваться на 9,8 м/c. Но так будет только рядом с поверхностью планеты. Но когда камень будет приближаться к ядру, его ускорение будет увеличиваться вплоть до момента когда камень не

Полученный результат для g внутри земли верен для однородной земли, а т.к. плотность земли зависит от расстояния от центра, то такой простой зависимости не будет. Для определения более точной зависимости существует одномерная модель, представляющая средние свойства Земли как функции радиуса, «Preliminary Reference Earth Model (PREM)»

1.5 Референтная модель PREM

Preliminary Reference Earth Model 1-D модель, представляющая средние свойства Земли как функции радиуса планеты. Модель была разработана по заказу Международного Союза по Геодезии и Геофизике (International Union of Geodesy and Geophysics).PREM широко используется в качестве основы для сейсмической томографии и смежных глобальных геофизических моделей. PREM включает неупругой дисперсии и анизотропии и, следовательно, она зависит от частоты и поперечно изотропной для верхней мантии.

Концепция модели

PREM включает следующие основные регионы в пределах Земли:

1) океан;

2) верхняя и нижняя кора;

3) регион выше «зоны низкой скорости» (крышка), который считается основной частью сейсмической литосферы;

4) зона низкой скорости «Low velocity zone (LVZ)»;

5) регион между LVZ и переходной зоной 400 км;

6) переходная зона охватывает область между 400 и 670 км;

7) нижняя мантия;

8) внешнее ядро;

9) внутреннее ядро.

Таблица 1 ? Зависимости плотности и g от радиуса в модели PREM

Preliminary Reference Earth Model (PREM) (Dziewonski & Anderson, 1981)
Слой	Радиус		g
	(km)	(kg/m3)	(m/s2)
Внутреннее ядро	0.0	13088.48	0.0000
	200.0	13079.77	0.7311
	400.0	13053.64	1.4604
	600.0	13010.09	2.1862
	800.0	12949.12	2.9068
	1000.0	12870.73	3.6203
	1200.0	12774.93	4.3251
	1221.5	12763.60	4.4002
Внешнее ядро	1221.5	12166.34	4.4002
	1400.0	12069.24	4.9413
	1600.0	11946.82	5.5548
	1800.0	11809.00	6.1669
	2000.0	11654.78	6.7715
	2200.0	11483.11	7.3645
	2400.0	11292.98	7.9425
	2600.0	11083.35	8.5023
	2800.0	10853.21	9.0414
	3000.0	10601.52	9.5570
	3200.0	10327.26	10.0464
	3400.0	10029.40	10.5065
	3480.0	9903.49	10.6823
Нижняя мантия	3630.0	5491.45	10.4844
	3800.0	5406.81	10.3095
	4000.0	5307.24	10.1580
	4200.0	5207.13	10.0535
	4400.0	5105.90	9.9859
	4600.0	5002.99	9.9474
	4800.0	4897.83	9.9314
	5000.0	4789.83	9.9326
	5200.0	4678.44	9.9467
	5400.0	4563.07	9.9698
	5600.0	4443.17	9.9985
	5600.0	4443.17	9.9985
	5701.0	4380.71	10.0143
Переходная зона	5701.0	3992.14	10.0143
	5771.0	3975.84	10.0038
	5771.0	3975.84	10.0038
	5871.0	3849.80	9.9883
	5971.0	3723.78	9.9686
	5971.0	3543.25	9.9686
	6061.0	3489.51	9.9361
	6151.0	3435.78	9.9048
Зона низкой скорости «Low velocity zone (LVZ)»	6291.0	3374.71	9.8553
	6346.6	3380.76	9.8394
Кора	6346.6	2900.00	9.8394
	6356.0	2900.00	9.8332
	6356.0	2600.00	9.8332
	6368.0	2600.00	9.8222
Океан	6368.0	1020.00	9.8222
	6371.0	1020.00	9.8156



2. ЭФЕКТЫ СУТОЧНОГО ВРАЩЕНИЯ ЗЕМЛИ

2.1 Суточное вращение Земли

Суточное вращение Земли -- вращение Земли вокруг своей оси с периодом в одни звёздные сутки, наблюдаемым проявлением чего является суточное вращение небесной сферы. Вращение Земли происходит с запада на восток. При наблюдении с Полярной звезды или северного полюса эклиптики вращение Земли происходит против часовой стрелки.

Период и скорость вращения.

· Земля вращается с запада на восток.

· Полный оборот (в инерциальной системе отсчёта) Земля делает за звёздные сутки (86164,090530833 с ? 23 часа 56 минут 4 секунды).

· Угловая скорость вращения Земли .

· Линейная скорость вращения Земли (на экваторе) -- 465,1013 (1674,365 ).

· Линейная скорость вращения Земли на произвольной широте и высоте над уровнем моря:

,

где = 6378,1 км -- экваториальный радиус, = 6356,8 км -- полярный радиус.

Физический смысл и экспериментальные подтверждения

Поскольку любое движение является относительным, необходимо указывать конкретную систему отсчета, относительно которой изучается движение того или иного тела. Когда говорят, что Земля вращается вокруг воображаемой оси, имеется в виду, что она совершает вращательное движение относительно любой инерциальной системы отсчёта, причем период этого вращения равен звездным суткам -- периоду полного оборота земли небесной сферы относительно небесной сферы (Земли).

Все экспериментальные доказательства вращения Земли вокруг оси сводятся к доказательству того, что система отсчета, связанная с Землей, является неинерциальной системой отсчета специального вида -- системой отсчета, совершающей вращательное движение относительно инерциальных систем отсчёта.

В отличие от инерциального движения (то есть равномерного прямолинейного движения относительно инерциальных систем отсчета), для обнаружения неинерциального движения замкнутой лаборатории не обязательно производить наблюдения над внешними телами, -- такое движение обнаруживается с помощью локальных экспериментов (то есть экспериментов, произведенных внутри этой лаборатории). В этом смысле слова неинерциальное движение, включая вращение Земли вокруг оси, может быть названо абсолютным.

Силы инерции.

В неинерциальных системах отсчёта второй закон Ньютона записывается следующим образом:

,

где -- масса тела, -- его ускорение относительно данной системы отсчета, -- реально действующая на тело сила, вызванная взаимодействием между телами, и -- сила инерции, связанная с математическим преобразованием от инерциальной к неинерциальной системы отсчета. В равномерно вращающихся системах отсчета действуют две силы инерции: центробежная сила и сила Кориолиса . Следовательно, утверждения «Земля вращается вокруг своей оси» и «В системе отсчета, связанной с Землёй, действуют центробежная сила и сила Кориолиса» являются эквивалентными высказываниями, выраженными разными способами. Поэтому экспериментальные доказательства вращения Земли сводятся к доказательству существования в связанной с ней системе отсчета этих двух сил инерции.

Центробежная сила, действующая на тело массы , по модулю равна

,

где -- угловая скорость вращения и -- расстояние от оси вращения. Вектор этой силы лежит в плоскости оси вращения и направлен перпендикулярно от неё.

Рисунок 1 ? Центробежная сила на вращающейся Земле

Величина силы Кориолиса, действующей на частицу, движущуюся со скоростью относительно данной вращающейся системы отсчета, определяется выражением



,

где -- угол между векторами скорости частицы и угловой скорости системы отсчета. Вектор этой силы направлен перпендикулярно обоим векторам и вправо от скорости тела (определяется по правилу буравчика).

Рисунок 2 ? Направление силы Кориолиса на вращающейся Земле

Эффекты «центробежной силы».

Зависимость ускорения свободного падения от географической широты.

Эксперименты показывают, что ускорение свободного падения зависит от географической широты: чем ближе к полюсу, тем оно больше. Это объясняется действием центробежной силы. Во-первых, точки земной поверхности, расположенные на более высоких широтах, ближе к оси вращения и, следовательно, при приближении к полюсу расстояние от оси вращения уменьшается, доходя до нуля на полюсе. Во-вторых, с увеличением широты угол между вектором центробежной силы и плоскостью горизонта уменьшается, что приводит к уменьшению вертикальной компоненты центробежной силы.

Это явление было открыто в 1672 году, когда французский астроном Жан Рише, находясь в экспедиции в Африке, обнаружил, что у экватора маятниковые часы идут медленнее, чем в Париже. Ньютон вскоре объяснил это тем, что период колебаний маятника обратно пропорционален квадратному корню из ускорения свободного падения, которое уменьшается на экваторе из-за действия центробежной силы.

Сплюснутость Земли. Влияние центробежной силы приводит к сплюснутости Земли у полюсов. Полярный радиус равен 6356,8 км., Экваториальный радиус равен 6378,1. Разница радиусов составляет 21,3 км. Это явление, предсказанное Гюйгенсом и Ньютоном в конце XVII века, было впервые обнаружено в конце 1730-х годов в результате обработки данных двух французских экспедиций, специально снаряженных для решения этой проблемы в Перу и Лапландию.

Эффекты силы Кориолиса: лабораторные эксперименты

Маятник Фуко.

Эксперимент, наглядно демонстрирующий вращение Земли, поставил в 1851 году французский физик Леон Фуко. Его смысл наиболее понятен в случае, если маятник закреплен на одном из полюсов Земли. Тогда его плоскость колебаний неизменна относительно инерциальной системы отсчета, в данном случае относительно неподвижных звезд. Таким образом, в системе отсчета, связанной с Землей, плоскость колебаний маятника должна поворачиваться в сторону, противоположную направлению вращения Земли. С точки зрения неинерциальной системы отсчета, связанной с Землёй, плоскость колебаний маятника Фуко поворачивается под действием силы Кориолиса.

Наиболее отчетливо этот эффект должен быть выражен на полюсах, где период полного поворота плоскости маятника равен периоду вращения Земли вокруг оси (звёздным суткам). В общем случае, период обратно пропорционален синусу географической широты, на экваторе плоскость колебаний маятника неизменна.



Рисунок 3 Рисунок 4.

В настоящее время маятник Фуко с успехом демонстрируется в ряде научных музеев и планетариев.

Существует ряд других опытов с маятниками, используемых для доказательства вращения Земли. Например, в опыте Браве (1851 г.) использовался конический маятник. Вращение Земли доказывалось тем, что периоды колебаний «по» и «против» часовой стрелки различались, поскольку сила Кориолиса в этих двух случаях имела разный знак. В 1853 г. Гаусс предложил использовать не математический маятник, как у Фуко, а физический, что позволило бы уменьшить размеры экспериментальной установки и увеличить точность эксперимента. Эту идею реализовал Камерлинг-Оннес в 1879 г.

Гироскоп -- вращающееся тело со значительным моментом инерции сохраняет момент импульса, если нет сильных возмущений. Фуко, которому надоело объяснять, что происходит с маятником Фуко не на полюсе, разработал другую демонстрацию: подвешенный гироскоп сохранял ориентацию, а значит медленно поворачивался относительно наблюдателя.

Другим наблюдаемым проявлением силы Кориолиса является отклонение траекторий снарядов (в северном полушарии вправо, в южном -- влево), выстреливаемых в горизонтальном направлении.

Рисунок 5 ? Отклонение снарядов при орудийной стрельбе

С точки зрения инерциальной системы отсчета, для снарядов, выстреливаемых вдоль меридиана, это связано с зависимостью линейной скорости вращения Земли от географической широты: при движении от экватора к полюсу снаряд сохраняет горизонтальную компоненту скорости неизменной, в то время как линейная скорость вращения точек земной поверхности уменьшается, что приводит к смещению снаряда от меридиана в сторону вращения Земли. Если выстрел был произведен параллельно экватору, то смещение снаряда от параллели связано с тем, что траектория снаряда лежит в одной плоскости с центром Земли, в то время как точки земной поверхности движутся в плоскости, перпендикулярной оси вращения Земли. Этот эффект (для случая стрельбы вдоль меридиана) был предсказан Гримальди в 40-х годах XVII в. и впервые опубликован Риччоли в 1651 г.

Отклонение от цеди z при горизонтальной слагающей средней скорости полета снаряда х и при удалении цели а определяется формулой:



,

Эффект Этвёша.

На низких широтах сила Кориолиса при движении по земной поверхности направлена в вертикальном направлении и её действие приводит к увеличению или уменьшению ускорения свободного падения, в зависимости от того, движется ли тело на запад или восток. Этот эффект назван эффектом Этвёша в честь венгерского физика Лоранда Этвёша, экспериментально обнаружившего его в начале XX века.

Другими словами Эффект Этвёша -- зависимость g, измеренного на движущейся основе (самолет, корабль,) от курса и скорости движения. При движении судна с «запада» на «восток» измеренная величина меньше истинной, а при движении в противоположном направлении больше истинной. Поправка: вращение тяготение геостационарный орбита

,

где щ --угловая скорость вращения Земли, х-- скорость движения судна, б -- азимут движения, ц -- широта, R -- радиус Земли. При скорости 35--40 км/ч поправка может достигать 50--100 мгл.

Опыты, использующие закон сохранения момента импульса.

Некоторые эксперименты основаны на законе сохранения момента импульса: в инерциальной системе отсчёта величина момента импульса (равная произведению момента инерции на угловую скорость вращения) под действием внутренних сил не меняется. Если в некоторый начальный момент времени установка неподвижна относительно Земли, то скорость её вращения относительно инерциальной системы отсчета равна угловой скорости вращения Земли. Если изменить момент инерции системы, то должна измениться угловая скорость её вращения, то есть начнётся вращение относительно Земли. В неинерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй, вращение возникает в результате действия силы Кориолиса. Эта идея была предложена французским учёным Луи Пуансо в 1851 г.

Первый такой опыт был произведен с большим успехом в 1910 г.

Рисунок 6 ? Изотомеограф Хагена

Горизонтальная балка (Рисунок 5) была подвешена посредством бифиляра и снабжена подвижными придаточными массами, которые могли передвигаться совершенно симметрично относительно середины балки в обе стороны. Затем расстояние между грузами было уменьшено. В результате установка пришла во вращение.

Ещё более наглядный опыт поставил немецкий учёный Ханс Букка (Hans Bucka) в 1949 г. Стержень длиной примерно 1,5 метра был установлен перпендикулярно прямоугольной рамке. Первоначально стержень был горизонтален, установка была неподвижной относительно Земли (Рисунок 6). Затем стержень был приведен в вертикальное положение (рисунок 7), что привело к изменению момента инерции установки примерно в 104 раз и её быстрому вращению с угловой скоростью, в 104 раз превышающей скорость вращения Земли.



Рисунок 6 Рисунок 7

«Воронка в ванне».

Закручивание воды при стоке -- факт, основанный на наблюдении движения воды в водовороте, возникающем при её стоке в сливное отверстие раковины или ванны. Существует широко распространённое мнение, что вода закручивается в разных направлениях в Южном и Северном полушариях Земли, что объясняется вращением Земли и действием силы Кориолиса.

На практике эффект проявляется лишь в тщательно спланированных экспериментах, проведённых вдали от экватора, в которых используются строго симметричные сосуды, многочасовой отстой жидкости перед измерением, контроль внешних условий (стабильность температуры и отсутствие потоков воздуха.

В лабораторных экспериментах, в которых принимались специальные меры предосторожности для исключения случайных возмущений (строго выдерживалась симметричность формы сосуда, жидкость перед сливом отстаивалась в течение длительного времени, предотвращалось воздействие воздушных потоков), было подтверждено, что как в Северном, так и в Южном полушариях. Жидкость получает вращение, предсказываемое теорией. В некоторых экспериментах наблюдалось изменение направления вращения жидкости при приближении поверхности жидкости к дну сосуда.

Эффекты силы Кориолиса: явления в окружающей природе.

Закон Бэра.

Как впервые отметил петербургский академик Карл Бэр в 1857 году, реки размывают в северном полушарии правый берег (в южном полушарии -- левый), который вследствие этого оказывается более крутым (закон Бэра). Объяснение эффекта аналогично объяснению отклонения снарядов при стрельбе в горизонтальном направлении: под действием силы Кориолиса вода сильнее ударяется в правый берег, что приводит к его размытию, и, наоборот, отступает от левого берега.

Изнашивание рельсов.

У всех двухколейных железных дорог сильнее изнашивается правый рельс каждой колеи, так как горизонтальная составляющая силы Кориолиса прижимает колеса поезда к правому рельсу ( по движению поезда), вызывая тем самым дополнительное давление на правый рельс. Поэтому на двухколейных железнодорожных линиях при движении поездов только в одну сторону правый рельс стирается сбоку.Сила Кориолиса, приложенная к движущимся молекулам воды, сообщает им ускорение, направленное к правому берегу. В результате этого вода приобретает некоторую скорость к берегу и набегает на него. Аналогичным образом объясняется неодинаковое изнашивание рельсов двухколейной железной дороги, если поезда движутся по ним в одном направлении. Она является горизонтальной силой, перпендикулярной скорости. Если смотреть вдоль скорости, то в северном полушарии она всегда направлена вправо. Силой Кориолиса обусловлено, например, неодинаковое изнашивание рельсов двухколейной железной дороги, когда поезда по каждой колее движутся все время в одном направлении. В этом случае сила Кориолиса, приложенная к центру масс вагона, создает относительно правого рельса момент, который должен быть уравновешен увеличением силы реакции со стороны правого рельса на колеса. В северном полушарии поезда, идущие с севера на юг, испытывают поворотное ускорение, направленное на запад, а - идущие с юга на север-испытывают ускорение, направленное на восток. Таким же образом, как и ускорения, направлены и поворотные силы. Благодаря этому, ободы колес прижимаются в среднем сильнее к правому ( по ходу поезда), рельсу, который при этом подвергается более сильному истиранию. В действительности такое явление и обнаруживается на двухколейных железных дорогах меридионального направления. Понятно, что в южном полушарии направление кориолисовых ускорений переменится и усиленному истиранию подвергнется левый ( по ходу поезда) рельс.В динамике будет показано, что в относительном движении на поверхности Земли поворотному ускорению соответствует поворотная, или кориолисова, сила, направленная в сторону, противоположную этому ускорению.

Ветры: пассаты, циклоны, антициклоны.

С наличием силы Кориолиса, направленной в северном полушарии вправо и в южном влево, связаны также атмосферные явления: пассаты, циклоны и антициклоны. Явление пассатов вызывается неодинаковостью нагрева нижних слоёв земной атмосферы в приэкваториальной полосе и в средних широтах, приводящему к течению воздуха вдоль меридиана на юг или север в северном и южном полушариях, соответственно. Действие силы Кориолиса приводит к отклонению потоков воздуха: в северном полушарии -- в сторону северо-востока (северо-восточный пассат), в южном полушарии -- на юго-восток (юго-восточный пассат).

Циклоном называется атмосферный вихрь с пониженным давлением воздуха в центре. Массы воздуха, стремясь к центру циклона, под действием силы Кориолиса закручиваются против часовой стрелки в северном полушарии и по часовой стрелке в южном. Аналогично, в антициклоне, где в центре имеется максимум давления, наличие силы Кориолиса приводит к вихревому движению по часовой стрелке в северном полушарии и против часовой стрелки в южном. В стационарном состоянии направление движения ветра в циклоне или антициклоне таково, что сила Кориолиса уравновешивает градиент давления между центром и периферией вихря (геострофический ветер).

Оптические эксперименты

В основе ряда опытов, демонстрирующих вращение Земли, используется эффект Саньяка: если кольцевой интерферометр совершает вращательное движение, то вследствие релятивистских эффектов[19] во встречных лучах появляется разность фаз

,

где -- площадь проекции кольца на экваториальную плоскость (плоскость, перпендикулярную оси вращения), -- скорость света, -- угловая скорость вращения. Для демонстрации вращения Земли этот эффект был использован американским физиком Майкельсоном в серии экспериментов, поставленных в 1923--1925 гг. В современных экспериментах, использующих эффект Саньяка, вращение Земли необходимо учитывать для калибровки кольцевых интерферометров.

Существует ряд других экспериментальных демонстраций суточного вращения Земли.

Неравномерность вращения

Прецессия и нутация

Прецессия (позднелат. praecessio -- движение впереди, от лат. praecedo -- иду впереди, предшествую) -- медленное движение вращающегося твёрдого тела, при котором его ось вращения описывает конус.
Прецессия Земли называется также предварением равноденствий, так как она вызывает медленное смещение точек весеннего и осеннего равноденствий, обусловленное движением плоскостей эклиптики и экватора (точки равноденствия определяются линией пересечения этих плоскостей). Упрощённо прецессию можно представить как медленное движение оси мира (прямой, параллельной средней оси вращения Земли) по круговому конусу, ось которого перпендикулярна к эклиптике, с периодом полного оборота 26 000 лет.

Существует лунно-солнечная прецессия, а также прецессия от планет.

Нутация (от лат. nыtвre лат. nutatio -- колебание) -- происходящее одновременно с прецессией движение вращающегося твёрдого тела, при котором изменяется угол между осью собственного вращения тела и осью, вокруг которой происходит прецессия; этот угол называется углом нутации (см. Углы Эйлера). В случае Земли нутационные колебания, открытые в 1737 Дж. Брадлеем, обусловлены изменениями притяжения, оказываемого Луной и Солнцем на т. н. экваториальный избыток массы вращающейся Земли (который является следствием сжатия Земли), и называются лунно-солнечной, или вынужденной нутацией.

Существует также свободная нутация, то есть свободное движение географических полюсов по кривой, близкой к окружности, с периодом 1,2 года, обусловленное тем, что Земля как целое смещается в пространстве относительно оси вращения.

В целом, причиной прецессии и нутации Земли является её не сферичность и несовпадение плоскостей экватора и эклиптики. В результате гравитационного притяжения Луной и Солнцем экваториального утолщения Земли возникает момент сил, стремящийся совместить плоскости экватора и эклиптики.



3. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ И СУТОЧНОГО ВРАЩЕНИЯ ЗЕМЛИ

3.1 Синхронные орбиты

Вот мы и подошли к сути данной работы. Это применения на практике исследований. На мой взгляд, на сегодняшний день главным применением исследования свободного падения исследования суточного вращения земли является «Синхронная орбита»

Синхронная орбита -- такая орбита, на которой период обращения спутника равен периоду осевого вращения центрального тела.

Вычисление высоты орбиты

Радиус синхронной орбиты можно вычислить по формуле

,

где R -- радиус орбиты, G -- гравитационная постоянная, Mc -- масса центрального тела, щ -- угловая скорость вращения центрального тела.

Для практических вычислений, однако, целесообразнее исходить не из массы центрального тела Mc, а из его стандартного гравитационного параметра м = GMc. Это связано с тем, что значение м известно с гораздо большей точностью, чем значение G или Mc. Формула тогда приобретает вид

. ,

Высоту синхронной орбиты над экватором можно затем вычислить по формуле



H = R ? r,

где H -- высота орбиты, r -- экваториальный радиус центрального тела.

3.2 Геостационарная орбита

Геостационарная орбита (ГСО) -- круговая орбита, расположенная над экватором Земли (0° широты), находясь на которой, искусственный спутник обращается вокруг планеты с угловой скоростью, равной угловой скорости вращения Земли вокруг оси. В горизонтальной системе координат направление на спутник не изменяется ни по азимуту, ни по высоте над горизонтом, спутник «висит» в небе неподвижно. Геостационарная орбита является разновидностью геосинхронной орбиты и используется для размещения искусственных спутников (коммуникационных, телетрансляционных и т. п.).

Спутник должен обращаться в направлении вращения Земли, на высоте 35 786 км над уровнем моря (вычисление высоты ГСО далее). Именно такая высота обеспечивает спутнику период обращения, равный периоду вращения Земли относительно звёзд (Звёздные сутки: 23 часа 56 минут 4,091 секунды).

Идея использования геостационарных спутников для целей связи высказывалась ещё словенским теоретиком космонавтики Германом Поточником в 1928 году.

Преимущества геостационарной орбиты получили широкую известность после выхода в свет научно-популярной статьи Артура Кларка в журнале «Wireless World» в1945 году, поэтому на Западе геостационарная и геосинхронные орбиты иногда называются «орбитами Кларка», а «поясом Кларка» называют область космического пространства на расстоянии 36000 км над уровнем моря в плоскости земного экватора, где параметры орбит близки к геостационарной. Первым спутником, успешно выведенным на ГСО, был Syncom-3, запущенный NASA в августе 1964 года.

Вычисление параметров геостационарной орбиты:

На геостационарной орбите спутник не приближается к Земле и не удаляется от неё, и кроме того, вращаясь вместе с Землёй, постоянно находится над какой-либо точкой на экваторе. Следовательно, действующие на спутник силы гравитации и центробежная сила должны уравновешивать друг друга. Для вычисления высоты геостационарной орбиты можно воспользоваться методами классической механики и, перейдя в систему отсчета спутника, исходить из следующего уравнения:

,

Где -- сила инерции, а в данном случае, центробежная сила; -- гравитационная сила. Величину гравитационной силы, действующую на спутник, можно определить по закону всемирного тяготения Ньютона:

,

где -- масса спутника, -- масса Земли в килограммах, -- гравитационная постоянная, а -- расстояние вметрах от спутника до центра Земли или, в данном случае, радиус орбиты.

Величина центробежной силы равна:

,

где -- центростремительное ускорение, возникающее при круговом движении по орбите.

Как можно видеть, масса спутника присутствует как множитель в выражениях для центробежной силы и для гравитационной силы, то есть высота орбиты не зависит от массы спутника, что справедливо для любых орбит и является следствием равенства гравитационной и инертной массы. Следовательно, геостационарная орбита определяется лишь высотой, при которых центробежная сила будет равна по модулю и противоположна по направлению гравитационной силе, создаваемой притяжением Земли на данной высоте.

Центростремительное ускорение равно:

,

где -- угловая скорость вращения спутника, в радианах в секунду.

Сделаем одно важное уточнение. В действительности, центростремительное ускорение имеет физический смысл только в инерциальной системе отсчета, в то время как центробежная сила является так называемой мнимой силой и имеет место исключительно в системах отсчета (координат), которые связаны с вращающимися телами. Центростремительная сила (в данном случае -- сила гравитации) вызывает центростремительное ускорение. По модулю центростремительное ускорение в инерциальной системе отсчета равно центробежному в системе отсчета, связанной в нашем случае со спутником. Поэтому далее, с учетом сделанного замечания, мы можем употреблять термин «центростремительное ускорение» вместе с термином «центробежная сила».Уравнивая выражения для гравитационной и центробежной сил с подстановкой центростремительного ускорения, получаем:

,

Сокращая , переводя влево, а вправо, получаем:



,

,

Можно записать это выражение иначе, заменив на -- геоцентрическую гравитационную постоянную:

,

Угловая скорость вычисляется делением угла, пройденного за один оборот ( радиан) на период обращения (время, за которое совершается один полный оборот по орбите: один сидерический день, или 86 164 секунды). Получаем:

,

Полученный радиус орбиты составляет 42 164 км. Вычитая экваториальный радиус Земли, 6 378 км, получаем высоту 35 786 км.

3.3 Гравиметрия (геодезия)

Гравиметрия -геофизический и геодезический метод, заключающийся в измерении поля силы тяжести.

Теоретические основы

Сила тяжести, то есть сила, действующая на единичную массу на Земле, складывается из сил тяготения и силы инерции (центробежной силы), вызванной вращением Земли:



,

где G -- гравитационная постоянная, µ -- единичная масса, dm -- элемент массы Земли, , -- радиус-векторы точки измерения и элемента массы, -- угловая скорость вращения Земли; интеграл берётся по всем массам.

При гравиметрических наблюдениях посредством спутников объектом измерения является лишь поле тяготения Земли или другой планеты, то есть первый член.

Потенциал поля силы тяжести ? определяется соотношением:

,

где -- широта точки измерения.

Условие постоянной силы тяжести определяет множество эквипотенциальных поверхностей -- т. н. уровненных поверхностей; уровненная поверхность, для которой сила тяжести совпадает с силой тяжести на среднемноголетнем (невозмущённом) уровне моря называется геоидом. Для удобства представления, не зависящего от локального распределения масс, силу тяжести делят на два компонента: нормальную часть , представляющую силу тяжести однородного референц-эллипсоида (то есть эллипсоида вращения с массой и скоростью вращения, равным земным, и максимально соответствующего геоиду), и аномальную , равную разнице между наблюдаемой и нормальной силами тяжести . В международной гравиметрической системе IGSN 71 для нормальной силы тяжести принята формула с поправочными коэффициентами, определёнными по совокупности гравиметрических данных на 1967 г.:



,

где -- широта точки измерения

Частным примером гравиметрии является Гравиметрическая разведка. Гравиметрическая разведка - метод разведочной геофизики, основанный на измерении аномального гравитационного поля Земли. Объекты гравиметрической разведки -- плотностные неоднородности земной коры, создающие аномалии в гравитационном поле Земли. Гравиметрическая разведка используется для изучения строения земной коры, поиска и разведки месторождений полезных ископаемых.



4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ g НА ПРИМЕРЕ МОДЕЛИ ЗЕМЛИ «PREM». С УЧЕТОМ СУТОЧНОГО ВРАЩЕНИЯ

1.5 Preliminary Reference Earth Model 1-D модель, представляющая средние свойства Земли как функции радиуса планет. PREM была разработана в ответ на руководящие принципы в " Standard Earth Model Committee " Международной ассоциации геодезии (IAG) и Международной ассоциации сейсмологии и физики недр Земли (международная ассоциация сейсмологии и физики земных недр). PREM широко используется в качестве основы для сейсмической томографии и смежных глобальных моделей геофизических. PREM включает неупругой дисперсии и анизотропии и, следовательно, она зависит от частоты и поперечно изотропной для верхней мантии. PREM включает в себя таблицу свойств Земли, в том числе упругих свойств, Q, плотности, давления и тяжести, в зависимости от радиуса планет. PREM был разработан Адамом М. Dziewonski и Дон Л. Андерсон.

PREM включает следующие основные регионы в пределах Земли:

1) океан;

2) верхняя и нижняя кора;

3) регион выше зоны низкой скорости (крышка), который считается основной частью сейсмической литосферы;

4) зона низкой скорости «Low velocity zone (LVZ)»;

5) регион между LVZ до 400 км;

6) переходная зона охватывает область между 400 и 670 км.;

7) нижняя мантия;

8) внешнее ядро;

Таблица 2 - Зависимости плотности и g от радиуса в модели PREM.

Preliminary Reference Earth Model (PREM) (Dziewonski & Anderson, 1981)
Слой	Радиус		g
	(km)	(kg/m3)	(m/s2)
Внутреннее ядро	0.0	13088.48	0.0000
	200.0	13079.77	0.7311
	400.0	13053.64	1.4604
	600.0	13010.09	2.1862
	800.0	12949.12	2.9068
	1000.0	12870.73	3.6203
	1200.0	12774.93	4.3251
	1221.5	12763.60	4.4002
Внешнее ядро	1221.5	12166.34	4.4002
	1400.0	12069.24	4.9413
	1600.0	11946.82	5.5548
	1800.0	11809.00	6.1669
	2000.0	11654.78	6.7715
	2200.0	11483.11	7.3645
	2400.0	11292.98	7.9425
	2600.0	11083.35	8.5023
	2800.0	10853.21	9.0414
	3000.0	10601.52	9.5570
	3200.0	10327.26	10.0464
	3400.0	10029.40	10.5065
	3480.0	9903.49	10.6823
Нижняя мантия	3630.0	5491.45	10.4844
	3800.0	5406.81	10.3095
	4000.0	5307.24	10.1580
	4200.0	5207.13	10.0535
	4400.0	5105.90	9.9859
	4600.0	5002.99	9.9474
	4800.0	4897.83	9.9314
	5000.0	4789.83	9.9326
	5200.0	4678.44	9.9467
	5400.0	4563.07	9.9698
	5600.0	4443.17	9.9985
	5600.0	4443.17	9.9985
	5701.0	4380.71	10.0143
Переходная зона	5701.0	3992.14	10.0143
	5771.0	3975.84	10.0038
	5771.0	3975.84	10.0038
	5871.0	3849.80	9.9883
	5971.0	3723.78	9.9686
	5971.0	3543.25	9.9686
	6061.0	3489.51	9.9361
	6151.0	3435.78	9.9048
Зона низкой скорости «Low velocity zone (LVZ)»	6291.0	3374.71	9.8553
	6346.6	3380.76	9.8394
Кора	6346.6	2900.00	9.8394
	6356.0	2900.00	9.8332
	6356.0	2600.00	9.8332
	6368.0	2600.00	9.8222
Океан	6368.0	1020.00	9.8222
	6371.0	1020.00	9.8156

Взяв значения плотности из таблицы можно построить зависимость от r. (Рисунок 10)

Рисунок 10

Для наглядности в начале построим график для однородной земли используя формулу:. Мы получим линейную зависимость g от r. Но заменив массу :

,

мы получим интересную не линейную зависимость (Рисунок 11.)



Рисунок 11

Наложим линейный график g для однородной земли и отметим значение g на поверхности мы получим:

Где оранжевая линяя это - g на поверхности, красная линяя это - зависимость g от r для модели однородной земли а синяя линяя это зависимость g от r для модели PREM.

Из графика мы видим значение ускорения свободного падения при погружении в глубь земли не убывает а наоборот растет. Это вызвано большой плотностью внутреннего и внешнего ядра. На некоторых участках g может достигать ?10 м/с2. Для определения максимально g на планете построим еще один график:



Рисунок 12

Максимальное g наблюдается при погружении внутрь земли на ?2890 км.

Размещено на Allbest.ru

...