Математические основы задачи построения цветового тела

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математические основы задачи построения цветового тела

Н.Д. Нюберг

Когда мы имеем какое-либо освещение, характеризуемое функцией распределения энергии в спектре Е(л), то цвета освещенных предметов зависят от спектрального состава этого освещении и от функции с(л) отражения света предметом в зависимости от длины волны. Цвет предмета определится тогда, как мы видели выше, тремя интегралами вида:

(1)

Так как отраженный свет всегда слабее падающего, то с(л) ? 1 для любого л, поэтому величины приведенных интегралов ни для какого из предметов не могут превосходить тех величин, которые мы получили бы для соответствующих интегралов, положив с(л) = 1 для любого л. А это значит, что из всех цветов предметов, отражающих свет, ни один не может обладать большей яркостью (светлотой), чем абсолютно белая поверхность при том же освещении. Более того, как нетрудно видеть, чем насыщеннее цвет, тем меньшей будет для него максимально достижимая светлота, так как повышение насыщенности возможно только за счет сужения области отражения, что неминуемо связано с понижением общего максимального количества света, который может быть отражен. Таким образом, для любого «типа раздражения» (т. е. для любой комбинации цветового тона и насыщенности) имеется некоторый предел достижимой светлоты, причем для цветов одного и того же цветового тона этот предел будет тем ниже, чем больше насыщенность. Кроме того, этот предел, как легко видеть, зависит от спектрального состава освещения, т. е. от функции Е(л).

Проводим из начала координат цветовые векторы по всем направлениям, равные по длине максимально достижимой при данном освещении светлоте, для цвета того типа раздражения, который соответствует данному направлению. Мы получим описанную концами этих векторов поверхность, форма которой существенно зависит от спектральной кривой освещения.

Нетрудно убедиться, что всякий цвет, лежащий вне тела, ограниченного данной поверхностью, невозможен при данном освещении, если только он не вызван предметом, излучающим собственный свет. Наоборот, для всякого цвета внутри тела нетрудно всегда указать функцию (а в большинстве случаев даже бесчисленное множество функций) с(л) такую, чтобы поверхность, которой эта функция служила бы функцией отражения, обладала при данном освещении данным цветом. Таким образом, полученное цветовое тело выделяет из многообразия всех цветов многообразие тех цветов, которые возможны при освещении данного спектрального состава. Другой, конечно, вопрос, что некоторые из этих цветов практически будет всё же затруднительно получить в силу неимения красителей с соответствующей кривой отражения, так как на нее мы наложили только то ограничение, что она нигде не превосходит единицы. Это будут, таким образом, цвета, которые только принципиально возможны при данном освещении.

Пользуясь тем обстоятельством, что коническая поверхность спектральных цветов (цветовой фунтик) выпукла, т. е. не имеет перегибов, можно строго доказать, что цвета, лежащие на поверхности тела, будут даваться так называемыми «оптимальными» кривыми отражения Более подробное изложение указанного построения можно найти в статье N. Nyberg, “Zschr. f. Phys.”, 58, 5-6, 1928..

Тела, обладающие оптимальным цветом, характеризуются, как мы видели выше, двумя длинами волн, где происходят скачки от полного поглощения к полному отражению. Если к тому же условиться записывать эти две длины волны так, что первой пишется та длина волны, где происходит скачок от поглощения к отражению (ближайшие больше лл отражаются полностью), то пара значений (u, v) вполне определяет точку на поверхности тела.

Положим, мы имеем оптимальную поверхность (и, v), причем для простоты положим сначала, что и < v. Это значит, что когда и < л <v, с(л) = 1, а когда 380 mм < л < и или 720 mм > л > v, то с(л) = 0.

Тогда интегралы (1), выражающие цвет этой поверхности при данном освещении, примут вид:

. (2)

Если, наоборот, и > v, то, рассуждая аналогичным образом, получим выражения:

(2?)

Для простоты записи мы будем пользоваться исключительно формулой (2), условившись, однако, в случае, когда u > v, понимать под ним выражение (2'). Это мы получим, если будем считать спектр расположенным вдоль замкнутой кривой, а приведенные интегралы рассматривать как криволинейные, взятые по этому замкнутому контуру в сторону положительного обхода.

Числа и являются координатами точки на поверхности тела, а потому, если считать величины и и v переменными параметрами, то эта точка будет описывать поверхность тела, т. е. выражения (2) являются уравнениями поверхности тела в параметрической форме, где определенные интегралы рассматриваются как функции своих пределов и и v. Пределы интеграции и, v являются, таким образом, тем, что называется в дифференциальной геометрии гауссовыми криволинейными координатами поверхности тела.

Выражения (2) позволяют чрезвычайно легко доказать ряд свойств, общих цветовому телу любого освещения. Назовем соответствующие точки поверхности с координатами и и и , которые связаны условием, что и = v', а v = и', и найдем середину соединяющего их отрезка, координаты которого будут:

Из формул (2) и (2') нетрудно видеть, что это будет всегда, независимо от того, каковы и и v, одна и та же точка, соответствующая цвету предмета, отражающего половину всех падающих на нее лучей; т. е. мы можем сказать, что цветовое тело всегда обладает центральной симметрией относительно цвета идеально серой поверхности, отражающей 50°/₀ (функция отражения с(л) = ¹/₂ для любого л между 380 и 720 mм).

Как известно из дифференциальной геометрии, полагая в уравнении, данном в параметрической форме, один из параметров постоянным, но изменяя другой, мы будем получать на поверхности тела линии, образующие два семейства в зависимости от того, какой из параметров принят постоянным и какой постоянной он приравнен. Для цветового тела эти два семейства: семейство и = const и семейство v = const обладают следующим замечательным свойством. Положим, мы имеем две кривые первого семейства, соответствующие значениям и = л₁ и u = л₂. Тогда уравнения этих линий запишутся в виде:

(3)

причем под знаками интегралов предполагаются стоящими те же выражения, что в формуле (2). На основании формул (3) и свойств определенного интеграла мы можем написать:

(4)

так как л₁ и л₂ представляют собой постоянные, не зависимые от v, то формула (4) показывает, что кривая и = л₁ получается из кривой и = л₂ сдвигом параллельно самой себе, т. е. что все кривые одного и того же семейства конгруэнтны. Аналогичное доказывается и для кривых v = const. Совершенно так же, как нами доказывалась симметрия соответствующих точек поверхности, можно доказать, что две кривые и = л₁ и v = л₁ при любом л₁ симметричны друг другу относительно центра (серого 50°/₀) тела. Последние две теоремы позволяют довольно быстро и точно строить цветовое тело для любого заданного освещения.

В самом деле, для построения тела оказывается достаточным тщательно построить одну пространственную кривую и = const (например, и =380 mм), после чего, смещая ее параллельно самой себе так, чтобы она всегда проходила через начало координат (так как при этом все интегралы обращаются в нуль, что имеет место для любого и =const, если v = u), мы получим всё семейство и = const. Потом строим кривые, симметричные первым относительно центра тела; они, как легко видеть, получатся из первых простым поворотом в пространстве -- это будут кривые v = const. Те и другие образуют двойную сетку, по которой нетрудно точно проинтерполировать всю поверхность. При этом способе построения важно отметить особо благоприятные условия интерполяции. Сначала по точкам мы интерполируем не поверхность, а только кривую, а поверхность мы интерполируем, имея уже сетку кривых на этой поверхности. Пользуясь указанным методом, можно удобно осуществлять модели цветового тела, собирая его, например, из проволок, выгнутых по одному и тому же шаблону.

Приближенное построение тела ощущений

Как уже указывалось, различных расположений цветов в пространстве с соблюдением условия сложения может быть бесконечное множество, поэтому невольно рождается мысль, нельзя ли выбрать среди них какое-то наилучшее. С точки зрения опытов сложения цветов все расположения цветов совершенно равноправны, а потому необходимо привлечение какого-то нового экспериментального материала. Собственно, наибольшую практическую ценность представило бы такое расположение цветов в пространстве, при котором геометрические расстояния между цветами соответствовали бы нашему непосредственному психологическому представлению о степени сходства между этими цветами. К сожалению, это условие противоречит сохранению условия сложения, причем это противоречие в первую очередь заключается в том, что длина цветового вектора пропорциональна разности абсолютных яркостей света, а ощущение различий по светлоте пропорционально разности логарифмов этих яркостей. В частности, серый 50°/₀, лежащий в центре построенного нами цветового тела, с точки зрения ощущения должен лежать гораздо ближе к чисто белому (отражение 100°/₀), чем к абсолютно черному. Поэтому цветовое тело, построенное согласно новому принципу, должно существенно отличаться от всех тел, которые можно получить при соблюдении условия сложения, а все свойства тела, доказанные нами, относятся только к этому последнему случаю. Поэтому мы будем различать пространство (или тело) цветовых стимулов, когда удовлетворяется условие сложения, и пространство (или тело) цветовых ощущений, когда в виде расстояний соблюдены кажущиеся степени различия между цветами.

При построении тела ощущений собственно единственным решающим методом является фактическое измерение ступеней различимости между цветами, поскольку, помимо закона Вебера-Фехнера для различий по яркости, нам не известно никакой закономерности для ступеней различимости. Однако измерения ступеней различимости чрезвычайно трудны технически, длительны, да и последующая теоретическая обработка опытных данных является делом нелегким. Поэтому чрезвычайно желательным казался бы путь такого преобразования пространства стимулов, в первую очередь аффинного, т. е. с сохранением условия сложения, а затем и неаффинного, чтобы получить хотя бы некоторое практическое приближение к пространству ощущений. При этих преобразованиях приходится, конечно, опираться на тот еще незначительный материал по различиям цветов в ступенях различимости, который в настоящее время имеется. Такой путь последовательных поправок (преобразований), конечно, может быть оправдан только последующими измерениями ступеней различимости, но, во-первых, в случае удачи он может немало способствовать этим измерениям, помогая отбросить случайные ошибки, а с другой стороны, возможно, может дать на первых же порах практически приемлемое приближение.

С этими оговорками укажу на ряд преобразований тела цветовых стимулов, которые были мною подсчитаны с тем, чтобы удовлетворить имеющимся в настоящее время числовым данным Приста и Бриккуэдда в отношении порогов по насыщенности, Штейндлер и Джоунза -- в отношении различий по цветовому тону и закону Вебера-Фехнера -- в отношении яркости. Как показали подсчеты, этим данным удалось удовлетворить сравнительно легко, причем, и это является наиболее обнадеживающим, данные для различий по цветовому тону не были использованы предварительно при определении преобразований и, несмотря на это, сравнительно недурно удовлетворились автоматически при удовлетворении данным Приста и Бриккуэдда, полученным совершенно независимым экспериментальным путем.

Первое сделанное допущение, основанное только на некоторых общих соображениях, заключалось в том, что вообще возможно с помощью только аффинного преобразования удовлетворить условию метрики ощущений (расстояний в ступенях) в пределах плоскости равной светлоты. (Для цветов разной яркости это заведомо невозможно даже приблизительно в силу закона Вебера-Фехнера.) Данные Приста и Бриккуэдда дают величину порога при изменении насыщенности как раз в условиях постоянной светлоты, а потому они были использованы в первую очередь. При этом было сделано следующее, опять-таки более или менее произвольное допущение, хотя и подкрепленное некоторыми сведениями в данном направлении, что расстояние спектрального от равно яркого белого в пространстве ощущений обратно пропорционально найденным Пристом и Бриккуэддом величинам порогов. В качестве задачи было поставлено найти величину и взаимное расположение трех единичных векторов такое, чтобы расстояния спектральных от равно яркого серого в этом пространстве раздражений возможно более соответствовало данным Приста и Бриккуэдда. Так как яркость исключалась, то задача оказалась плоской, т. е. фактически строилось не трехмерное цветовое тело, а его проекция, полученная проецированием параллельно ахроматической оси на плоскость равной светлоты. Проекции трех единичных векторов на плоскость определяются шестью величинами их слагающих по двум координатным осям плоскости, которые были для удобства взяты прямоугольными. Однако эти величины должны были быть еще связаны тем условием, что геометрическая сумма равна нулю, так как проекция взята параллельная ахроматической оси, а сумма трех единичных векторов по условию должна давать белый, который стягивается при проецировании в точку -- начало координат. Это условие представляет собою два уравнения, требующих, чтобы суммы слагающих по обеим осям равнялись нулю. Кроме того, направление одного из векторов было выбрано вдоль оси Х-ов (слагающая по Y равна нулю), что не нарушает общности, так как существенно только взаимное расположение векторов. В конечном итоге осталось только три постоянных для определения их из данных Приста и Бриккуэдда. Для этой цели были выбраны порожные значения для трех длин волн (те, которые давали наиболее простые уравнения для их совместного решения). Пункт немаловажный, так как формулы расстояния давали уравнения второй степени, и из них определены слагающие.

Результаты вычисления дали для определения положения проекции точки с пространственными координатами r, g, b в прямоугольных координатах плоскости x, у следующие выражения:

х = 17r - 15g -2b; y = 10(g -b). (5)

Построенная по этим данным проекция цветового тела изображена на рис. 78. Несмотря на то, что в расчеты были введены только три величины из данных Приста, расстояния для остальных спектральных автоматически получились очень согласными. Кроме того, величины углов между плоскостями различных цветовых тонов оказались довольно близкими к данным Штейндлер и Джоунза о чувствительности глаза к различию цветности. Это приводит к мысли, что предлагаемое преобразование в пределах плоскости равной светлоты не слишком резко расходится с метрикой ощущений и может быть принято за первое, наиболее грубое практическое приближение.

Впрочем, не следует закрывать глаза на то, что ни данные Приста и Бриуэдда, ни данные Штейндлер и Джоунза не обладают большой надежностью, и дальнейшие, более тщательные изыскания, может быть, заставят внести существенные поправки. Кроме того, в плоскости равной светлоты, несомненно, придется делать еще неаффинное преобразование в силу того, что, как показывают опыты построения равноступенного круга, в пространстве ощущений, по всем вероятиям, должны лежать друг против друга не дополнительные, а так называемые контрастные цвета, т. е. условие сложения нарушается даже в пределах этих плоскостей. Наконец, весьма вероятно, что и плоскости равного цветового тона должны быть несколько искривлены (см. работу Шрёдингера «Аnn. d. Рhysik», 1920). Наконец, и плоскости равной светлоты могут в пространстве ощущений тоже быть несколько искривленными.

Выполненное преобразование определяется только некоторыми условиями в пределах плоскостей равной светлоты, поэтому нами, как сказано, определены не единичные векторы, а лишь их проекции на плоскость равной светлоты, а потому у каждого из единичных векторов остается еще один свободный выбор (всего три степени свободы), т. е. мы всё еще получаем не одно единственное расположение цветов в пространстве, а бесчисленное множество различных. Критерия для выбора из них какого-либо одного мы не имеем, так как вне плоскости равной светлоты метрика ощущений ни в одном из них не может удовлетвориться даже приблизительно. Поэтому для получения приближения к пространству ощущений необходимо произвести не аффинное преобразование, а какое-то другое, которое приведет к расположению цветов уже с нарушением условия сложения, т. е. в пространстве ощущений цветов мы не будем иметь права рассматривать оптическое сложение как векторное сложение. Для выполнения этого неаффинного преобразования мы ставим условиями: 1) чтобы оно оставляло неизменными расстояния между цветами равной светлоты, 2) чтобы ахроматическая ось оставалась прямой линией; 3) чтобы кратчайшее расстояние от какого-либо цвета до ахроматической оси лежало бы в пределах плоскости равной светлоты (светлотные плоскости перпендикулярны ахроматической оси; 4) чтобы расстояние между различными ахроматическими цветами соответствовало измеренным расстояниям в ступенях различимости, т. е. удовлетворяло в большей своей части логарифмическому закону Вебера-Фехнера, а для темных цветов -- отмеченным отклонениям от этого закона. Первое требование основано на пред-положении, что выполненным аффинным преобразованием первое приближение к метрике ощущений в пределах плоскостей равной светлоты уже достигнуто. Второе основано на предположении, что кратчайший переход между двумя ахроматическими проходит в пределах ахроматических же. Третье положение, аналогичное второму, предполагает, что кратчайший переход от цветного к ахроматическим происходит в условиях постоянства светлоты (ближайший ахроматический). Второе и третье допущение никаких строго проверенных данных под собою не имеют, однако наблюдения качественного характера позволяют считать эти допущения близкими к действительности. Второе предположение равносильно допущению, что цвета равной светлоты лежат в пространстве ощущений в плоскостях, перпендикулярных ахроматической оси. Происхождение четвертого требования очевидно.

Поставленные требования определяют преобразование единственным образом, поскольку мы желаем оставаться в пределах эвклидовой метрики (совершенно произвольное требование, основанное только на удобстве), поэтому никаких новых условий мы поставить не можем. В самом деле, неизменность светлотных плоскостей, их перпендикулярность ахроматической оси и условие, что ахроматическая ось есть прямая линия, оставляют свободным только расстояние между плоскостями. Эвклидовость метрики означает, что расстояния между двумя плоскостями всюду одинаковы (параллельность плоскостей, перпендикулярных к прямой), поэтому их взаимное расположение вполне определяется расстояниями между ахроматическими цветами. Эти же последние определяются условием (4) с точностью до постоянного множителя.

Чтобы выполнить указанное преобразование, разбиваем его на два: а) аффинное, заключающее требование перпендикулярности светлотных плоскостей к ахроматической оси, и b) преобразование вдоль ахроматической оси (приближенно-логарифмическое). Аффинное преобразование позволяет определить две из величин, остававшихся свободными (два отношения между тремя направляющими косинусами). Последнюю величину мы определяем, выбирая совершенно произвольно масштаб по ахроматической оси, что не нарушает общности, так как в дальнейшем ахроматическая ось всё равно будет преобразовываться, и произвольность выбора скажется только на множителе логарифмического преобразования.

Полученное аффинным преобразованием пространство относим к прямоугольной системе координатных осей, из которых одна (z) направлена вдоль ахроматической оси, а две другие (х и у) взяты произвольно, и преобразуем пространство по формулам:

Х = х, Y = у; Z = kF(z), (6)

где F(z) в первом приближении может быть принята равной lgz, а вообще должна включать в себя также и отступления от закона Веберa-Фехнера. Эта функция, которую мы назовем функцией масштаба по ахроматической оси, верней же функцией его отношения к масштабу в плоскостях равной светлоты, определяется из условия, что масштаб одной ступени различимости тут и там после преобразования должен быть одинаков.

Пользуясь приведенными формулами преобразования, можно легко построить модель приближенного тела ощущений. С этой целью строим сначала тело раздражений в прямоугольных координатах х, у, z, т. е. строим сначала одну пространственную координатную кривую, например и = 380 mм, пользуясь для х и у формулой (5), а для координаты z, выражающей светлоту, беря какой-либо произвольный масштаб. По этой кривой способом, указанным выше, собираем сетку гауссовых координатных кривых поверхности тела и интерполируем самую поверхность тела раздражений (это можно практически выполнить, залив согнутую из проволок сетку гипсом и стачивая гипс до сетки). Полученное тело цветовых стимулов разрезаем плоскостями, перпендикулярными ахроматической оси, и полученные «горизонтальные» сечения тела располагаем вдоль оси, на которой нанесена «психологическая» (логарифмическая) шкала светлот, причем масштаб этой шкалы должен быть выбран в соответствии с масштабом в плоскостях равной светлоты. Вновь проинтерполировав преобразованную поверхность, мы получим приближенное тело цветовых ощущений (рис. 78). Поскольку наш метод построения цветового тела состоял в преобразованиях пространства стимулов так, чтобы расстояние в преобразованном пространстве было пропорционально ступеням различимости, то формула преобразования должна нам позволить выразить различимость между цветами в координатах стимулов, за каковые мы возьмем х, у, как они даны формулами (5), и z = h = r + g + b, где , , -- яркостные коэффициенты. Эта формула расстояний, аналогичная формуле, предложенной Шрёдингером, будет иметь вид:

(7)

Наиболее крупное различие между данной формулой и формулой Шрёдингера заключается в том, что согласно нашей формуле количество ступеней различимости между одним и тем же спектральным цветом и ахроматической осью пропорционально яркости спектрального, тогда как у Шрёдингера оно независимо от яркости. (В этом можно убедиться, помножив все координаты цвета в той и другой формуле на постоянный множитель, положив при этом z = z₁ или H = Н₁ в формуле Шрёдингера.) Это различие произошло в силу того, что Шрёдингером введено соответствующее допущение, которое, однако, экспериментальной проверке не подвергалось. Мы не делали этого допущения, а потому в этом отношении у нас автоматически сохранилась метрика пространства стимулов, что, конечно, нисколько не менее произвольно. Собственно говоря, здесь следовало бы ввести в качестве множителя при координатах х и y некоторую функцию яркости S(z). В нашей формуле она совершенно произвольно положена равной единице, в то время как, если принять допущение Шрёдингера, ее следовало бы положить равной S(z) =. Для значительных яркостей допущение Шрёдингера кажется нам достаточно вероятным, а потому для этих случаев можно было бы предложить формулу

(8)

для малых же яркостей убывание ступеней по насыщенности вместе со светлотой настолько несомненно, что, вероятно, формула (7) должна там давать лучшие результаты. Впрочем, решать этот вопрос при современном отсутствии экспериментальных данных едва ли возможно.

Сравнить формулу (7) с формулой Шрёдингера в отношении того, насколько они хорошо удовлетворяют экспериментальным данным, не представляется возможным, так как формула Шрёдингера содержит девять постоянных, не определенных экспериментальным путем, да и в нашей формуле имеется один такой коэффициент. Правда, на первый взгляд кажется, что формула Шрёдингера произвольных коэффициентов не содержит; однако на самом деле, они существуют в ней в скрытом виде. А именно, эта формула Шрёдингера не является инвариантной в отношении линейного преобразования, т. е. это значит, что формула сможет давать верные результаты только при выборе какой-то вполне определенной системы координат для стимулов, а для произвольной системы заведомо не может дать верные результаты. В подлинной работе Шрёдингера этот выбор определяется тем, что в рассуждениях существенно, чтобы координаты цвета были бы не просто какими-то координатами, а в точности соответствовали гипотетическим раздражениям нервных центров. Фактически это означает, что соответствующие девять коэффициентов должны быть найдены тем или иным экспериментальным путем.

Существенное, принципиальное отличие между предлагаемой формулой и формулой Шрёдингера состоит в том, что эта последняя является неэвклидовой. Это означает, что если бы данная формула оказалась верной, построение тела ощущений в нашем эвклидовом пространстве было бы принципиально невозможным, а, вместе с тем, невозможно было бы и создание рационального цветного атласа. Если бы столь неприятный факт оказался непреложно доказанным путем опытов, с ним пришлось бы волей-неволей примириться, однако наблюдения, положенные Шрёдингером в основу своей формулы, главным образом явления Бецольда-Брюкке, не дают права отчаиваться в этом отношении. Кроме того, отсутствие числовых данных не позволяет судить о кривизне неэвклидова пространства Шрёдингера, в случае же, если эта кривизна невелика, предложенную им формулу можно заменить достаточно близкой эвклидовой. Последнее представляет столь крупные преимущества, что ради них можно было бы пожертвовать в некоторой степени даже точностью формулы. В пользу этого говорит, кроме того, еще то, что явления Бецольда-Брюкке наблюдаются главным образом на цветах довольно далеких друг от друга, а в этих условиях количество ступеней различимости едва ли вообще возможно установить с большой точностью. Таким образом, только при весьма значительной кривизне пространства его нельзя было бы в пределах данной точности заменить эвклидовым. Именно эти соображения заставили нас пойти по иному пути, поставив соблюдение эв-клидовости пространства в качестве непременного условия. Такая работа во всяком случае не должна быть бесплодной, так как при создании цветового атласа задачу тела ощущений всё равно придется решать в пространстве Эвклида, и нахождение наилучшего приближения в этих условиях не потеряет своей актуальности.

Степень достоверности выводов математической теории

Всякий математический вывод (поскольку, конечно, он не содержит чисто формальных ошибок) обладает той же степенью достоверности, как те допущения, которые лежат в его основе. Поэтому непременным условием применения математического анализа является чрезвычайно тщательная экспериментальная проверка того, насколько делаемые допущения осуществляются на том конкретном материале, к которому собираются применить тот или иной математический аппарат. Для каждой теоремы или математического приема существуют такие условия применимости или, как их называют, «пределы годности», и все науки, которые широко пользуются математическим аппаратом, произвели для себя тщательную проверку того, где и когда в их конкретных условиях может быть применен тот или иной математический аппарат. К сожалению, необходимость такой экспериментальной проверки исходных допущений многими не осознается, и существует даже такое нелепое и, главное, чрезвычайно вредное мнение, что «допустить можно вообще всё что угодно». Следствием таких произвольных допущений неизменно бывают «теории», содержащие весьма грубые ошибки. Выяснение того, какое заключение следует из каких именно исходных допущений, важно еще и потому, что экспериментальная проверка может в различных случаях обладать различной надежностью и различной точностью, которыми вполне определяется надежность и точность соответствующих выводов. Когда допущения взяты произвольные, то, в частности, и выводы будут тоже совершенно произвольными и незачем вообще вести доказательства.

В предлагаемых выше математических дополнениях достоверность различных допущений весьма различна. Так как в тексте всюду было обращено самое большое внимание в отношении делаемых допущений, мне остается здесь только указать на экспериментальные основы этих допущений.

Наибольшей достоверностью обладают экспериментальный закон Грассмана и аксиомы сложения цветов. Законность этих допущений подтверждается грандиозным количеством опытов как специальных, так и получаемых попутно при цветовых измерениях. До сих пор не было отмечено ни одного случая, противоречащего этим допущениям, за исключением случаев пветнослепых, для которых закон Грассмана справедлив в несколько измененном виде (два или одно измерение вместо трех). Таким образом, здесь не имеется даже индивидуальных отклонений.

В соответствии с этим, все указанные выводы первого дополнения обладают весьма высокой степенью надежности и могут быть оспариваемы только в случае обнаружения эксперимента, противоречащего закону Грассмана или аксиомам сложения цветов. Не менее надежными являются выводы той части второго дополнения, где говорится о построении тела стимулов (аффинного), так как там привлечен, кроме закона Грассмана и аксиом сложения, только простейший закон отражения света поверхностью, который является столь же надежным. Этой степенью достоверности обладает также зависимость тела стимулов от спектрального состава освещения.

Числовые данные, полученные из опытов с установкой на тождество двух полей, обнаруживают некоторую зависимость от наблюдателя, а потому кривые сложения, а также построенные с помощью них тела стимулов обладают меньшей надежностью по сравнению с общими закономерностями пространства и тела стимулов. Еще менее точны и надежны гетерохромные измерения, для которых и индивидуальные вариации много больше, чем для трехцветных. Поэтому и понятия, определяемые с помощью гетерохромных установок, как-то: гетерохромная яркость, чистота и т. п., являются значительно менее строгими, чем, например, трехцветные коэффициенты х, у, z.

Понятие порогов различимости еще более расплывчато и субъективно. Результаты измерения порогов принципиально не могут быть доведены даже приблизительно до точности трехцветных измерений. Поэтому предлагаемое выше построение тела ощущений и все те положения, которые высказаны по этому поводу, не могут идти ни в какое сравнение с тем, что сказано об аффинном пространстве и о теле стимулов, и являются лишь рабочей гипотезой, планом намечаемой экспериментальной работы.

свет спектральный цвет интерполяция

Размещено на Allbest.ru