Совместное использование метода граничных элементов и градиентного критерия разрушения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Совместное использование метода граничных элементов и градиентного критерия разрушения

М.А. Леган, В.А. Блинов Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН

алгоритм граничный градиентный напряжение

Целью работы было составление алгоритма совместного использования метода граничных элементов и градиентного критерия разрушения, для расчетов на прочность плоских элементов конструкций. Также проведено сравнение результатов расчетов предельной нагрузки по критерию максимальных напряжений и градиентному критерию, как между собой, так и с экспериментальными данными по разрушению образцов.

В градиентном критерии для определения начала разрушения с пределом прочности материала , сравнивается не максимальное, а эффективное напряжение . Эффективное напряжение пропорционально первому главному напряжению в рассматриваемой точке тела, принятому в качестве эквивалентного. Кроме того, зависит от локальной неравномерности поля напряжений в окрестности рассматриваемой точки и представительного размера неоднородности материала. Локальная неравномерность распределения напряжений характеризуется относительным градиентом положительного нормального напряжения , действующего на плоскости, включающей площадку первого главного напряжения в рассматриваемой точке тела, где плоскость и площадка имеют общую нормаль

Относительный градиент находится с использованием решения соответствующей задачи теории упругости. Выражение для эффективного напряжения записывается в виде

(1)

где - параметр, имеющий размерность длины и характеризующий неоднородность материала;

- неотрицательный безразмерный параметр , который можно рассматривать как параметр аппроксимации.

Параметр находится в [1] из условия согласования градиентного критерия с линейной механикой разрушения и выражается через известные характеристики материала - предел прочности и критический коэффициент интенсивности напряжения - по формуле

(2)

Будем считать, что разрушение в окрестности рассматриваемой точки начинается при достижении эффективным напряжением предела прочности материала и первоначально распространяется по площадке действия напряжения .

На основе градиентного критерия и метода граничных элементов (в варианте метода фиктивных нагрузок) был разработан численный алгоритм для расчета на прочность. При этом характерная особенность построения алгоритма состоит в том, что в ходе расчетов необходимо определять не только компоненты напряженного состояния, но и их производные по пространственным координатам.

При использовании метода граничных элементов возникает проблема в расчетах, связанная с тем, что напряжения для внутренних точек с удовлетворительной точностью могут быть найдены при условии, что эти точки удалены от контура на расстояние большее длины одного элемента [2]. Всвязи с этим необходимо было разработать алгоритм, позволяющий с высокой точностью вычислять напряжения в точках тела, находящихся вблизи границы.

Численный алгоритм для определения напряжений вблизи границы тела включает в себя два этапа. На первом этапе находим напряжения в средних точках граничных элементов и производные по касательной к контуру в этих точках. На втором этапе в теле на малом расстоянии от граничных элементов основного контура проводим некоторым образом новую гранично-элементную ломаную линию, образующую вспомогательный контур. Используя уравнения равновесия бесконечно малого элемента на контуре тела, определяем приближенно граничные условия для вспомогательного контура, через найденные ранее значения напряжений на основном контуре и производных . Применяя метод граничных элементов к задаче с заданными граничными условиями на вспомогательном контуре и вычисляя напряжения в центре каждого граничного элемента этого контура, мы фактически находим напряжения для интересующих нас внутренних точек исходной задачи, но уже с более высокой степенью точности.

Производные нормального напряжения, необходимые для вычисления модуля градиента определим, используя конечно-разностные формулы численного дифференцирования. Для вычисления производной нормального напряжения по касательной s к контуру воспользуемся трехточечным шаблоном численного дифференцирования с неравными шагами.

Для вычисления производной нормального напряжения по нормали n к контуру воспользуемся двухточечным шаблоном численного дифференцирования.

Подставляя вычисленные значения и для каждой из средних точек граничных элементов в выражение (1) для и определяя точку, где эффективное напряжение максимально, найдем место начала разрушения.

Были проведены следующие серии экспериментов с эбонитовыми образцами: растяжение стандартных образцов для установления значений модуля Юнга, коэффициента Пуассона, предела прочности эбонита, растяжение образца с краевыми вырезами для нахождения критического коэффициента интенсивности напряжений, а также трехточечный изгиб балок.

В результате испытаний пяти образцов на одноосное растяжение получено среднее значение предела прочности (стандартное отклонение 1 МПа) и коэффициент Пуассона , а также Модуль Юнга . Из четырех экспериментов над образцами с вырезами был получен коэффициент интенсивности напряжений (стандартное отклонение). Значение было получено с помощью приведенной в [3] формулы: , где - отношение глубины выреза к ширине образца, . По полученным стандартным характеристикам материала и с помощью (2), вычислено значение . Из листа эбонита толщиной 8 мм были вырезаны образцы для испытаний на трехточечный изгиб с длиной рабочей части 100 мм, и шириной 20 мм. Испытанию на трехточечный изгиб были подвергнуты 6 балок. Получено среднее значение предельной силы (стандартное отклонение 6,84 Н).

Для трехточечного изгиба балки проведено сравнение полученных экспериментальных данных и результатов расчетов предельной нагрузки по двум критериям прочности. Расчетные значения предельных нагрузок приведены в таблице.

Таблица 1 Значения предельных нагрузок.

Классический критерий максимальных напряжений дает существенно заниженную оценку разрушающей силы по сравнению с экспериментальными данными, в то время как, значение предельной нагрузки по градиентному критерию более близко к значению, полученному экспериментальным путем.

Список литературы

1. Леган М.А. О взаимосвязи градиентных критериев локальной прочности в зоне концентрации напряжений с линейной механикой разрушения// ПМТФ. 1993. Т 34, №4. С.146-154

2. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир, 1987

3. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. М.: Наука, 1985

Размещено на Allbest.ru