Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 539.3

расчет композитных цилиндрических панелей и оболочек с учетом их структуры на основе свыше миллиарда уравнений мкэ с малыми временными затратами

А.Д. Матвеев, e-mail: mtv@icm.krasn.ru

*А.Н. Гришанов, e-mail: a_grishanov@ngs.ru

Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск

*Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск

Предложена процедура расчета трехмерных упругих композитных цилиндрических панелей и оболочек, краткая суть которой состоит в следующем. Панель (оболочку) представляем базовым разбиением высокой размерности, которое учитывают ее неоднородную (микронеоднородную) структуру. На базовом разбиении строим последовательность многосеточных дискретных моделей малой размерности, которые учитывают неоднородную (микронеоднородную) структуру панели, оболочки и состоят из криволинейных сложных многосеточных конечных элементов (МнКЭ) высокого порядка различных характерных размеров. Для многосеточных дискретных моделей находим последовательность максимальных эквивалентных напряжений, с помощью которых приближенно определяем относительную погрешность для эквивалентных напряжений. Приведен пример расчета консольной панели волокнистой структуры на основе базовой дискретной модели, имеющей свыше миллиарда уравнений метода конечных элементов (МКЭ). Многосеточные дискретные модели имеют размерность порядка . Временные затраты реализации МКЭ на персональном моно компьютере для многосеточных дискретных моделей составляют часа.

Ключевые слова: композиты, упругость, цилиндрические панели, оболочки, сложные многосеточные конечные элементы.

композитный цилиндрический панель дискретный

Введение

В данной работе показана процедура расчета по МКЭ [1, 2] композитных цилиндрических панелей и оболочек на основе базовых дискретных моделей, которые учитывают их неоднородные (микронеоднородные) структуры и имеют очень высокую размерность. Базовые дискретные модели состоят из односеточных однородных криволинейных конечных элементов (КЭ) 1-го порядка с характерными размерами (рис. 1), в которых реализуется трехмерное напряженное состояние, , - общее число КЭ базового разбиения панели, оболочки. Предлагаемая процедура сводится к следующему. На базовом разбиении панели (оболочки), узловая сетка которого имеет размерность , строим последовательность многосеточных дискретных моделей ,…, малой размерности, которые учитывают неоднородную структуру панели (оболочки) и состоят из криволинейных сложных МнКЭ ,…, высокого порядка (поля перемещений МнКЭ аппроксимируются полиномами высокого порядка) соответственно с характерными размерами , …,, где >>…>; ,, , - целые заданные числа, . Для дискретной модели по 4-ой теории прочности находим максимальное эквивалентное напряжение , . Используя напряжения , определяем последовательность значений относительной погрешности , , считая напряжение точным. Для сложных МнКЭ , …, введем соответственно параметры: , ,…, . Используя , , строим графики функций , , выполняя условия: , , где ; . Графики функций , характеризуют скорость сходимости максимальных эквивалентных напряжений к точному значению ( - максимальное эквивалентное напряжение панели (оболочки), отвечающее точному решению). При нахождении погрешности для напряжения используем следующее положение, которое подтверждают численные эксперименты. При высокой скорости сходимости напряжений к точному (что характерно при использовании сложных МнКЭ высокого порядка), если величина мала, где , то относительная погрешность для напряжения мала, где . Тогда можно принять . т. е. в этом случае считаем, что в первом приближении относительная погрешность для напряжения равна . Отметим, что поскольку дискретные модели имеют малую размерность, то временные затраты на построение их решений в сравнении с затратами для базовых моделей малы, . Сложные МнКЭ проектируем на основе двухсеточных конечных элементов (ДвКЭ) с характерными размерами , где - целое заданное число, причем - целое, т. е. при проектировании МнКЭ используем ДвКЭ , . При построении ДвКЭ используем однородные односеточные криволинейные КЭ 1-го порядка базового разбиения панели, оболочки. Таким образом, сложные МнКЭ () описывают трехмерное напряженное состояние и учитывают неоднородную структуру панели, оболочки.

Кратко рассмотрим процедуру построения однородного односеточного криволинейного КЭ 1-го порядка с характерными размерами , рис. 1, где - угол раствора КЭ , - локальная декартовая система координат, - плоскость симметрии, - ось цилиндрической панели (оболочки), , - радиусы нижней и верхней поверхностей КЭ , - толщина, - длина КЭ , , узлы отмечены точками.

Рис. 1. КЭ 1-го порядка Рис. 2. ДвКЭ 3-го порядка

Считаем, что , где . При мелком разбиении угол раствора мал (рис. 1) и поэтому форма КЭ мало отличается от формы прямоугольного параллелепипеда. В связи с этим при построении функций перемещений для однородных криволинейных КЭ 1-го, 2-го и 3-го порядков используем соответственно интерполяционные полиномы 1-го, 2-го и 3-го порядков [1, 2] и уравнения трехмерной задачи теории упругости, записанные в локальных декартовых системах координат данных КЭ, т. е. в КЭ реализуется трехмерное напряженное состояние. Для функций перемещений , , элемента используем полином 1-го порядка, записанный в локальной декартовой системе координат (рис. 1),

. (1)

Используя (1), по алгоритмам МКЭ находим матрицу жесткости и вектор узловых сил КЭ (более подробно см. [3, 4]), которые определяем в локальной декартовой системе координат КЭ (рис. 1). Рассмотрим процедуры построения криволинейных ДвКЭ и сложных МнКЭ.

1. Процедура построения криволинейных ДвКЭ. В работах [3, 4] изложены подробно две процедуры построения криволинейных ДвКЭ. Кратко изложим одну из процедур построения ДвКЭ 3-го порядка с характерными размерами , рис. 2, где - локальная декартовая система координат ДвКЭ , - плоскость симметрии, - толщина, - длина ДвКЭ . ДвКЭ и сложные МнКЭ формы прямоугольного параллелепипеда рассмотрены в [5, 6, 7]. Считаем, что между компонентами неоднородной структуры ДвКЭ связи идеальны. ДвКЭ имеют две вложенные сетки: мелкую и крупную. Мелкая сетка порождена мелким разбиением ДвКЭ , которое учитывает его неоднородную структуру, состоит из КЭ 1-го порядка (рис. 1) базового разбиения панели (оболочки) и порождает мелкую трехмерную узловую сетку . Поскольку при построении КЭ используем уравнения трехмерной задачи теории упругости, то во всей области ДвКЭ реализуется трехмерное напряженное состояние. На мелкой сетке определяем крупную сетку . Узлы крупной сетки на рис. 2 отмечены точками, 32 узла. При мелком разбиении угол раствора ДвКЭ мал и поэтому форма ДвКЭ мало отличается от формы прямоугольного параллелепипеда. На сетке строим функции , , перемещений ДвКЭ , используя полином 3-го порядка, записанный в локальной декартовой системе координат , т. е.

. (2)

По процедуре МКЭ на крупной сетке для ДвКЭ определяем функции перемещений ,, которые запишем в виде

(3)

где ,, - перемещения -го узла крупной сетки , - функция формы - го узла сетки , .

Обозначим: - матрица жесткости, , - векторы узловых сил и перемещений КЭ базового разбиения ДвКЭ , отвечающие декартовой системе координат (рис. 1). Вектор имеет структуру , где , , - узловые перемещения КЭ (). Пусть ось КЭ , рис. 1, который расположен в базовой модели ДвКЭ , параллельна оси (рис. 2) и между осями и угол равен . Пусть вектор узловых перемещений КЭ , отвечающий декартовой системе координат имеет структуру , где ,, - перемещения узла КЭ , . Между векторами , имеем связь [1], где - матрица вращений [2], которая с учетом структур векторов , имеет вид

, (4)

здесь , , - матрицы размерности ; - нулевая, - единичная матрицы, , , , - общее число КЭ разбиения .

Используя равенство , получим соотношения [1]

, , (5)

где - матрица жесткости и - вектор узловых сил КЭ , определяемые в декартовой системе координат (рис. 2).

На базовом разбиении ДвКЭ , используя соотношения (5), с помощью метода конденсации [2] строим суперэлемент . Полную потенциальную энергию суперэлемента запишем в виде

, (6)

где - матрица жесткости, , - векторы узловых сил и перемещений суперэлемента.

Обозначим: - вектор узловых перемещений крупной сетки в локальной декартовой системе координат . Используя (3), между векторами , установим связь

, (7)

где - прямоугольная матрица, - вектор узловых перемещений ДвКЭ .

Подставляя (7) в (6), из условия получаем уравнение , где

, ,

- матрица жесткости и - вектор узловых сил криволинейного ДвКЭ .

Замечание 1

Криволинейные ДвКЭ 1-го, 2-го порядка, имеющие неоднородную (микронеоднородную) структуру, строим по процедурам, которые аналогичны процедуре п. 1.

Определение напряжений в ДвКЭ. Процедура нахождения напряжений в ДвКЭ сводится к следующему. Пусть построен вектор узловых перемещений ДвКЭ (отвечающий локальной декартовой системе координат ДвКЭ , рис. 2). По формуле (7) находим вектор узловых перемещений суперэлемента (отвечающий декартовой системе координат ). По формулам метода конденсации [2] находим узловые перемещения внутри области суперэлемента , т. е. находим векторы узловых перемещений КЭ базового разбиения ДвКЭ , рис. 1. С помощью матрицы вращений (см. формулу (4)) определяем вектор КЭ в локальной декартовой системе координат КЭ , рис. 1, т. е. , где . Используя вектор , по алгоритмам МКЭ находим функции напряжений в КЭ (). Таким образом, напряжения определяются в любом компоненте неоднородной структуры ДвКЭ .

Процедура построения криволинейных сложных МнКЭ. Основные положения процедуры построения криволинейного сложного композитного многосеточного элемента рассмотрим на примере сложного МнКЭ (- порядковый номер МнКЭ ), который расположен в локальной декартовой системе координат (рис. 3).

Рис. 3. Сложный МнКЭ Рис. 4. ДвКЭ 3-го порядка

Более подробно процедура построения криволинейных сложных МнКЭ изложена в работе [9]. Область МнКЭ представляем криволинейными ДвКЭ 3-го порядка (см. рис. 4), построенными по п. 1, , - общее число ДвКЭ. Крупная сетка ДвКЭ имеет 32 узла, которые на рис. 4 отмечены точками. Базовое разбиение ДвКЭ , которое состоит из КЭ 1-го порядка (рис. 1) и учитывает неоднородную структуру ДвКЭ (т. е. сложного МнКЭ ). ДвКЭ расположен в локальной декартовой системе координат с характерными размерами , . На рис. 3 показано разбиение МнКЭ на ДвКЭ, , - толщина, - длина МнКЭ . Считаем, что угол раствора МнКЭ мал. Пусть , где - угол раствора ДвКЭ , . Форма сложного МнКЭ - прямая призма высотой . На мелких сетках ДвКЭ определяем крупную сетку сложного МнКЭ . Узлы сетки МнКЭ на рис. 3 отмечены точками (32 узла). Отметим, что МнКЭ включает конечное множество криволинейных различных мелких и крупных вложенных сеток ДвКЭ и крупную сетку . Поскольку угол мал, то форма МнКЭ мало отличается от формы прямоугольного параллелепипеда. Поэтому при построении функций перемещений , , для МнКЭ , определяемых на сетке , используем полиномы 3-го порядка. Функции , , запишем в форме

, , , (8)

где - базисная функция -го узла крупной сетки ; , , - значения перемещений в -ом узле сетки , определяемые в декартовой системе координат .

Обозначим через вектор узловых перемещений (размерности 96) крупной сетки , определяемый декартовой системе координат . Пусть ось локальной декартовой системы координат ДвКЭ (рис. 4) параллельна оси локальной декартовой системы координат МнКЭ (рис. 3), и пусть между осями и угол равен . Векторы , (размерности 96) узловых перемещений ДвКЭ , отвечающие соответственно декартовым системам координат и , представим в виде

, . (9)

Между векторами , установим связь , где - матрица вращений [2], размерности , которая в силу (9) имеет структуру

, (10)

здесь подматрицы имеют размерность ; - нулевая и - единичная матрицы,

, , .

Учитывая связь между векторами , , получаем соотношения [1]

, ,

где , - матрицы жесткости и , - векторы узловых сил ДвКЭ , отвечающие

соответственно декартовым системам координат и , .

Полную потенциальную энергию сложного МнКЭ представляем выражением

. (11)

Используя (8), строим равенство

, (12)

где - квадратная матрица размерности , .

Подставляем (12) в (11), из условия получим уравнение , где

, ,

, - матрица жесткости и вектор узловых сил криволинейного сложного МнКЭ .

Замечание 2

Криволинейные сложные МнКЭ 1-го, 2-го порядков, имеющие неоднородную структуру, строим по процедурам, которые аналогичны процедуре п. 2.

Определение напряжений в сложном МнКЭ. Пусть построен вектор узловых перемещений МнКЭ (отвечающий локальной декартовой системе координат МнКЭ , рис. 3). По формуле (12) находим вектор узловых перемещений ДвКЭ (отвечающий декартовой системе координат ). Затем по процедуре п. 1.1 находим функции напряжений в КЭ () базового разбиения ДвКЭ , .

Результаты численных экспериментов. Рассмотрим в декартовой системе координат (рис. 5) модельную задачу о деформировании цилиндрической панели (прямоугольной в плане) волокнистой структуры, для которой: - угол раствора, - плоскость симметрии панели.

Рис. 5. Панель Рис. 6. Сечение ДвКЭ

При панель жестко закреплена. Внутренний радиус панели равен 215, внешний - 280, длина панели , толщина панели равна . Базовая дискретная модель панели состоит из однородных изотропных КЭ 1-го порядка со сторонами (см. рис. 1), которая учитывает структуру и порождает криволинейную мелкую сетку размерности . На верхней поверхности панели в узлах мелкой сетки действуют вертикальные силы . Базовая модель панели имеет свыше миллиарда уравнений МКЭ, т. е. имеет 1452307968 уравнений, ширина ленты системы уравнений МКЭ равна 1121483. Для КЭ : имеем ; ; ; (рис. 1). В расчетах используем сложные МнКЭ 3-го порядка, , , построенных по процедуре п. 2 с применением ДвКЭ 3-го порядка с характерными размерами (рис. 4), где , , . ДвКЭ армирован непрерывными волокнами, направленными вдоль оси . На рис. 6 сечение ДвКЭ представлено сеткой базового разбиения, сечения волокон с характерными размерами заштрихованы. Модуль Юнга связующего материала равен 1, волокон - 10, коэффициент Пуассона равен 0,3. Сложные МнКЭ ,…, имеют соответственно характерные размеры , , , , . Многосеточные дискретные модели панели ,…, состоят соответственно из сложных МнКЭ ,…,. Результаты расчетов даны в таблице 1, где , - максимальные эквивалентные напряжения (определяемые по 4-ой теории прочности) и перемещения, - размерность, - ширина ленты модели , . Для сложных МнКЭ ,…, введем соответственно параметры: , , , , . Параметры показывают соотношения характерных геометрических размеров сложных МнКЭ ,…,; - временные затраты на реализацию МКЭ для дискретной модели , , . Параметр характеризует относительную погрешность для напряжения , когда считаем точным решением.

Табл. 1

Рис. 7. График функции Рис. 8. График функции

Используя , , (см. табл. 1), строим графики функций , из выполнения условий: , , где , , рис. 7, 8. Графики функций , показывают быструю сходимость максимальных эквивалентных напряжений к точному значению , что является следствием применения сложных МнКЭ высокого, т. е. 3-го порядка. Расчеты показывают следующее. При высокой скорости сходимости эквивалентных напряжений к точному значению , если для напряжения величина мала, где , то мало отличается от относительной погрешности напряжения , где . В этом случае можно принять

. (13)

Для напряжения () имеем . Отметим, что (см. табл. 1)

. (14)

В силу (13), (14) можно считать, что в первом приближении напряжение меньше точного на . Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 14-01-00130).

Библиографический список

1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: монография / О. Зенкевич. - М.: Мир, 1975. - 541с.

2. Норри Д. Введение в метод конечных элементов: монография / Д. Норри, Ж. де Фриз. -М.: Мир, 1981. - 304с.

3. Матвеев А.Д. Двухсеточное моделирование цилиндрических оболочек и панелей переменной толщины / А.Д. Матвеев, А.Н. Гришанов // Вестник КрасГАУ. - 2014. - №4. - С.90 - 97.

4. Матвеев А.Д. Одно- и двухсеточное криволинейные элементы трехмерных цилиндрических панелей и оболочек / А.Д. Матвеев, А.Н. Гришанов // Известия АлтГУ - 2014. - 1/1. серия: Математика и механика. - С.84 - 89.

5. Матвеев А.Д. Некоторые подходы проектирования упругих многосеточных конечных элементов / А.Д. Матвеев // Деп. в ВИНИТИ № 2990-В00. Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, 2000. 30с.

6. Матвеев А.Д. Многосеточное моделирование композитов нерегулярной структуры с малым коэффициентом наполнения / А.Д. Матвеев // ПМТФ № 3, 2004.

7. Матвеев А.Д. Построение сложных многосеточных элементов с неоднородной и микронеоднородной структурой / А.Д. Матвеев // Известия АлтГУ. - 2014. - 1/1. серия: Математика и механика. - С. 80 - 83.

8. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности: монография / В.И. Самуль. - М.: Высшая школа, 1982. - 264с.

9. Матвеев А.Д. Смешанные многосеточные дискретные модели трехмерных цилиндрических композитных панелей и оболочек сложной формы / А.Д. Матвеев, А.Н. Гришанов // Сборник статей, XIX зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь 2015. - 1/1. - С.198 - 211.

Размещено на Allbest.ru