Обработка сигналов м-, дм- диапазонов длин волн при электромагнитном импульсном сверхширокополосном зондировании подстилающей среды

Размещено на http://www.allbest.ru/

Обработка сигналов м-, дм- диапазонов длин волн при электромагнитном импульсном сверхширокополосном зондировании подстилающей среды

 

В. Б. Болтинцев



Аннотация. Подстилающая среда представлена макросистемой. Для неё предполагается значительная дисперсия диэлектрической проницаемости в м-, дм- диапазонах длин волн. Использован вариационный принцип описания динамики макросистемы с введением энтропии для двух электромагнитных импульсных (ЭМИ) сверхширокополосных (СШП) сигналов. Показано, что порядок построения эмпирических плотностей вероятностей (ЭПВ) определяется методом формирования числа интервалов группирования экспериментальных данных.Построение ЭПВ есть построение волнового спектра отражённого сигнала. Путём введения сингулярности в ЭПВ ЭМИ СШП сигналов проведено построение энтропийных критериев оценивания объёмов выборки для сдвиг - масштабного преобразования сигналов с последующим нахождением авто -, взаимокорреляционной функций (АКФ, ВКФ) и волатильностей для АКФ и ВКФ. Показано, что центрировано-нормированные ЭМИ СШП сигналы идентифицируемы по Тейчеру. На примере плотины Бурейской ГЭС, зоны «Размыва» в г. Санкт-Петербурге и месторождения сланцев в Мьянме показана работоспособность предложенных критериев.

Ключевые слова: волновой спектр; сингулярность; эмпирическая плотность вероятности; информационная мера Кульбака; производная Радона - Никодима, идентифицируемость по Тейчеру, волатильность, суффозия, сланцы. электромагнитный импульсный сверхширокополосный сигнал

За последние сорок лет изучение свойств объектов с помощью СШП сигналов превратилось из экзотического в один из самых перспективных путей развития современных технологий, в частности, в целое направление по изучению свойств подстилающей среды.

Подстилающая среда - это большой, постоянно увеличивающийся класс учитываемых соединений (от фракталов^[1] до молекул). Сегодня главный акцент исследований перемещается в область более глубокого изучения молекулярных механизмов многоатомных молекул, имеющих большое число степеней свободы вращательных и трансляционных движений, которые определяют форму и физические свойства среды.

Известно [1], что попытка учёта вращательных и трансляционных движений на уровне моделей приводит к «размытию» частотных диэлектрических спектров, что существенно затрудняет анализ и установление связи между измеряемыми макроскопическими свойствами мезофаз и такими микроскопическими характеристиками, как времена диэлектрической релаксации молекул.

«Размытые» диэлектрические спектры хорошо описываются с помощью функции непрерывного распределения времен релаксации [2], но построить модель сложных молекулярных релаксационных движений удается лишь в исключительных случаях. Поэтому в мировой практике особую важность приобретают разрабатываемые численные методы восстановления распределения времен релаксации непосредственно из экспериментально измеряемых спектров, чтобы обеспечить их более совершенный анализ и лучшее понимание. Разработка новых программных методов их диагностики является важной и актуальной задачей.

Традиционный подход к решению данной проблемы - объявить подстилающую среду макросистемой [3], и уже для неё посредством измеряемых макропараметров отражать состояние системы^[2], что предполагает использование статистического формализма Э. Т. Джейнса, предложившего вариационный принцип описания динамики системы.

Методы описания СШП сигналов

Точные непериодические и нестационарные решения уравнений Максвелла применительно к СШП сигналам предложены:

- Х. Ф. Хармутом (1980) - метод решения нестационарного волнового уравнения с заданными начальными и граничными условиями является одним из наиболее универсальных, однако плата за это - значительная сложность и трудоёмкость, что наглядно иллюстрируется его использованием для решения задачи об излучении СШП сигналов простейшей антенной - вибратором Герца. Большинство получаемых выражений настолько громоздки, что подавляющее число интегралов не может быть вычислено точно;

- А. Б. Шварцбургом (1993) - метод развивает точно решаемые модели импульсной оптики диспергирующих сред во временном представлении на основании полиномов Лагерра. Эти модели описывают взаимодействие ультракоротких видеоимпульсов с диэлектриками и проводниками. Поля, возбуждаемые видеоимпульсами в этих средах, представляются аналитически благодаря новым точным непериодическим и нестационарным решениям уравнений Максвелла (уравнений типа свёртки)^[3];

 - О. А.Третьяковым (1998) - метод модового базиса, который опирается на теорию нестационарных операторных уравнений и общие результаты применения этой теории для уравнений Максвелла. Спектральное разложение искомого поля по модовому базису основано на ортогональных разбиениях Вейля гильбертова функционального пространства  и приводит к отщеплению от пространственно - временного дифференциального оператора, в уравнениях Максвелла - оператора пространственного дифференцирования. В результате получают дифференциальные уравнения с соответствующим набором начальных условий, именуемых эволюционными, поскольку в качестве независимой переменной в них входит время. Решая их, определяют скалярные функции времени, которые являются коэффициентами разложения искомого поля по модовому базису. Недостатком является сложность построения модового базиса в условиях конкретной задачи^[4];

- Л. Ю. Астаниным, А. А. Костылевым (1989) - метод обобщенной фазовой плоскости как альтернатива использованию любых интегральных преобразований при описании СШП сигналов. К сожалению, метод не применим при рассмотрении задач распространения СШП сигналов в различных средах.

Также следует отметить метод функций Уолша - метод замены разложения в гармонический ряд исследуемых при решении уравнений Максвелла функций на разложение по ортогональной системе функций Уолша (ряд Фурье - Уолша); метод мгновенного спектра (А. А. Харкевич, 1986), который заключается в описании СШП сигнала текущим и мгновенным спектрами; метод атомарных функций (В. Ф. Кравченко, 2007), который даёт хорошую сопоставимость модели распространяющегося СШП сигнала с экспериментальными данными.

Широко распространены следующие виды описания СШП сигналов.

Временное описание СШП сигналов является наиболее удобным для анализа задач распространения во временной области, когда вид сигнала в данной точке пространства определяется с использованием вида сигнала на границе раздела сред как интеграл свёртки, и распространено при описании решения задач излучения СШП сигналов^[5].

Частотное описание СШП сигналов требуется для получения импульсных характеристик, которые позволяют получать аналитические решения для более широкого класса задач, так как основным их достоинством является возможность использовать в негармоническом анализе хорошо известные результаты классической теории.

Вейвлет (wavelet) анализ (Гроссманн, Морле, 1984)^[6] с зависящей от времени частотой мало похож на реальные излучаемые импульсы ЭМИ СШП зондирования, отличающиеся отсутствием несущей частоты и асимметрией переднего и заднего фронтов.

Деформация импульсов в диспергирующей среде описывается, как известно [4] в частотной области методом разложения фазы в ряд по степеням отношения спектральной ширины импульса  к несущей частоте  [5]. Однако для коротких СШП импульсов, излучаемых как полтора колебания поля, отношение  не является малым параметром; при этом количество спектральных компонент, требуемое для синтеза поля импульса в глубине среды, становится непомерно большим [6]. В разложении фазы все слагаемые содержат в знаменателе показатель преломления среды . Если в спектре содержится частота отсечки диспергирующей прозрачной среды , то  и ряд, представляющий собой разложение фазы, расходится [4].

 Отмеченные трудности связаны не с уравнениями Максвелла, а с традиционными методами их решения с помощью разделения переменных и преобразований Фурье как способа решения, удобного для описания квазимонохроматических волн с медленно меняющейся амплитудой и фазой.

Одна из проблем, с которыми сталкиваются исследователи диэлектрических свойств веществ, - это наличие «неудобных» участков^[7] частотного диапазона на стыке м- и дм- диапазонов длин волн (10?1000 МГц), обусловленных существованием в среде низкочастотной дисперсии диэлектрической проницаемости. Экспериментальная модель отклика многослойной среды на ЭМИ СШП сигнал, подтверждающая выводы Шварцбурга А. Б. (2000 г.), в этом частотном диапазоне представляет собой временную последовательность узкополосных, почти гармонических сигналов. Как правило, значения частот лежат в диапазоне 1-100 МГц и на каждом временном интервале определяются геометрией и материалом (внутренним строением и, как правило, количеством «связанной» воды) слоя среды, находящегося на соответствующей глубине.

Однако вывод о резонансной модели отклика многослойной среды на ЭМИ СШП сигнал был бы не полным без анализа волновых свойств отражённого сигнала и непоставленного вопроса о предельном поглощении сигнала определённых частот подстилающей средой, поскольку оснований для этого достаточно [7].

Представление волнового спектра отражённого сигнала его эмпирическим распределением

Поскольку затухания сигналов в основном^[8] привязаны к длине волны и имеют размерность дБ/м, автоматически возникает вопрос о длинах волн в отражённом сигнале^[9]. Ниже предлагается представление волнового спектра отражённого сигнала его эмпирическим распределением^[10].

Представим отраженный сигнал ЭМИ СШП зондирования м - диапазона (рис. 1), записанный как временной ряд , вектором наблюдений .

 Определим эмпирические плотности вероятности (ЭПВ) для  в каждый момент   размерностью  для сколь угодно больших (на рис. 1 ) и всевозможных  как вероятность для i-го интервала группирования экспериментальных данных

, (1)

где частота попаданий значений  в интервал ;- вариационный ряд, построенный из амплитудных значений: . Здесь  - неизвестное собственное число степеней свободы , которое оценивается по формуле

 , (2)

где  - максимальное значение ; - минимальное значение ;  - вариационный интервал (далее -«ширина ящика»).

Погрешность по определению, задаваемому (2), равна



, (3)

- знак математического ожидания^[11].

В настоящее время отсутствует метод определения оптимального числа интервалов группирования экспериментальных данных (далее «ящиков»). Так, для решения этой задачи в [8] приведено более 30 способов построения эмпирического распределения, устанавливающих связь между объёмом выборки  и числом ящиков , наиболее используемые из них приведены в [9-13].

Первая публикация по этому вопросу относится к 1730 г^[12]. В неизвестное число ящиков  бросают  шаров так, что в любой ящик каждый шар попадает с вероятностью . В [14] показано, что единственной несмещенной оценкой с равномерно-минимальной дисперсией для параметра  будет

, (4)

 где  - число Стирлинга II рода: ; достаточная статистика для неизвестного ;  при  [15].

Возникает вопрос: «Что будет, если в ящик ничего не попадёт?». Действительно, достаточно в задаче о подбрасывании монеты заменить твёрдую поверхность стола песочницей с влажным рыхлым песком и число степеней свободы у подброшенной монеты станет равным трём («решка», «орёл», «ребро»), а у монеты с идеальными геометрическими формами и таким же центрированием число степеней свободы в песочнице выродится в одно - «ребро», два ящика («решка» и «орёл») будут пустыми, но появится новая степень свободы - угол наклона, под которым монета застрянет в песке.

Вырождение степеней свободы  математически сформулировано в виде «концентрации энтропии» Э. Т. Джейнсом. «…Без использования логарифмических форм, которые мы сейчас называем «энтропия», Якоб Бернулли и Пьер Симон Лаплас предложили обоснование, рассчитав множества следующим образом:

, (5)

но сегодня мы предпочитаем использовать приближение Стирлинга для вывода формы энтропии Шеннона

 »^[13].

 

Э. Т. Джейнс установил базис, сейчас более известный как «МЕ формализм» или «формализм Джейнса», и нашёл его место в Байесовской статистике. По К. Шеннону энтропия непрерывного распределения с плотностью  (К. Шеннон, 1948; Э. Т. Джейнс, 1957, 1982) имеет вид

. (6)

Непрерывное распределение с максимальной энтропией характеризуется собственными моментами



.

Лагранжиан (Zellner, Highfield, 1988) выглядит как

,

где  множители Лагранжа. Тогда (Hildebrand, 1972)

,

отсюда следует, что плотность непрерывного распределения с максимальной энтропией имеет вид

.

Решение задач на функционалах (множителях) Лагранжа строится как решение с учетом ограничений на средние значения [16] ^[14].

На больших временах используется эргодическая теорема, далее - законы больших чисел, или явление концентрации инвариантной (стационарной) меры: «хорошие» (липшицевы, т. е. удовлетворяющие соотношению ) функции на «хороших» (гладких, с ненулевой кривизной) компактных пространствах с мерой большого числа измерений^[15]. Для случая стационарных цепей Маркова, как показано А. Хинчиным (1953), достаточно длинные траектории всегда можно разбить на два класса. Все траектории первого класса обладают равными вероятностями вида

,

где  длина Марковской цепи (число шагов);  так называемая энтропия эволюции на один шаг (траекторная энтропия)

.

Число таких траекторий есть величина . Про второй класс траекторий известно, что на основании эргодической теоремы для конечных марковских цепей сумму вероятностей этих траекторий при достаточно большом  можно сделать произвольно малой.

В случае ЭМИ СШП сигналов [19, 20] за определением  с точки зрения физических процессов стоит волна - такая временная последовательность y_j, которая образуется тогда, когда имеется хотя бы два значения в i-ом ящике, таких, что время для этих значений не совпадает (t_j1 ? t_j2). В нашем случае построение эмпирического распределения есть построение волнового спектра. Непрерывное изменение эмпирического распределения (волнового спектра) обусловлено наличием сильной частотной дисперсии диэлектрической проницаемости подстилающей среды для м-, дм- диапазонов длин волн.

Определение. Моменты времени заполнения конкретного ящика в эмпирическом распределении суть длина конкретной волны.

Введение энтропии двух процессов обусловлено, в первую очередь, необходимостью оценки дисперсии диэлектрической проницаемости, а также невозможностью отказа от учёта логарифма ширины «ящика» в одномерной энтропии и ограниченностью применения множителей Лагранжа для max энтропии^[16].

Аналогично введённому выше представлению отраженного сигнала ЭМИ СШП зондирования м- диапазона временным рядом  представим временной ряд дм- диапазона  вектором наблюдений  , который будет полностью определен, если заданы его -мерные плотности вероятности  для сколь угодно больших  и всевозможных .

Поскольку энтропия для двух процессов определяется как

, (7)

логарифмы ширины «ящика» по  и  в (6) сокращаются с логарифмами ширины ящиков взаимной информации, но появляется «третий игрок» в виде взаимной информации, чьё интегральное представление имеет вид

. (8)

В общем случае выражение для энтропии для двух процессов выглядит как

(9)

где двумерное распределение векторов наблюдений ; количество ящиков для  и ; двойная сумма - выражение для ;исоответствуют (2) и (3). Очевидно, что , поскольку для каждой из одномерных энтропий и  ищутся свои  и  соответственно.  представляет собой матрицу размером ^[17]. Предполагается «перекладка» ящиков, из меньшего числа ящиков в большее.

Таким образом, переход к энтропии двух процессов подразумевает появление третьего игрока - взаимной информации. Его роль состоит в обнулении логарифма от ширины ящика в (6), однако платой за это является переход к матричному счислению, или использованию на этом этапе наисложнейших моделей диэлектрической проницаемости для связи значений сигналов в м- и дм- диапазонах длин волн.

Шахматная доска как способ построения двумерного эмпирического распределения

Идея шахматной доски принадлежит С. Кульбаку [21]: предположим, что эмпирическое распределение  расклассифицировано (раскассировано) в строку длиною n и определено по критерию max энтропии, а гипотетическое распределение  в столбец такой же длины n, тогда может быть введена мера (информационная мера Кульбака, или мера Кульбака - Лейблера - Санова^[18], далее ИМК)

(10)

как мера приближения условной энтропии к безусловной (свойства: строго выпукла вниз; всегда ?0; относительно равномерного  с точностью до замены знака и сдвига начала отсчёта совпадает с энтропией).

А. Таглиани (2003) показал, что ^[19]

, (11)

где  - мера изменения эмпирического и модельного распределений. Очевидно, что ^[20].

Для построения из эмпирических плотностей вероятностей двух независимых процессов эмпирического аналога величины из (8) используется 3D модель: по zоткладываются эмпирические плотности вероятности и , по вертикали - вариационный ряд , по горизонтали - вариационный ряд , в плоскости  образуется «логическая» сумма событий .

Возникает задача по перераспределению данных - «перекладыванию» данных из ящиков в , и наоборот. Математически: поиск такого значения аргументов, при котором по двум независимым векторам  с помощью величин интервалов вариации и максимизируется функционал вида [22]

, (12)

по которому, уже полагая, что , находятся значения и . Введение пустого ящика, показанное как  либо , в эмпирическое распределение (Приложение 1) обусловлено необходимостью трансформации матрицы взаимной информации  в определитель^[21].Такая трансформация в значительной степени унифицирует форму записи  и , делая их идеально алгоритмическими

 

(13)

здесь объём выборки; число ящиков.

Тогда выражение для взаимной информации из (7) выглядит как

(14)

Основным ограничением в (14) является сингулярность типа , или вопрос о существовании ящиков с нулевым заполнением. Если ввести их существование, это заметно ослабит ограничение о равномерном распределении для величины .

Нахождение  в (9) представляет собой решение первой вариационной задачи теории информации. Разложив выражение под логарифмом в (14), получим формулу для выражения информации по Шеннону^[22] как разность информационной меры Хартли и энтропии

(15)

Очевидно, что в (15) Шеннон использовал разность между мерой Хартли и энтропией (мера Хартли получила свою известность как энтропия алфавита с равномерным распределением вероятности  для букв - полностью аналогична в ИМК для равномерного распределения).

Поиск значения аргумента, при котором по двум независимым векторам  с помощью варьирования по ширине ящиков и минимизируется функционал вида

 , (16)

по которому (уже полагая, что ) находятся значения и   представляет собой вторую вариационную задачу теории информации. 

Характер поведения  как функции объёма выборки  позволяет найти точку, в которой скорость изменения информации по Шеннону как будет минимальна [24]^[23]. Порядок вычисления этой точки сводится к следующей процедуре: для определения кривизны в точке

,

где  объём выборки, находятся первая и вторая производные для :

Поиск значения объёма данных, при котором по двум независимым векторам  с помощью варьирования по ширине ящиков  и находится функционал вида

 , (17)

по которому (уже полагая, что ) находятся значения и , представляет собой третью вариационную задачу теории информации. 

Результаты построения эмпирических распределений

Ниже приведены некоторые результаты построения эмпирических распределений отраженных сигналов м-, дм- диапазонов [19]. На рис. 1, 2 представлены сигналы, принятые на бетонной плотине Бурейской ГЭС приёмными антеннами [20]. На рис. 3 представлена ЭПВ отраженного сигнала м- диапазона без ящиков с нулевым заполнением, на рис. 4 - с учётом ящиков с нулевым заполнением. ЭПВ на рис. 3,4 построены по критерию (9), в котором  определена с учётом «третьего игрока» выражениями (10ч12). На рис. 5, 6 представлены аналогичные ЭПВ сигнала дм- диапазона.

На рис. 7 приведён пример проявления сингулярности в ЭПВ сигнала дм - диапазона. Очевидно, что величина как оценка собственного числа степеней свободы входного процесса весьма различается для случаев учёта или не учёта сингулярности в ЭПВ.

 



 

Приведенная на рис. 8 (в плане - рис. 8а) 3D ЭПВ двух независимых процессов имеет явно выраженные особенности разложения по ящикам: максимум ЭПВ по  существует в пределах  ящиков, по - в пределахящиков.

 

 

Рис. 8 - Поведение ЭПВ отражённых ЭМИ СШП сигналов м-, дм- диапазонов, построенной по принципу «шахматной доски». Амплитуды сигналов X, Y (рис. 1,2) представлены номерами ящиков

 

 

 Очевидно, что при варьировании величинами ,  из (9) является сильным «игроком» рядом с «игроками»  и , участвующими в поиске max (12) между , и соответствующим ему значением , и  с . Ситуация с третьим «игроком» аналогична для второй и третьей вариационных задач. 

Величина  более известна как производная Радона - Никодима (рис. 8а). Поведение трёх составляющих энтропии двух процессов (9) как функций от объёма выборки  показано на рис. 9. Зависимость величины информации по Шеннону от объёма выборки  как разности информационной меры Хартли и энтропии двух процессов, или ИМК при равномерном , показана на рис. 10. Данный график соответствует отражённым ЭМИ СШП сигналам м-, дм- диапазонов длин волн, приведенным на рис. 1,2. На рис. 11 показано поведение кривизны информации по Шеннону для этих же сигналов. 



 Алгоритмы обработки данных ЭМИ СШП зондирования

Схема алгоритмов обработки данных ЭМИ СШП зондирования представлена на рис. 12. Общая идея алгоритма обработки состоит в предположении «эллиптичности» ^[24]уравнений связи оценок в модельном распределении (идея заимствована у Г. Крамера, который ввёл понятие «эллипс рассеяния» в 1946 г. («Математические методы статистики». - М.: Мир, 1975. - 648 с.). Если описывать эмпирическое распределение данных ЭМИ СШП зондирования семейством вероятностных плотностей Релея-Райса, то - оценка моды основной волны, - оценка её затухания, а их связь выглядит как , полуоси эллипса рассеяния.

Примеры исходных сигналов представлены на рис. 1, 2. Для входных сигналов, представленных на рис. 12 как  и , в каждый момент времени ( объем записанного сигнала) по критериям, в качестве которых выступают решения [19,22] трех вариационных задач, определяются три пары объемов выборки , ,. Следующий этап - определение текущих объёмов трёх объединенных выборок: ,,. Графики оценок объемов объединенных выборок ,,приведены на рис. 13-15. На каждом из рисунков приведены пары текущих (собственных) объёмов выборок, ,, характерные для первой, второй и третьей вариационных задач.

Для каждой из объёмов выборок ,, в каждой из трёх вариационных задач определяется число «ящиков» - количество интервалов группирования экспериментальных данных {, , } как для , так и для  - {, , }. В случае несовпадения числа ящиков для  с числом ящиков для  производится переукладка данных из меньшего числа ящиков в большее, например , если .

Для каждого из этих эмпирических распределений, например для , ; ;  из семейства вероятностных плотностей Релея - Райса

(18)

выбирается та, которая с помощью параметров  минимизирует информационную меру Кульбака (10)^[25].



Доказательство «эллиптичности» связи оценок  выглядит следующим образом. Вариация от :

,

.



 

Приведя последнее выражение к эллиптическому уравнению, получим

. (19)

Здесь слева - уравнение эллипса в частных производных, справа размеры полуосей эллипса рассеяния ( Г. Крамер, 1975)^[26]:

, (20)

 . (21)

 

Зависимости вида (20,21) определяют порядок последовательного приближения к оценкам первого и второго моментов распределения Релея - Райса. Решением первой вариационной задачи (блок ВЗ-1 на рис. 12) являются оценки первого и второго моментов  и их вес (достоверность), определяемый мерой Кульбака как {}; решением второй вариационной задачи (блок ВЗ-2 на рис. 12) являются оценки  и их вес - {}; решением третьей вариационной задачи (блок ВЗ-3 на рис. 12) являются оценки  и их вес - {}. Параметры  определяются как скользящие во времени взвешенные оценки трех вариационных задач (блок «Взвешивание оценок» на рис. 12)

, (22)

. (23)

Точность вычисления пары  определяется углом (рис. 16) между нормалью к плоскости, образованной тремя парами оценок с учётом их веса, и ортом ИМК:  При недостижении требований по точности цикл по вычислению повторяется, но с входными данными из (22) и (23).

Для проверки статистической устойчивости оценок, полученных по критерию ИМК для трёх вариационных задач, использован критерий Колмогорова - Смирнова. Сравнивались различные методы формирования оценок по ЭМИ СШП измерениям, а характеристикой сравнения выбрана вероятность

 ,

где ,  - эмпирическая функция распределения результатов ЭМИ СШП измерений; F(,?) - гипотетическая функция распределения Релея - Райса с оценкой , сформированной по имеющейся выборке объёмом N различными методами при трёх ? - загрязняющего распределения и без него; D_N - статистика Колмогорова-Смирнова.

При определении устойчивости данного алгоритма рассмотрены частные случаи ?-загрязняющих ЭПВ в соответствии с моделью Тьюки [25]. Положим, что величина  является мерой подобия гипотетического распределения  и апостериорного распределения, тогда вместо  можно использовать выражение

 , (24)

где  - величина ИМК, характеризующая выбранный метод статистического оценивания; загрязняющее распределение;  его параметры;  - переменная распределения . 

Результаты сравнения гипотез приведены в табл. 1.

 



 Таблица 1

Метод формирования оценки	Вероятность гипотезы по критерию Колмогорова-Смирнова
	Гипотеза Н0:  отсутствует	Гипотеза Н1:  -гауссовское	Гипотеза Н2:  - лапласовское	Гипотеза Н3: - релеевское
МНК	0.79348	0.48273	0.48334	0.20360
МНМ	0.79373	0.85074	0.88574	0.90723
Метод с min ИМК	0.79365	0.85448	0.88453	0.91106
Метод  правдоподобия	0.79371	0.85421	0.88591	0.90981

 

Здесь МНК - метод наименьших квадратов; МНМ - метод наименьших модулей.

Очевидно (табл. 1), что по критерию Колмогорова - Смирнова метод с min ИМК сопоставим с методом  правдоподобия, а в ряде случаев превосходит его. Следует обратить внимание на эффективность применения МНМ при лапласовском загрязняющем распределении. Это ещё раз подтверждает тот факт, что лапласовское распределение стоит особняком [18].

Применение корреляционо-дисперсионного анализа данных ЭМИ СШП зондирования для литологического разделения подстилающей среды

После получения взвешенных по (22, 23) оценок по формулам:

(25)

 

производится центрирование относительно и нормирование относительно  сигналов, или сдвиг - масштабное преобразование сигнала^[27].



 

Литологическое разделение подстилающей среды по данным ЭМИ СШП зондирования предполагает идентифицируемость^[28]. Г. Тейчер (Teicher H., 1961) получил следующие результаты: сдвиг - масштабные смеси функций распределений идентифицируемы, если

(i) для функции, обратной масштабу, существует Фурье преобразование, нигде не обращающееся в нуль;

(ii) характеристическая функция, соответствующая функции распределения сигнала, нигде не обращается в нуль.

На рис. 17 зелёным показан отражённый сигнал м - диапазона (рис. 1), центрированный по (22) относительно  и нормированный по (23) относительно , полученных по (19-20), для семейства вероятностных плотностей Релея-Райса; красным показан сигнал дм - диапазона (рис. 2), центрировано-нормированный относительно оценок, полученных по (19-20), того же семейства распределений.

Для (i) на рис. 18 зелёным показано Фурье преобразование () величины, обратной масштабу  для сигнала м - диапазона (рис. 1); красным - для сигнала дм - диапазона (рис. 2).



 

Для (ii) допуск на ящик с нулевым заполнением в ЭПВ, заданный «шахматной доской» как способом построения двумерной ЭПВ, означает, что двумерная ЭПВ является «нефункцией» (число ящиков ?3), что однозначно определяет существование преобразования Фурье от одномерных ЭПВ, а следовательно, существование ненулевых значений их характеристической функции [23]. Следует отметить, что теорема 4.3 (Королёв В. Ю., 2007) соответствует сдвигу в (25) относительно первого момента распределения Релея - Райса, которое может быть разложено на два распределения Лапласа, имеющие однозначные характеристические функции ^[29].

Исследование корреляционных зависимостей центрировано - нормированных сигналов вида

(26)

является одной из задач, тесно примыкающих к задачам оценивания корреляционных функций^[30], и называется задачей оценивания нормированной корреляционной функции^[31].

На рис. 19-20 представлен общий вид треугольных матриц  и  центрировано - нормированных сигналов (рис. 17), принятых на бетонной плотине Бурейской ГЭС.



 

На рис. 21 представлены первые строки треугольных матриц  и  ЭМИ СШП сигналов м-, дм- диапазонов. Для каждой строки из (26) строятся ЭПВ величин  и  (рис. 22, 23).

 

 

ЭПВ самих центрировано - нормированных величин, стоящих под знаком мат. ожидания в (26), имеют ярко выраженные особенности (рис. 21, 22), для строки взаимокорреляционной матрицы она более «размазана», чем для автокорреляционной. Попытка объяснить заострённость таких распределений была предпринята Б. Мандельбротом ^[32].



Порядок работы со значениями матриц и  следующий:  номер строки, задающей значения строк матриц (рис. 21); для каждой из строк строятся ЭПВ и по ним находится мат. ожидания (26) как значение для строки с номером ; последовательность этих значений образуют авто- и взаимокорреляционные функции функции от . Вид АКФ и ВКФ центрировано-нормированных ЭМИ СШП сигналов м-, дм- диапазонов показан на рис. 24, для сравнения на рис. 25 приведены АКФ и ВКФ центрированных ЭМИ СШП сигналов м-, дм- диапазонов.



При изучении тонкой стохастической структуры корреляционных матриц наибольший интерес представляет скорость изменения процесса (его волатильность) ^[33]. Дисперсия случайной величины  может быть представлена в виде суммы двух слагаемых

 где  (27)

На рис. 26 зелёным показана волатильность - та часть дисперсии, которая обусловлена наличием ненулевых сдвигов, или динамическая составляющая дисперсии (27) для ВКФ сигналов м-, дм - диапазонов (рис. 1,2), центрировано-нормированных по (22, 23) относительно оценок первого и второго моментов, полученных по (19-20), для семейства вероятностных плотностей Релея-Райса; красным показана волатильность для АКФ сигнала дм - диапазона.

Первое выражение в (27) характеризует ту часть дисперсии которая обусловлена наличием ненулевых сдвигов, то есть динамическую составляющую дисперсии (волатильность), тогда как второе выражение характеризует чисто диффузионную составляющую дисперсии^[34]. Их свойства анализируются с помощью критерия отношения правдоподобия (Королёв В. Ю., 2011).



 

На рис. 27 показана диффузионная составляющая дисперсии.

Особый интерес вызывает логарифм от отношения спектральных составляющих^[35]. Поскольку центрировано-нормированное (сдвиг - масштабное) преобразование сигналов (25) осуществляется относительно объёмов объединённых выборок , , , очевидно, что Фурье преобразования, например, для ВКФ, её волатильности и диффузионной составляющей дисперсии ВКФ будут выглядеть как

,

 , (27)

 

Поскольку формула Йовица - Джексона не требует существования обратного преобразования Фурье, возможно создание (путём комбинирования) до 30 минимаксных критериев:

- дифференциального (различающего волатильности ВКФ и АКФ разных вариационных задач). Например, на рис. 28 представлены отношения правдоподобия спектров волатильностей для и для трёх вариационных задач. Уровень подобия между спектрами волатильностей для и  для второй (красная, рис. 28) и третьей (зелёная, рис. 28) вариационных задач очевиден;

- интегрального (объединяющего МСКО ВКФ и АКФ с МСКО их волатильностей и МСКО диффузионной составляющей дисперсии корреляционных функций) для ТРЁХ вариационных задач - межантенный фактор (рис. 29).

 



 

 

Ниже приведены результаты приведенной выше обработки для данных, полученных методом ЭМИ СШП зондирования.

 Примеры практического применения энтропийно - комбинаторных критериев. Результаты обработки данных ЭМИ СШП зондирования секции 17-I-2 плотины Бурейской ГЭС

Целью данных работ являлось обследование качества бетонной кладки плотины и выявление в ней трещин, пустот и неоднородностей^[36].

В результате геофизического обследования и последующей интерпретации данных ЭМИ СШП зондирования были выделены, в первую очередь, границы между бетоном тела плотины и ниже залегающими горными породами. После математической обработки измеренных СШП сигналов были получены АКФ и ВКФ отраженных центрировано-нормированных сигналов в точках зондирования. На основании вида правдоподобия волатильности АКФ и ВКФ (рис. 28) тело плотины в точках измерений было дифференцировано на определенные интервалы, в которых бетон обладает различными физико-механическими свойствами. Основными геофизическими критериями для характеристики изучаемой среды (бетона плотины) являются рассчитанные значения относительной диэлектрической проницаемости, периода колебаний электромагнитного сигнала и амплитуды АКФ и ВКФ отраженных центрировано-нормированных сигналов.

Рассчитанные значения относительной диэлектрической проницаемости бетона колеблются от 4.8 до 8.8.

По периоду колебаний электромагнитного сигнала выделяются интервалы с малым (абсолютные значения до 25 наносекунд), средним (абсолютные значения 25 - 40 наносекунд) и большим (абсолютные значения > 40 наносекунд) периодом.

Амплитуды АКФ и ВКФ центрировано-нормированных ЭМИ СШП сигналов подразделяются на три относительные категории: низкую, среднюю и высокую. Кроме этого, в отдельных интервалах графиков АКФ и ВКФ наблюдается неустойчивое поведение амплитуды, выражающееся в частой смене фаз. Такое поведение амплитуды условно названо «высокой изломанностью» сигнала.

Из литературных данных известно, что рост значений относительной диэлектрической проницаемости связан с увеличением влажности в породах. Из опыта исследований геологических объектов методом ЭМИ СШП зондирования установлено, что малый период колебаний электромагнитной волны характерен для песчанистых (рыхлых) литологических разностей, а большой период колебаний присущ плотным разностям. Тот же самый признак использовался и при обследовании ряда более мелких бетонных сооружений - опоры мостов, фундаменты зданий, сваи-оболочки и буронабивные сваи, когда внутри плотного бетона выделялись пористые его разности или включения грунта. 

Высокие значения амплитуды СШП сигнала связаны с повышением электропроводных свойств среды, что в свою очередь может свидетельствовать о наличии влаги в порах породы. «Высокая изломанность» АКФ и ВКФ указывает, как правило, на локальное нахождение (локализацию) в грунтах большого количества гравийно-галечникового материала.

На рис. 29 в качестве примера приводится результат геофизического обследования секции 17-I-2, которое осуществлялось посредством вертикального зондирования в точке измерения №3.

В соответствии с рабочей документацией в точке измерения №3 поверхность плотины имеет абсолютную отметку +199.0 м, подошва тела плотины в этой секции, находится на абсолютной отметке +130.0 м. Мощность бетона плотины в точке зондирования на момент измерения составляла 69.0 м. Бетон вибрированный (метод укладки).

В результате геофизического обследования секции 17-I-2 установлено положение подошвы плотины на отметке +130.0 м. Бетон плотины был разбит на отдельные интервалы, в пределах которых рассчитывались значения относительной диэлектрической проницаемости, величина периода колебаний электромагнитной волны и даны особенности амплитудных характеристик ЭМИ СШП сигнала.

Анализ геофизических данных в разрезе точки зондирования №3 выявил следующие особенности бетона секции:

- в интервалах 195.8 - 192.2 м, 136.5 - 130.0 бетон плотный с малым содержанием поровой влаги;

- в интервалах 192.2 - 186.5 м, 180.0 - 167.2 м, 148.5 - 140.0 м преобладает песчанистая составляющая бетонной смеси;

- в интервалах 186.5 - 180.0 м, 167.2 - 148.5м и 140.0 - 136.5м преобладает гравийно-галечниковый заполнитель бетона.

На графиках АКФ и ВКФ центрировано-нормированных сигналов видно, что период и амплитуда изменяются в зависимости от типа бетона, различающегося временем укладки и поставщиком. График межантенного фактора (сумма: МСКО ВКФ и АКФ, МСКО их волатильностей, МСКО диффузионной составляющей дисперсии ВКФ и АКФ для ТРЁХ вариационных задач) указывает точное положение границ интервалов с однородными свойствами в среде, что подтверждается различными значениями прочности по данным испытаний кернов ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева и внутри одного типа бетона, и между его разными типами^[37].

По результатам обработки (алгоритмы представлены на рис. 12) данных ЭМИ СШП зондирования, проведенных на плотине Бурейской ГЭС, можно говорить о том, что бетонная кладка плотины по своим электрофизическим свойствам существенно неоднородна. Обследование методом ЭМИ СШП зондирования позволило установить следующее:

- в точках зондирования определены границы между бетоном тела плотины и ниже залегающими породами горного массива, а также между бетоном и воздушной средой - при горизонтальных измерениях в сторону верхнего и нижнего бьефов плотины;

- в точках измерений определено местоположение инженерных внутриплотинных коммуникаций: галерей, водопропускной трубы и насосных станций;

- выделены три основные группы геоэлектрических характеристик электромагнитного сигнала, отраженного от слагающих плотину бетонных элементов. Первая группа представлена разновеликими значениями относительной диэлектрической проницаемости, вторая группа - различными величинами периода электромагнитной волны, в третьей группе отмечены амплитудные особенности ЭМИ СШП сигнала.

На основе различных геоэлектрических характеристик выделены группы неоднородностей в бетоне: I - по значениям относительной диэлектрической проницаемости, изменяющейся как в зависимости от плотности, так и от влажности инженерно-геологического материала; II - песчанистые (рыхлые) и плотные разности; III - участки с повышенной поровой влажностью, участки высокопрочного бетона и интервалы высокопористого материала.

На примере плотины Бурейской ГЭС (рис. 29) показана эффективность обработки данных ЭМИ СШП зондирования при построении разреза на глубину до 69.0 м даже в пределах одной инженерной разности - бетона, отличающегося временем укладки и изготовителем. Следует отметить границу на отметке +167 м, она соответствует границе  на рис.28, и границу на отметке + 155 м она соответствует границе  (разница в сроках укладки бетона 5 лет). Еще контрастнее на графиках отражаются границы между инженерно-геологическими разностями - граница «бетон - горный массив». Результаты обработки данных ЭМИ СШП зондирования при геотехническом мониторинге зоны «Размыва» Из-за неустойчивого состояния грунтов в районе площади Мужества между станциями метро “Лесная” - ”Площадь Мужества” в г. Санкт-Петербурге 8 апреля 1974 г. и 15 марта 1995 г. произошли аварии в тоннелях, вызвавшие проседания дневной поверхности и серьёзные повреждения зданий: в первом случае - на Политехнической улице и на территории НПО «Аврора», во втором - на территории ОАО «Красный Октябрь».

 

Рис. 30 - Территория между станциями метро “Лесная” - ”Площадь Мужества”, на которой проводились исследования методом ЭМИ СШП зондирования в период с 2005 по 2011 гг.

 

Основной общепринятой версией причины аварий до сих пор является наличие плывунов в том месте, где тоннели метрополитена пересекают русло палеореки (зона “Размыва”).Чтобы упредить тяжелейшие последствия, связанные с провалами грунта на дневной поверхности, где находятся жилые дома и здания предприятия оборонного комплекса, в аварийные тоннели под давлением закачали воду, одновременно закупорив затопленные участки бетонными пробками. В настоящее время затопленные тоннели находятся под наблюдением специалистов. ЗАО НПФ “Геодизонд”, участвовавшее в геотехническом мониторинге за состоянием грунтов около тоннелей по трассе Кировско-Выборгской линии Петербургского метрополитена в период с лета 2005г. по осень 2011 г., провело 14 этапов геофизических исследований методом ЭМИ СШП зондирования на территории ОАО «Красный Октябрь» и ул. Политехнической (рис. 30).  Задачами геофизических исследований являлись: выявление в разрезах по линиям профилей, составленным на основе пунктов геофизического зондирования, участков разуплотненных грунтов различной степени интенсивности; определение масштабов их развития и количественные изменения за период проведения наблюдений (рис. 31) ^[38]. В ходе наблюдений околотоннельного пространства по результатам ЭМИ СШП исследований в разрезах участка были выявлены и оконтурены зоны разуплотненных грунтов и зоны суффозии^[39].

 

 

Для прослеживания динамики и характера развития физико-механических нарушений в горном массиве на инженерно-геологические разрезы, составленные по многолетним данным ЭМИ СШП исследований, были вынесены все зоны разуплотнения грунтов и зоны суффозий, наблюдавшиеся в период с 2005 по 2011 гг. На рис. 32 приведено обобщение результатов наблюдений на разрезе по линии П-6 (пересечение заводской территории и ул. Политехническая, рис. 31).

Далее для общей оценки состояния грунтового массива были оконтурены области наибольшего скопления фрагментов физико-механической нарушенности геологических разностей. По количеству выявленных за весь период мониторинга зон разуплотнения и суффозии внутри оконтуренных областей были выделены участки различной степени возможного влияния на образование просадок дневной поверхности.

 

 

Рис. 32 - Оценка состояния грунтов около тоннелей по трассе Кировско-Выборгской линии Петербургского метрополитена. Разрез по линии П-6

 

Участки I степени влияния характеризуются наличием суффозионных зон и разуплотненных грунтов различной степени интенсивности. Нарушения в сплошности грунтов в пределах участка наблюдались на протяжении всего периода наблюдений.

Участки II степени влияния характеризуются единичными проявлениями суффозионных зон на фоне разуплотнений в грунтах, при этом зоны слабо разуплотненных разностей преобладают над зонами интенсивного разуплотнения. Изредка отмечается отсутствие нарушений в сплошности грунтов.

Участки III степени влияния характеризуются отсутствием суффозионных зон и наличием единичных проявлений зон интенсивного разуплотнения на преобладающем фоне слабо разуплотненных грунтов. Нарушения в сплошности грунтов проявляются периодически на отдельных этапах мониторинга.

 На рис. 33 приведен разрез по линии П-2 с участками I, II и III степеней влияния.

Анализ результатов геофизических исследований, периодически проводимых в период с июня 2005 г. по октябрь 2011 г., позволяет выделить следующие аспекты в динамике развития осложняющих процессов, происходящих в грунтовой толще объекта:

- в горном массиве до глубины 100 м от уровня дневной поверхности были выявлены многочисленные фрагменты грунтовой толщи, характеризующиеся деструктивными нарушениями - разуплотнениями геологических разностей и суффозионными процессами, которые преимущественно наблюдаются либо в непосредственной близости с тоннелями метрополитена, либо на удалении до 30 м от них. Большая часть указанных зон разуплотненного грунта в разрезах объекта выражена локально, некоторые из них формируют протяженные структуры;

- установлено, что в околотоннельном пространстве сосредоточены преимущественно участки I степени влияния на образование просадок дневной поверхности (рис. 34).

 

 

На рис. 34 видно, что участки I степени влияния, характеризующиеся наличием зон суффозии и разуплотненных грунтов различной степени интенсивности, наблюдаются: над сводом верхнего тоннеля в интервалах между ПК^[40] 182+75 - ПК 183+12 и ПК 183+32 - ПК 183+84; в целике между тоннелями в интервале между ПК 182+56 - ПК 183+88.5, за исключением района ПК 182+98 и ПК 183+20; в подошве нижнего тоннеля в интервалах между ПК 182+46 - ПК 182+92 и ПК 183+02 - ПК 183+54. Верхняя граница залегания участков I степени влияния над сводом верхнего тоннеля отмечается в районе ПК 182+98 на глубине 43.8 м, а нижняя граница опускается ниже глубины измерений (90.0 м).

Оценка динамики процессов, происходящих в системе «затопленные тоннели - массив», проведена по характеру проявления нарушений грунтов за период мониторинга в общем контуре участков I степени. Для этого было подсчитано суммарное количество нарушений сплошности грунтов на разрезах на каждом этапе наблюдений.

 

 

 

На рис. 35 приведены графики суммарного количества выявленных зон с нарушениями сплошности в грунтах в объединенном контуре участков I степени влияния в околотоннельном пространстве. Анализ графиков свидетельствует о “волнообразном” процессе происходящих изменений в строении грунтов в околотоннельном пространстве в период с 2005 по 2011 гг.: во время осеннего этапа измерений 2006 г. и весенних 2009 и 2011гг. количество наблюдаемых нарушений в грунтах было минимальным, а осенью 2007 г. - максимальным за весь период мониторинга. В период с весны 2007 г. по весну 2008 г. отмечалась активизация суффозионных процессов. 

 

 

Для стабилизации горного массива в так называемой зоне «Размыва» рекомендовано, в первую очередь, закреплять грунты на участках в зависимости от степени их влияния на образование просадок дневной поверхности, а также решить вопрос о замещении водного заполнения затопленных тоннелей метрополитена твердеющими растворами или реагентами.

Результаты обработки данных ЭМИ СШП зондирования, полученных на стадии разведки месторождения горючих сланцев в Мьянме

ЗАО НПФ «Геодизонд» (г. Санкт-Петербург) в период с ноября 2011 г. по май 2012 г. выполнило обследование методом ЭМИ СШП зондирования месторождения горючих сланцев^[41] в юго-восточной части Союза Мьянмы.

Основными задачами являлось определение перспективных участков в пределах трёх предполагаемых бассейнов горючих сланцев (Mepale, Melamat and Phalu basins) ^[42], с целью дальнейших разведочных работ, а также дифференциация толщи горючих сланцев на богатые и бедные разности по содержанию в них сланцевого масла.

Участок, условно названный блок R (рис. 36 а, 36 б), площадью около 10 кв. км, представляет собой древнюю долину реки (озера), сложенную осадочными породами, сформированными в третичном периоде около 50-52 млн. лет назад. Обследуемая территория окружена горными поднятиями триасового периода (?250 млн. лет назад), которые на протяжении многих миллионов лет изолировали среду от внешнего воздействия и сохраняли оседавший на дне озера биоматериал, послуживший генезису горючих сланцев^[43]. В настоящее время породы прикрыты чехлом четвертичных отложений.

Исходя из материалов 24, пробуренных на участке разведочных скважин (рис. 33 в), ниже четвертичных отложений геологический разрез слагает толща горючих сланцев с прослоями «пустых» пород (песчаников, аргиллитов, глинистых сланцев и мергелей). Для калибровки электромагнитного сигнала по данным скважин часть пунктов зондирования находилась в непосредственной близости от них (рис. 36 г).

...