Метод расщепления в задаче динамики вязкоупругой среды Кельвина–Фойхта
Алгоритм расчета течений сыпучей среды при наличии застойных зон в движущемся потоке. Аппроксимация - метод получения разностной схемы, устойчивой при условии Куранта–Фридрихса–Леви для гиперболической системы уравнений линейной теории упругости.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.10.2018 |
| Размер файла | 42,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Размещено на http://www.allbest.ru
На основе метода расщепления по пространственным переменным решается задача определения скоростей и напряжений, вызванных импульсным воздействием на границе вязкоупругой среды Кельвина-Фойхта. Для двумерного случая разработан численный алгоритм, в котором задача сводится к решению серии одномерных задач теории вязкоупругости с определенным выбором направлений.
Уравнения динамики среды Кельвина-Фойхта записываются в терминах проекций вектора скорости на оси декартовой системы координат и компонент симметричных тензоров полных напряжений и упругих напряжений :
(1)
Здесь - плотность, - модуль объемного сжатия, - модуль сдвига, - вязкость.
Система приводится к матричной форме:
(2)
где и .
Численное решение краевых задач для системы уравнений (1) строится на основе разностной схемы предиктор-корректор.
На шаге корректор векторы и вычисляются явным образом по уравнениям, аппроксимирующим (2):
(3)
На шаге предиктор при вычислении величин с полуцелыми индексами, отнесенных к граням ячеек, через основные величины, определенные в ячейках, аппроксимировались одномерные системы уравнений динамической теории упругости, записанные в терминах скоростей и напряжений:
Аппроксимация строилась по методу характеристик. Такой подход позволяет получить разностную схему, устойчивую при выполнении условия Куранта-Фридрихса-Леви для гиперболической системы уравнений линейной теории упругости. Схема неявная на шаге предиктор и реализуется с помощью метода скалярной трехточечной прогонки.
В одномерной задаче схема может быть получена на основе метода Иванова построения диссипативных разностных схем с контролируемой диссипацией энергии [1]. Для системы уравнений в безразмерной форме:
(4)
в соответствии с методом Иванова рассматривается расширенная система:
в которой и - вспомогательные функции, вообще говоря, отличные от и . Замыкающие уравнения записываются в виде:
(5)
где - неотрицательно определенная - матрица схемной диссипации с малыми коэффициентами, которая, в частности, может быть равной нулю. Для системы (4), (5) выполняется уравнение баланса энергии с диссипативным слагаемым, представляющим собой квадратичную форму с матрицей относительно производных от вспомогательных функций по переменной . При определенном выборе этой матрицы дискретный аналог расширенной системы уравнений является характеристической схемой.
Рис. 1. Профиль скорости: a) диссипативная схема, б) схема на сдвинутых сетках
На основе одномерной схемы проводились тестовые расчеты задачи о распространении волны, вызванной действием П-образного импульса напряжения на правой границе полосы (рис. 1). Для сравнения задача решалась также с помощью разностной схемы второго порядка на сдвинутых сетках, построенной по принципу схемы Неймана-Рихтмайера [2]. Расчеты показали, что профили скоростей и напряжений диссипативной схемы (рис. 1а) практически монотонны - лишены паразитных осцилляций, которые характерны для схемы второго порядка (рис. 1б).
Проводилось сравнение численного решения задачи о распространении монохроматической волны в вязкоупругой среде с точным решением, которое показало, что погрешность схемы растет с увеличением частоты и с уменьшением шага по времени, оставаясь в пределах, соответствующих схеме первого порядка точности.
В двумерной постановке решалась задача Лэмба о мгновенном действии сосредоточенной силы на границе полуплоскости.
Заметим в заключение, что конечной целью данного исследования является разработка надежного вычислительного алгоритма для расчета течений сыпучей среды при наличии застойных зон в движущемся потоке [3]. Проведенные расчеты сдвиговых течений по схеме второго порядка точности выявили недостатки схемы, связанные с немонотонностью решений, которые препятствуют получению адекватных численных результатов.
Список литературы
гиперболический сыпучий упругость
1. Иванов Г.В., Волчков Ю.М., Богульский И.О., Анисимов С.А., Кургузов В.Д. Численное решение динамических задач упругопластического деформирования твердых тел. Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2002.
2. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978.
3. Sadovskaya O., Sadovskii V. Mathematical Modeling in Mechanics of Granular Materials, Ser.: Advanced Structured Materials, Vol. 21. Heidelberg - New York - Dordrecht - London: Springer, 2012.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Применение метода контурных токов для расчета электрических схем. Алгоритм составления уравнений, порядок расчета. Метод узловых потенциалов. Определение тока только в одной ветви с помощью метода эквивалентного генератора. Разделение схемы на подсхемы.
презентация [756,4 K], добавлен 16.10.2013Свойства независимых комбинаций продольной и поперечной объемных волн. Закон Гука в линейной теории упругости при малых деформациях. Коэффициент Пуассона, тензоры напряжения и деформации. Второй закон Ньютона для элементов упругой деформированной среды.
реферат [133,7 K], добавлен 15.10.2011Метод конечных элементов (МКЭ) — численный метод решения задач прикладной физики. История возникновения и развития метода, области его применения. Метод взвешенных невязок. Общий алгоритм статического расчета МКЭ. Решение задач методом конечных элементов.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 31.05.2012Расчет резистивной цепи методом наложения. Система уравнений по методу законов Кирхгофа. Метод эквивалентного генератора. Матрично-топологический метод, применение. Классический, оперативный метод расчета. Графики характера тока, его изменение во времени.
курсовая работа [2,5 M], добавлен 10.06.2012Метод контурных токов позволяет уменьшить количество уравнений системы. Метод узловых потенциалов. Положительное направление всех узловых напряжений принято считать к опорному узлу. Определить токи в ветвях.
реферат [105,0 K], добавлен 07.04.2007Метод уравнений Кирхгофа. Баланс мощностей электрической цепи. Сущность метода контурных токов. Каноническая форма записи уравнений контурных токов. Метод узловых напряжений (потенциалов). Матричная форма узловых напряжений. Определение токов ветвей.
реферат [108,5 K], добавлен 11.11.2010Основные положения математической физики и теории дифференциальных уравнений. Поперечные колебания. Метод разделения переменных или метод Фурье. Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
дипломная работа [365,5 K], добавлен 08.08.2007Основные положения и алгоритм решения задач методом эквивалентного генератора. Применение метода междуузлового напряжения при анализе многоконтурной электрической схемы, имеющей только два потенциальных узла. Составление эквивалентной схемы замещения.
презентация [1,8 M], добавлен 22.09.2013Основные исходные положения и принятые допущения. Исходная система всех основных уравнений. Преобразование исходной системы уравнений к форме записи, отвечающей задаче исследования. Преобразование до конечного результата полученной системы уравнений.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 26.10.2013Особенности применения метода эквивалентных синусоид для приближенного расчета режима в нелинейных цепях. Метод эквивалентного генератора для цепей с одним нелинейным элементом. Метод итераций для расчета сложных схем с применением вычислительной техники.
презентация [273,5 K], добавлен 28.10.2013Особенности вывода дифференциальных уравнений осесимметрических движений круглой цилиндрической оболочки. Построение частного волнового решения основной системы уравнений гидроупругости вещества. Метод решения уравнения количества движения для жидкости.
курсовая работа [125,7 K], добавлен 27.11.2012Решение линейных дифференциальных уравнений, характеризующих переходные процессы в линейных цепях. Прямое преобразование Лапласа. Сущность теоремы разложения. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме. Схема замещения емкости. Метод контурных токов.
презентация [441,7 K], добавлен 28.10.2013Составление на основании законов Кирхгофа системы уравнений для определения токов во всех ветвях схемы. Определение токов во всех ветвях схемы, используя метод контурных токов и на основании метода наложения. Составление баланса мощностей для схемы.
контрольная работа [60,3 K], добавлен 03.10.2012Составление на основе законов Кирхгофа системы уравнений для расчета токов в ветвях схемы. Определение токов во всех ветвях схемы методом контурных токов. Расчет системы уравнений методом определителей. Определение тока методом эквивалентного генератора.
контрольная работа [219,2 K], добавлен 08.03.2011Разветвленная цепь с одним источником электроэнергии. Определение количества уравнений, необходимое и достаточное для определения токов во всех ветвях схемы по законам Кирхгофа. Метод контурных токов. Символический расчет цепи синусоидального тока.
контрольная работа [53,2 K], добавлен 28.07.2008Определяющие соотношения модели нелинейно упругой среды, вычисление компонент тензора напряжений. Определение автомодельного движения. Сведение модельных соотношений к системе дифференциальных уравнений. Краевая задача разгрузки нелинейно упругой среды.
курсовая работа [384,1 K], добавлен 30.01.2013Прямое преобразование Лапласа. Замена линейных дифференциальных уравнений алгебраическими уравнениями. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме. Метод переменных состояния. Особенности и порядок расчета переходных процессов операторным методом.
презентация [269,1 K], добавлен 28.10.2013Общие требования к электроустройствам. Прокладка проводов и кабелей на лотках, в коробах, на стальном канате. Аналитический метод расчета надежности электроустановок. Логико-вероятностный метод расчета надежности электроснабжения с помощью дерева отказов.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 28.12.2014Подходы к построению физических моделей. Физический принцип регистрации землетрясений. Теория деформации, основанная на физических закономерностях о сжимаемости и деформируемости. Распространение сейсмических волн при влиянии неидеальной упругости среды.
дипломная работа [6,8 M], добавлен 14.07.2015Рекомендации по использованию вычислительной техники для расчета рабочего контура. Расчет системы теплофикации. Составление и решение системы линейных алгебраических уравнений энергетических балансов. Определение энтальпии среды на выходе из деаэратора.
реферат [32,2 K], добавлен 18.04.2015
