Математическая модель динамической вытяжки жесткопластического металлического волокна из металлокомпозита

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математическая модель динамической вытяжки жесткопластического металлического волокна из металлокомпозита

В.Д. Кургузов, Ю.В. Немировский

Аннотация

Построена математическая модель совместного деформирования волокна и связующего под действием динамических нагрузок. Материалы волокна и связующего являются жесткопластическими с линейным упрочнением. Сформулирована система дифференциальных уравнений, описывающих движение абсолютно твердого волокна и пластического деформирования связующего. Разработан численно-аналитический метод, позволяющий определить остаточные смещения волокна после снятия внешней нагрузки. Предложена процедура итерационного уточнения касательных напряжений в зоне контакта волокно-связующее и границы зоны пластичности в связующем на каждом временном шаге.

Ключевые слова: жесткопластическое волокно, динамическая вытяжка, металлокомпозит.

Abstract

The mathematical model of joint deformation of a fiber and binding under the influence of dynamic loadings is constructed. Materials of a fiber and binding are plastic-rigid with linear hardening. The system of the differential equations describing movement of absolutely firm fiber and plastic deformation binding is formulated. The numerically-analytical method is developed, allowing to define residual displacement of a fiber after removal of external loading. Procedure of iterative specification of shear stress in a zone of contact a fiber-binding and borders of a zone of plasticity in binding on each time step is offered.

Key words: plastic-rigid fiber, dynamic extract, metal composite.

Задача построения адекватной математической модели движения жесткопластического стержня в среде с сопротивлением возникает при изучении динамических процессов глубокой вытяжки (заглубления) металлических композитов с дискретными волокнами при динамическом импульсном воздействии на арматуру [1-3].

Металлический стержень длины , круглого поперечного сечения радиуса , помещается внутрь круглой трубы внутреннего радиуса и заливается полимерным связующим. К одному из торцов стержня приложен динамический импульс внешней нагрузки , нижний торец трубы жестко заделан (рис. 1). Задача рассматривается в осесимметричной постановке. Требуется определить остаточные смещения стержня после снятия внешней нагрузки.

Рис. 1. Расчетная схема задачи.

Материал связующего считается жесткопластическим с линейным упрочнением с возможностью разрушения при достижении касательным напряжением предела прочности и с дальнейшим деформированием, характеризуемым ниспадающим участком с модулем на диаграмме чистого сдвига. Диаграмма деформирования материала связующего приведена на рис. 2, а, где - касательный модуль, - предел текучести, - предел прочности, - деформации, соответствующие пределу прочности, - деформации, соответствующие полному разрушению. Материалы стержня и трубы также являются жесткопластическими с диаграммами деформирования, показанными на рис. 2, б, в общем случае с различными пределами текучести , пределами прочности и касательными модулями .

Рис. 2. Диаграммы деформирования материалов: (а) связующего, (б) стержня.

Введем в рассмотрение продольное усилие в стержне , где - площадь поперечного сечения, - напряжения. Тогда уравнение движения стержня можно записать в виде

, (1)

где - смещение стержня, - периметр поперечного сечения, - плотность материала стержня.

Без ограничения общности будем считать, что наименьшим пределом текучести обладает связующее, а наибольшим - труба, т.е. по мере возрастания внешней нагрузки сначала в пластичность переходит связующее, затем - стержень, а потом - труба. Обозначим через момент перехода связующего в пластичность. На рис. 1 граница зоны пластичности обозначена через . При дальнейшем возрастании нагрузки граница зоны пластичности будет перемещаться по радиальной координате в сторону возрастания и разобьет связующее на две области: пластическую и абсолютно жесткую .

Зависимость при пластическом деформировании связующего имеет вид , где - коэффициент упрочнения (см. рис. 2). Уравнение движения пластической части связующего имеет вид

. (2)

Таким образом, получаем систему уравнений (1), (2), которая вместе с соответствующими начальными и граничными условиями позволяет найти , , . После дискретизации (1), (2) по времени получается система обыкновенных дифференциальных уравнений, для решения которой используется итерационный процесс.

Обозначим через момент времени, соответствующий слою по времени с номером . По достижении касательными напряжениями предела прочности начинается процесс разрушения, характеризуемый ниспадающей ветвью на диаграмме (рис. 2, а). В связующем появляется область разупрочнения с границей (рис. 1), в которой . Уравнение движения в области разупрочнения имеет вид

. (3)

В пластической области, которая теперь занимает интервал , выполняется уравнение (2), на границе раздела ставится условие склейки решений (2) и (3), начальные условия берутся с предыдущего шага по времени. В системе уравнений (1)-(3) появляется еще одна неизвестная функция , которая находится с помощью итерационной процедуры.

В качестве примера рассмотрим задачу о выдергивании стального стержня длиной мм, радиусом мм, плотностью г/мм³. Внешнюю нагрузку зададим в виде синусоидального по времени импульса . Характеристики материала связующего: плотность г/мм³, предел текучести Н/мм², предел прочности Н/мм², касательный модуль Н/мм², . Амплитуду внешней нагрузки примем равной , где , продолжительность импульса - 1 мсек (). Предположим, что напряжения в стержне вплоть до момента разрушения связующего не превосходят предел текучести, т.е. стержень в процессе деформирования остается абсолютно жестким.

Момент времени перехода связующего в пластичность найдем из условия , откуда мсек. Зададим шаг по времени . Интегрируя уравнения (1), (2), получим, что касательные напряжения в связующем на границе достигнут предела прочности за 10 шагов по времени. Стержень в этот момент времени окажется вытянутым из связующего на 0,035 мм. Распределение смещений в связующем по радиальной координате на последовательных шагах по времени показано на рис. 3, где цифры 3, 4, …, 10 у кривых соответствуют номерам шагов. Внутренний радиус трубы принят равным мм, радиус пластической зоны на последнем шаге равен 5,716 мм, при смещения равны нулю.

Рис. 3. Распределение смещений по радиальной координате.

Предложенный численный метод может быть положен в основу методики экспериментального определения диаграммы касательные напряжения - деформации сдвига для материала связующего по экспериментам на динамическую вытяжку волокна из металлической матрицы.

волокно жесткопластический стержень деформирование

Библиографический список

1. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. - М.: Изд-во иностр. лит., 1955.

2. Мун Ф. Удар и распространение волн в композиционных материалах: В кн. Композиционные материалы. Т.7. Ч. 1 / Под ред. К.К. Чамиса. - М.: Машиностроение, 1978.

3. Рахматуллин Х.А., Жубаев П., Ормонбеков Т. Распространение волн деформаций. - Фрунзе: Изд-во АН Киргизской ССР, 1985.

Размещено на Allbest.ru