Главная Коллекция "Revolution" Физика и энергетика О поляризуемости и емкости проводника

О поляризуемости и емкости проводника

Производящее тело и центр его поля, понятие и сущность электростатической тени. Описание процесса образования электростатической тени проводника, особенности проводящего эллипсоида. Характеристика и специфика многогранников, о тензоре деполяризации форм.

Рубрика	Физика и энергетика
Вид	статья
Язык	русский
Дата добавления	25.10.2018
Размер файла	1,1 M

посмотреть текст работы

скачать работу можно здесь

полная информация о работе

весь список подобных работ

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

О поляризуемости и емкости проводника

М. А. Нечаев

Рассматривается нахождение поляризуемости проводника и емкости уединенного проводника. Сделаны вычисления для правильных многогранников, прямого кругового цилиндра, специального вида правильных призм. электростатическая тень эллипсоид многогранник

1. Тело произвольной формы

1.1 Производящее тело и центр его поля

Пусть при бесконечно малом смещении тела относительно противоположно заряженного тела внутри них образуется однородное поле. Такое тело назовем производящим. Его поверхность должна быть звездной относительно центра его поля. Объемная плотность его заряда является функцией угловых полярных координат относительно центра его поля. Следовательно, центр поля производящего тела совпадает с центром поля равномерно заряженного тела с такой же поверхностью. Отсюда

rdЩ = 0,

где r - радиус-вектор видимого под телесным углом dЩ элемента поверхности производящего тела из центра его поля относительно этого центра. Его можно найти из этой формулы методом итераций.

1.2 Электростатическая тень

Вырежем из производящего тела бесконечно тонкую оболочку с поверхностями, гомотетичными относительно центра поля. Поле оболочки совпадает с полем равно заряженного уединенного проводника с такой же поверхностью. Пусть область оболочки параллельна радиус-векторам точек области относительно центра поля производящего тела. Тогда толщина оболочки в области равна нулю. Поэтому поверхностная плотность заряда соответствующей области проводника также равна нулю. Следовательно, в такой области поверхность заряженного проводника можно произвольно вытянуть внутрь, не изменив поле (рис. 1). При помещении такого проводника в однородное поле полученное пространство экранируется, хотя не находится внутри проводника. Можно сказать, что это пространство находится в электростатической тени проводника. По аналогии для сверхпроводника это пространство - магнитостатическая тень.

Рис.1. Образование электростатической тени проводника

Рис.2.

Пример:

электростатическая тень проводящего стакана

Таким образом, при поиске центра поля производящего тела произвольного проводника его поверхность следует спрямлять конусом с вершиной в предполагаемом центре поля. В результате между конусом и телом останется электростатическая тень (рис. 2).

1.3 О тензоре деполяризации формы

При помещении проводника в однородное поле Е внутри проводника добавляется деполяризующее поле

Е_деп = - Е = - 4рkp/V, (1)

где k=1/(4ре₀), - тензор деполяризации формы проводника, p - дипольный момент проводника, V - объем проводника. Главные значения тензора называются коэффициентами деполяризации формы. Величина

p = е₀ Е,

где - тензор поляризуемости проводника. Отсюда и из формулы (1)

= V Ї¹. (2)

(В системе СГС p = Е. Тогда = V.) Следовательно,

= Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

_пт,

гдРазмещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

e _пт - тензор деполяризации формы производящего тела проводника, V_пт - объем производящего тела.

Нормальная составляющая поля равномерно заряженной плоской фигуры относительно внешней нормали к плоскости фигуры Е_n = kуЩ, где у - поверхностная плотность заряда, Щ - телесный угол, под которым видна фигура из точки, к которой относится значение Е_n [1]. Поверхностная плотность заряда равномерно поляризованного тела у=Pn, где P - поляризованность, n - единичный вектор внешней нормали к поверхности. Запишем деполяризующее поле проводника

Е_деп = - kсдlndЩ,

где: с - объемная плотность заряда производящего тела проводника в телесном угле dЩ (п. 1.1), дl - смещение производящего тела, n - единичный вектор внешней нормали к видимому под телесным углом dЩ элементу поверхности производящего тела. Отсюда

Е_деп = - kdЩp, (3)

где q - заряд производящего тела, p - дипольный момент проводника. Отсюда и из формулы (1) тензор деполяризации формы производящего тела

= сdЩ. (4)

Отсюда = ^Т. Докажем это (в другом доказательстве [2] применен закон сохранения энергии).

В декартовой прямоугольной системе координат вектор-столбец нормали к замкнутой плоской кривой

n =,

где с и ц - полярные координаты точки кривой и нормали относительно оси абсцисс. Радиус-вектор точки относительно начала координат r = с(cos ц, sin ц). Поэтому

dц =f(ц)dlnс = 0.

Отсюда

dц =dц.

Следовательно,

сdЩ = сdЩ,

где все переменные из формулы (4). Действительно, dЩ = sinиdиdц, где ц и и - сферические координаты элемента dЩ. Следовательно, ₂¹=₁². Аналогично ₃¹ = ₁³ , ₃² = ₂³ .

Так как тензор деполяризации формы симметричен, то он диагонален в некоторой декартовой прямоугольной системе координат. По симметрии проводника часто видно такую систему.

Линейным преобразованием проводника приведем тензор деполяризации его формы к виду =?tr . Это преобразование можно найти методом итераций. Тогда по формуле (4)

= сdЩ , (5)

где о - прямоугольная координата по произвольной оси.

Как известно, заряды уединенного проводника концентрируются на его внешних остриях. Соответственно распределяется объемная плотность заряда производящего тела проводника. Поэтому из формулы (5) следует, что среди форм с вырожденными тензорами деполяризации «более звездная» форма обладает меньшим следом тензора деполяризации. Например, правильным многогранником с наименьшим следом является правильный тетраэдр. Наибольшим следом, равным 1, среди форм с вырожденными тензорами деполяризации обладает сфера. Формы с невырожденными тензорами могут иметь след больше 1.

1.4 Емкость

Уединенный проводник заменим бесконечно тонкой оболочкой, вырезанной из производящего тела (п. 1.2). Заряд оболочки

q = сrіdЩ,

где V_об - объем оболочки. Равномерно перераспределим заряд элемента оболочки по проходящей через элемент сфере с центром в центре поля производящего тела. При этом потенциал в центре сферы не изменится. Следовательно, потенциал оболочки

ц = сrІdЩ.

Емкость уединенного проводника

С = q/ц = сrіdЩ /kсrІdЩ. (6)

1.5 Добавление к п. 1.3-1.4

Следует заметить, что формы с пропорциональными тензорами деполяризации после линейного преобразования могут не сохранять эту пропорциональность. Например, куб и сфера имеют пропорциональные тензоры деполяризации формы. Из этого не следует, что прямоугольный параллелепипед с ребрами 3, 2 и 1 и эллипсоид с осями 3, 2 и 1 имеют пропорциональные тензоры деполяризации формы. Более того, после линейной деформации формы по собственному направлению ее тензора деполяризации собственные направления тензора могут измениться.

Аналогично, отношение емкостей уединенных проводников с пропорциональными тензорами деполяризации формы после линейного преобразования проводников может измениться.

2. Эллипсоид

Проводящий эллипсоид обладает равномерно заряженным производящим телом. По формуле (4) тензор деполяризации эллипсоида

= dЩ.

Отсюда видно, что tr =1 (ср. с [1-2]). Главные значения тензора также можно найти по формулам, например [2]. Поляризуемость проводящего эллипсоида найдем по формуле (2).

По формуле (6) емкость уединенного проводящего эллипсоида

С = rіdЩ /krІdЩ.

Эту величину также можно найти по формуле, например [2].

3. Многогранники

Чтобы найти поляризуемость проводника и емкость уединенного проводника по формулам (2), (4) и (6) соответственно необходимо знать распределение заряда уединенного проводника. Эта задача решена для куба [3] и правильного многогранника [4].

3.1 Куб

Найдем распределение заряда уединенного проводящего куба методом итераций. Начинаем с равномерного распределения по поверхности. При каждой итерации корректируем поверхностную плотность заряда, так чтобы занулить нормальную составляющую внутреннего поля у поверхности. При этом полагаем, что основной вклад в поле у поверхности корректирующие заряды, далекие от рассматриваемой окрестности, не вносят. Завершая итерацию, нормируем функцию распределения заряда, чтобы полный заряд не менялся.

Рис. 3

На рис. 3 показано распределение заряда на грани куба после 1_й и 2_й итерации. Проведено 3 итерации. Последняя - с параметром близости к поверхности 0.005 и с параметром допустимой сходимости (Mathcad) 10Ї⁵. Применялась двумерная кубическая с_сплайн интерполяция по уплотненной к периферии сетке с 8-ю узлами на полуребре куба. Причем ближайший к ребру узел отступает на 0.03a.

По формуле (5) тензор деполяризации куба

= ,

где a - ребро куба, ц и и - сферические координаты. Пусть заряд куба равен заряду его производящего тела. Тогда

с(ц, и) = 6у(ц, и) /a.

В результате ? 0.29458E€. Из эксперимента с вычислением предположим относительную погрешность вычисления величины ѕ ·10-².

По формуле (6) емкость уединенного проводящего куба

C =rі(ц, и) sinиdиdц /krІ(ц, и) sinиdиdц.

В результате С ? 0.657811 a/k. Из формул (5) и (6) видно, что относительная погрешность вычисления величины C должна быть меньше, чем у величины . Причем, чем ближе форма проводника к сфере, тем меньше погрешность. С учетом вычислительного эксперимента предположим, что эта погрешность ј·10-².

3.2 Правильные многогранники

Радиус вписанной в правильный многогранник сферы

r = ctgctg в,

где a - ребро многогранника, n - число сторон грани, в = arccos, где A = , где Щ = 4р/m, где m - число граней. Объем многогранника V = aІr ctg.

Вычислим величины и С для проводящего правильного многогранника, как в п. 3.1. Результаты вычислений приведены в табл. 1, где е и е_C - относительные погрешности величин и C соответственно также предположены с учетом вычислительных экспериментов.

Таблица 1

r, a

C, r/k

е_C

0.2041241452

0.5

0.4082482905

1.1135163644

0.7557613141

0.27127

0.29458

0.30310 0.319323

0.323083

0.01

0.0075

0.005

1.69838

1.31562

1.239641

1.120592

1.078507

0.005

0.0025

0.001

3.3. Цилиндр

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вычислим распределение заряда проводящего прямого кругового цилиндра, как в п. 3.1. Зададим отношения h/a, где h - высота цилиндра, a - диаметр цилиндра. Проводилось 3-4 итерации. Последние - с параметром близости к поверхности 0.005 и с параметром допустимой сходимости (Mathcad) 5·10-⁵. На рис. 4 показано распределение заряда по поверхности одного из цилиндров после 1_й и 3_й итерации. Применялась кубическая с_сплайн интерполяция по уплотненной к периферии сетке с 18-ю узлами в полуобласти и.

По формуле (4) продольный и поперечный коэффициенты деполяризации этого цилиндра соответственно

n_|

= и n = .

По формуле (6) емкость этого уединенного цилиндра

C =rі(и) sinиdи /krІ(и) sinиdи.

Результаты вычислений приведены в табл. 2.

Таблица 2

h/a	0.1	0.2	0.3	0.5	0.8	1
n \|\|	1.622365	1.044524	0.840871	0.587383	0.354486	0.258071
n	0.0242521	0.0626952	0.1045834	0.186333	0.286456	0.336091
C, Ѕa/k	0.6683315	0.7815300	0.8507084	0.9606121	1.1021087	1.187896
h/a	1.2	1.5	2	3	5	10
n \|\|	0.191263	0.126508	0.069222	0.0264457	0.0067546	0.00087703
n	0.375345	0.418735	0.469269	0.536125	0.629546	0.735441
C, Ѕa/k	1.2685263	1.3828778	1.5569871	1.8587152	2.3500472	3.4086412

Построив функции n

_||, n и С интерполяцией с узлами 0.5, 0.8, 1, 1.2 и 1.5 найдем, что при h/a ? 0.88505 n

_||= n ? 0.309, С 1.139312 Ѕa/k.

С учетом вычислительного эксперимента предположим, что относительная погрешность вычисления величин и C 10-³ и Ѕ·10-³ соответственно. Причем погрешность для сильно сжатых и сильно вытянутых цилиндров больше.

3.4 Правильные призмы

Пусть телесный угол, под которым видны основания призмы, равен 4р/3. Высота призмы

h = a ctgctg в,

где a - сторона основания, n - число сторон основания, в = arccos, где A = . Объем призмы V = nctgh .

Вычислим величины и С для проводящей правильной призмы, как в п. 3.1. Результаты вычислений приведены в табл. 3, где е и е_C - относительные погрешности величин n

_||,n и C соответственно также предположены с учетом вычислительных экспериментов.

Таблица 3

h, a

C, Ѕh/k

еC

0.6394480946

1.3193119259

1.6242400453

2.216662211

0.2881

0.29458

0.29942

0.30122

0.30272

0.304771

0.28309

0.29458

0.30276

0.30632

0.30945

0.311813

0.01

0.0075

0.001

1.384928

1.315623

1.29462

1.287198

1.28179

1.278867

0.005

0.0025

0.0005

Следует заметить, что при n < 4 n

_||> n , а при n > 4n

_||< n.Из формулы (4) следует, что при равномерном заряде производящих тел этих призм тензоры деполяризации призм были бы вырожденными. Правильные призмы с вырожденными тензорами можно найти методом итераций или интерполяцией, как в п. 3.3.

Заключение

Продемонстрированный на примерах метод позволяет вычислить распределение заряда уединенного проводника произвольной формы. Откуда можно вычислить поляризуемость проводника и емкость уединенного проводника.

Список литературы

1. Н е ч а е в М. А. // Физ. образ. в вузах. - 2003. - Т. 9. - № 4. - C. 73-79.

2. Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Электродинамика сплошных сред: Сер. «Теоретическая физика». - М.: Наука, 1982. ? Т. VIII. - 624 с.

3. И о с с е л ь Ю. Я., К о ч а н о в Э. С., С т р у н с к и й М. Г. Расчет электрической емкости. - Л.: Энергоиздат, 1981. - 288 с.

4. К у к л и н Е. И. Вариационные неравенства в электростатике проводников. Расчет емкости и тензора поляризуемости: Автореф. дис. … канд. физ.-мат. наук. Спец. 01.04.03. Моск. физ.-техн. ин-т. - М., 1989. - 14 с.

Размещено на Allbest.ru

...

статья "О поляризуемости и емкости проводника" скачать

Подобные документы

Электрические цепи
Расчет объемной плотности энергии электрического поля. Определение электродвижущей силы аккумуляторной батареи. Расчет напряженности и индукции магнитного поля в центре витка при заданном расположении проводника. Угловая скорость вращения проводника.

контрольная работа [250,1 K], добавлен 28.01.2014
Электричество и магнетизм
Электроизмерительные приборы и измерение сопротивлений. Изучение электростатического поля и электростатической индукции. Определение емкости конденсатора по изучению его разряда. Температурная зависимость сопротивления проводников и полупроводников.

книга [332,0 K], добавлен 01.11.2008
Влияние испарения оксидной пленки и теплообмена излучением на высокотемпературный тепломассообмен и кинетику окисления вольфрамового проводника
Процессы высокотемпературного окисления металлов. Высокотемпературное окисление вольфрама. Изучение нестационарного тепломассообмена и кинетики окисления вольфрамового проводника. Устойчивые и критические режимы окисления вольфрамового проводника.

курсовая работа [3,4 M], добавлен 28.03.2008
Безопорное движение системы проводника с током в магнитном поле
Эквивалентность движения проводника с током в магнитном поле. Закон Фарадея. Угловая скорость вращения магнитного поля в тороидальном магнитном зазоре. Фактор "вмороженности" магнитных силовых линий в соответствующие домены ферромагнетика ротора, статора.

доклад [15,5 K], добавлен 23.07.2015
Определение cопротивления проводника с помощью мостика постоянного тока
Электрический ток как направленное движение электронов. Сущность понятия "сила тока". Метод измерения сопротивления проводника при помощи амперметра и вольтметра. Содержание первого закона Кирхгофа. Общий вид мостика Уитстона. Электронная теория.

лабораторная работа [60,8 K], добавлен 25.06.2015
Исследование зависимости электрического сопротивления проводника от температуры
Проведение экспериментального исследования по определению зависимости изменения сопротивления медного проводника от повышения температуры. Построение графической зависимости этих величин. Табличные значения термических коэффициентов других проводников.

презентация [257,5 K], добавлен 18.09.2013
Электричество и магнетизм
Измерение сопротивления проводника при помощи мостика Уитстона. Расширение пределов измерения амперметра и вольтметра. Снятие температурной характеристики терморезистора. Расчет индукции магнитного поля постоянного магнита. Принцип работы трансформатора.

методичка [7,4 M], добавлен 04.01.2012
Определение интегральной степени черноты металлического проводника
Содержание закона излучения абсолютно черного тела. Общий вид постоянной Стефана-Больцмана. Изучение работы оптического пирометра ОППИР-017. Порядок вычисления интегральной степени черноты. Практический пример определения поглощательной способности тел.

лабораторная работа [166,7 K], добавлен 16.10.2013
Физика
Кинематика материальной точки. Законы Ньютона и законы сохранения. Постоянное электрическое поле. Теорема Гаусса. Потенциал - энергетическая характеристика поля. Электроемкость уединенного проводника. Электрическое поле в диэлектрике. Закон Ома.

курс лекций [1021,2 K], добавлен 09.02.2010
Определение напряженности между двумя проводниками
Сила взаимодействия магнитного поля и проводника с током, сила, действующая на проводник с током в магнитном поле. Взаимодействие параллельных проводников с током, нахождение результирующей силы по принципу суперпозиции. Применение закона полного тока.

презентация [120,6 K], добавлен 03.04.2010
Строение атома. Свет. Звуковые волны
Строение и ядерная модель атома. Атомный номер элемента. Волновые свойства электрона. Звуковые волны и их свойства. Строение и анатомия уха человека. Свет и световые явления, процесс образования тени и полутени. Закон преломления света, его сущность.

реферат [1,1 M], добавлен 18.05.2012
Электрофорная машина
Понятие об электроемкости. Распределение зарядов на поверхности проводника. Конструкция и принцип действия электрофорной машины. Демонстрация экспериментов электрических законов с применением электрофорной машины Вимшурста. Электрический ток в газах.

курсовая работа [1,6 M], добавлен 21.02.2014
Дифракция света
Исследование дифракции, явлений отклонения света от прямолинейного направления распространения при прохождении вблизи препятствий. Характеристика огибания световыми волнами границ непрозрачных тел и проникновения света в область геометрической тени.

презентация [1,4 M], добавлен 07.06.2011
Теория электромагнитного поля
Изучение электростатического поля системы заряженных тел, расположенных вблизи проводящей плоскости. Определение емкости конденсатора на один метр длины. Описание зависимости потенциала и напряженности в электрическом поле, составление их графиков.

контрольная работа [313,2 K], добавлен 20.08.2015
Элементы коммутации и печатные платы
Элементы электрических соединений, характеристика их основных видов. Проводной монтаж, его применение в конструктивных модулях. Определение размеров проводника. Рекомендации по применению вида проводов и их фиксации. Виды соединителей и печатных плат.

презентация [12,2 M], добавлен 26.06.2014
Электрический ток в жидкостях
Механизм возникновения свободных носителей электрических зарядов. Электролитическая диссоциация - распад молекул на ионы под действием растворителя. Понятие электролита - жидкого проводника, в котором подвижными носителями зарядов являются только ионы.

презентация [2,1 M], добавлен 02.02.2011
Методы измерения сопротивления
Электрическое сопротивление - основная электрическая характеристика проводника. Рассмотрение измерения сопротивления при постоянном и переменном токе. Изучение метода амперметра-вольтметра. Выбор метода, при котором погрешность будет минимальна.

презентация [158,9 K], добавлен 21.01.2015
Движение тела вокруг неподвижной точки. Случай Эйлера
Понятие и вид эллипсоида инерции (вращения) для неподвижной точки. Получение окружностей - полодии и герполодии. Геометрическая интерпретация Пуансо. Интегрирование уравнений Эйлера в общем виде. Определение ориентации тела в абсолютном пространстве.

презентация [605,7 K], добавлен 02.10.2013
Электрические аппараты
Методика расчета понижающего трансформатора с воздушным охлаждением с сердечником броневого типа. Выбор магнитного пускателя для электродвигателя, определение диаметра и сечения алюминиевого проводника. Выбор и обоснование пакетного выключателя.

контрольная работа [63,8 K], добавлен 30.04.2011
Квантовые точки
Квантовая точка как наноразмерная частица проводника или полупроводника. Сканирующая электронная микрофотография наноструктур различного размера из арсенида галлия. Люминисценция кристаллов селенида кадмия. Перспективы применения наноэлектронного лазера.

презентация [864,5 K], добавлен 24.10.2013

Другие документы, подобные "О поляризуемости и емкости проводника"

весь список подобных работ

скачать работу можно здесь

сколько стоит заказать работу?

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.