О теории пластичности, основанной на новом инварианте тензора напряжений

Размещено на http://www.allbest.ru/

О теории пластичности, основанной на новом инварианте тензора напряжений

А.Ф. Ревуженко, О.А. Микенина

Аннотация

УДК 539.37

О теории пластичности, основанной на новом инварианте тензора напряжений

А.Ф. Ревуженко, e-mail: revuzhenko@yandex.ru,

О.А. Микенина.

Вводится новый инвариант тензора напряжений - среднее касательное напряжение, полученное интегрированием по границе диаграммы Мора. Инвариант используется в формулировке условия пластичности. Определяющие уравнения строятся на основе ассоциированного закона течения. В законе течения естественным образом появляется та же комбинация напряжений, которая фигурирует в параметре Лоде-Надаи.

Ключевые слова: напряжения, деформация, пластичность, ассоциированный закон.

Содержание статьи

Пластичность большинства конструкционных материалов имеет сдвиговую природу и связана с касательными напряжениями, действующими в теле. Если элементарный объём тела представить в виде сферы, то интегральную характеристику касательных напряжений можно получить как среднеквадратичное значение касательных напряжений, действующих на поверхности данной сферы [1]. Казалось бы, что сфера является единственным возможным кандидатом для того, чтобы представить все площади элементарного объёма, на которых действуют те или иные касательные напряжения.

Можно, однако, найти ещё один способ осреднения, в котором все касательные напряжения учитывались бы симметричным образом. Это - осреднение напряжений в плоскости диаграммы Мора (у_n,ф_n):

, . (1)

Здесь у_n,ф_n нормальное и касательное напряжение, действующие на площадке с произвольной нормалью , S - область представляющая собой три полукруга Мора, L- граница этой области,

, .

Первый интеграл соответствует осреднению по всевозможным площадкам элементарного объёма. Второй (криволинейный) интеграл соответствует осреднению только по трём веерам площадок, которые проходят через главные направления тензора напряжений. Нетрудно показать, что в первом случае среднее касательное напряжение совпадает с точностью до множителя с максимальным касательным напряжением:

. (2)

Как обычно у₁,у₂,у₃ ранжированные напряжения у₃ ?у₂ ?у₁. Результат (2) является довольно неожиданным. Во-первых, если (2) использовать как условие пластичности, то видно, что оно представляет собой ничто иное как условие пластичности Треска. Во-вторых, если (2) использовать как пластический потенциал, то мы придём к классической теории [2].

Условие пластичности Треска не учитывают роль промежуточного главного напряжения у₂. Во многих работах со ссылкой на эксперименты это обстоятельство отмечается как существенный недостаток данного условия. Полученный выше результат "реабилитирует" условие Треска, по крайней мере, в теоретическом плане. Теперь можно утверждать, что симметричный учёт касательных напряжений на всех площадках (с безусловным учётом у₂) приводит к тому, что все члены с у₂ взаимно уничтожаются или сокращаются:

.

Представляет интерес построение альтернативной теории, основанной на втором интеграле (1). Осреднение по указанному контуру приводит к следующему результату [3]:

. (3)

Рассмотрим модель пластического деформирования, ассоциированную с поверхностью нагружения вида:

, (4)

где k заданная функция упрочнения. Легко заметить, что поверхность (2) представляет собой цилиндр с образующей, параллельной прямой:

.

Сечение цилиндра плоскостью, ортогональной образующей, показано на рис. 1.

Рис. 1. Сечение поверхности нагружения девиаторной плоскостью

В отличие от призмы Треска и цилиндра Мизеса поверхность (3) оказалась невыпуклой. Поэтому для неё принцип максимума Мизеса места не имеет [2]. Это, однако, не является препятствием для построения теории, ассоциированной с поверхностью нагружения (3). Принцип максимума не носит такой же обязательный характер как, например, законы сохранения. Более того, для сред с внутренним трением, удовлетворяющих неассоциированному закону течения, он вообще не выполняется. Кроме того, данному принципу можно придать ослабленную формулировку так, чтобы из него следовал бы только ассоциированный закон течения, но не выпуклость поверхности нагружения. Примем, что скорость диссипации энергии в процессе пластической деформации имеет максимальное значение для действительного напряжённого состояния среди всех напряжённых состояний, близких к действительному и допускаемых данным условием пластичности. пластичность тензор напряжение

Рассмотрим уравнения деформирования. Пусть к некоторому моменту времени достигнуто определённое напряжённо-деформированное состояние. Данное состояние можно считать известным. Предположим, что тело является упрочняющимся. Значит, параметр k в условии (3) может в процессе деформирования меняться. Условия активного нагружения и разгрузки имеют вид:

- нагружение,

- разгрузка.

Значению соответствует нейтральное нагружение.

При разгрузке изменения пластических деформаций не происходит. При активной нагрузке, имеем:

(4)

где - параметр, - приращения главных пластических деформаций, . Из (4) следует, что среда является пластически несжимаемой:

Для приложений и теории большое значение имеет частный случай, когда деформация фактически сводится к плоской.

Положим для случая плоской деформации .

Тогда из (4) следует, что:

.

Условие пластичности (3) переходит при этом в условие Треска. Следовательно, в частном случае рассматриваемая теория переходит в классическую. Таким образом, требование согласованности, которое обычно предъявляется к новой теории, в данном случае выполняется.

Рассмотрим вопрос о подобии тензоров напряжений и скоростей пластической деформации. По определению подобие тензоров проверяется путём сравнения значений параметра Лоде-Надаи для различных тензоров. Из (4) видно, что

Следовательно, при , то есть подобия тензоров нет. Степень отклонения от подобия определяется величиной достигнутого предела пластичности k. Комбинация компонент тензора, которая фигурирует в параметре Лоде-Надаи, в теории пластичности играет большую роль. Она широко используется при обработке экспериментальных данных, а также при построении теорий в качестве или, точнее, вместо третьего инварианта тензора напряжений. Однако авторам не известно ни одной публикации (кроме [3]), где именно такая комбинация напряжений появилась бы на основе более - менее общих теоретических предпосылок. В [3] и равенствах (4) данная комбинация появляется "сама" как следствие принятого способа осреднения касательных напряжений.

Далее, выше в качестве интегральной характеристики касательных напряжений была принята величина . Поэтому условие упрочнения естественно записать в терминах:

:

Здесь G - локальный модуль пластического сдвига.

Полученные уравнения замыкаются условиями соосности, уравнениями равновесия и связями между приращениями напряжений и упругими деформаций. Замкнутая модель может использоваться для постановки и решения краевых задач.

Литература

1. В.В. Новожилов. Теория упругости. Судпромгиз, 1956, 370 с.

2. А.Ю. Ишлинский, Д.Д. Ивлев. Математическая теория пластичности. М., Физматлит, 2001, 704 с.

3. О.А. Микенина, А.Ф. Ревуженко. Критерии предельного состояния и разрушения идеально связных и сыпучих тел. Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых, №4, 2014, с. 55-60.

Размещено на Allbest.ru