О вихревом течении сыпучей среды в ограниченной области

Размещено на http://www.allbest.ru/

О вихревом течении сыпучей среды в ограниченной области

С.В. Клишин

Аннотация

Методом дискретных элементов численно исследована задача о формировании вихревого движения в сыпучей среде. Материал представлен набором сферических частиц с заданным распределением радиусов. На контактах между частицами учитывается сухое трение и сопротивление качению. Приведены кинематические картины деформирования материала. Исследованы траектории движения отдельных элементов в процессе численного эксперимента, продемонстрировано образование устойчивого ядра течения, внутри которого деформации материала малы. Даны значения нормальных и касательных напряжений, действующих на границах области со стороны материала. Показано, что касательные напряжения на стенках контейнера порождают опрокидывающий момент, а также их интенсивный износ.

Ключевые слова - сыпучий материал, деформации, вихревое движение, численный анализ, метод дискретных элементов.

Введение

Сыпучие среды обладают одним замечательным свойством. При соответствующих условиях они могут вести себя и как твердое тело, и как жидкость (или газ). Каждое из этих состояний обладает своими особенностями. Например, в стесненных условиях деформирования поведение сыпучих сред близко к поведению твердых пластических тел, но будучи помещены в емкость, они принимают форму емкости и способны к истечению из нее. Также можно выделить такие способы нагружения, при которых движение сыпучего материала принимает вид, присущий газам [1].

Если же говорить о теоретических моделях, то сыпучие среды, безусловно, ближе к твердым телам и горным породам, чем к жидкостям или газам. Типичной ситуацией при деформировании твердых тел является локализация сдвигов и реализация ограниченных во времени деформаций [2], в то время как при течении жидкостей характерным является образование вихрей и неограниченное развитие деформаций [3]. Можно, однако, указать один класс специальных нагружений сыпучей среды, которые будут приводить к неограниченным деформациям и формированию в материале вихревых движений [4].

Рассмотрим одну конкретную ситуацию, экспериментально исследованную в [5]. На рис. 1а, взятым из [5], показана емкость без дна, заполненная сыпучим материалом. Передняя и задняя стенки емкости изготовлены из стекла, так что выполняются условия плоской деформации. Деформирование осуществляется путем скольжения емкости по жесткому шероховатому профилю. Материал увлекается в движение так, что в нем формируется наклонная свободная поверхность и соответствующее вихревое течение. Подобные процессы реализуются при транспортировании сыпучих материалов скребковыми конвейерами, а также при перемещении грунтов и дорожно-строительных материалов отвалами (щитами), расположенными на бульдозерах.

Проведем численный анализ данной задачи методом дискретных элементов (МДЭ). В соответствии с МДЭ сыпучий материал представляется в виде совокупности из N сферических частиц (дискретных элементов). Каждый элемент характеризуется своим радиусом ri (i = 1, ..., N) и наборами физических и контактных свойств: плотностью, упругими и вязкими модулями, трением, сцеплением и т.д. Движение отдельного дискретного элемента состоит из поступательного и вращательного и описывается следующими уравнениями:

, (1)

. (2)

Здесь точки означают дифференцирование по времени t; xi - радиус-вектор центра тяжести i-й частицы, иi - ее поворот относительно координатных осей; mi - масса, Ii - момент инерции; g - ускорение свободного падения; ric - вектор, соединяющий центр i-й частицы и точку контакта. Контактная сила fij действует на частицу с номером i со стороны частицы (или границы) с номером j, зависит от величины их перекрытия, а также от упругих и вязких модулей, ее нормальная составляющая вычисляется по закону Герца [6]; Mr,ij - момент сопротивления качению частиц друг по другу или по границе:

, (3)

где щi и щj - угловые скорости контактирующих частиц; nij - единичный вектор, лежащий на прямой, соединяющей их центры; rij - приведенный радиус: 1/rij = 1/ri + 1/rj. Безразмерный параметр мij - коэффициент сопротивления качению. По аналогии с углом сухого трения между двумя контактирующими твердыми телами данный коэффициент может быть представлен в виде мij = tgшij, причем шij - максимальный угол наклона плоскости, при котором сферическая частица будет находиться на ней в состоянии равновесия (при отсутствии скольжения). Детальное исследование данного параметра проведено в [7].

Численный эксперимент. Рассмотрим задачу в следующей двумерной постановке (рис. 1б). Пусть на плоскости Oxz задана область, ограниченная слева и справа прямыми x = ± l/2, а снизу - прямой z = 0; верхняя граница от напряжений свободна. В данном исследовании ширина емкости l = 1.0 м, а высота засыпки h = 0.5 м. Гранулированный материал представлен совокупностью дискретных элементов, радиусы которых выбраны из равномерного распределения на отрезке от 0.002 до 0.003 м. Вектор силы тяжести g направлен вдоль оси Oz вертикально вниз, его абсолютное значение равно 9.81 м/с 2. Плотность частиц сi = 2 500 кг/м 3; модуль упругости Ei = 10 МПа, коэффициент Пуассона нi = 0.3 как для частиц, так и границ. Свойства на контактах между частицами, а также частицами и границей: угол сухого трения цij = 30°; угол сопротивления качению шij = 20°.

Заполнение емкости осуществлялось путем создания начального набора из не контактирующих между собой элементов и дальнейшей их усадке под действием силы тяжести с учетом контактного взаимодействия.

Сформулируем граничные условия. Пусть в каждой граничной точке задан вектор скорости следующим образом:

на отрезке AB: vAB = (0, 0, -v);

на BC: vBC = (v, 0, 0); на CD: vCD = (0, 0, v), (4)

где v - заданная постоянная или зависящая от времени величина. Такая постановка численной задачи равносильна натурному эксперименту, когда вдоль заданных границ с некоторой скоростью протягивается шероховатая лента. В данном численном эксперименте скорость точек границ постоянна: на протяжении всего численного счета v = const = 0.05 м/с. Такая постановка позволяет, в отличие от лабораторных опытов, избежать заклинивания частиц материала в угловой точке C. За счет трения на контактах между частицами и граничными точками материал вовлекается в движение. Через некоторое время процесс деформирования приобретает установившийся характер. Кинематические картины движения исследуемого образца через равные промежутки времени приведены на рис. 2.

Анализ кинематических картин движения дискретных элементов позволяет сделать вывод, что при движении материала с заданными краевыми условиями (4) частицы движутся по стационарным траекториям, причем в среде образуется область, внутри которой деформации сравнительно малы. Другими словами, в образце формируется ядро течения. Это подтверждается анализом траекторий отдельных частиц, представленных на рис. 3. Здесь точками показаны начало траекторий, стрелками - их окончание.

Рис. 3. Траектории движения отдельных частиц в процессе нагружения: точкой показано начало траектории, стрелкой - конечное положение частицы.

На рис. 4 представлены значения нормальных и касательных напряжений, действующих со стороны материала на стенки емкости. Здесь напряжения определяются как суммарные проекции векторов контактных сил, действующих со стороны частиц на соответствующие границы. Графику с номером 1 соответствуют напряжения на дне емкости (на отрезке BC), а графикам с номерами 2 и 3 - на отрезках AB и CD соответственно. Для сравнения штриховой линией на рис. 4а показано значение веса материала. Из рисунков видно, что напряжения стабилизируются уже на начальном этапе нагружения, что указывает на стационарное движение среды.

а б

Рис. 4. Нормальные (а) и касательные (б) напряжения, действующие со стороны сыпучего материала на дно BC (график с номером 1) и стенки AB и CD емкости (графики с номерами 2 и 3) в процессе нагружения. Штриховая линия - вес материала (а).

Выводы

Задание касательных скоростей и условий развитого трения на границах емкости, содержащей сыпучий материал, приводит к установившемуся вихревому течению среды. Вихрь содержит ядро течения, внутри которого деформации материала малы. Нормальное давление со стороны сыпучего материала на стенку, которая смещается в сторону материала, в 1.5…2.0 раза выше, чем нормальное давление на стенку, которая смещается от материала. Касательные напряжения на стенках контейнера порождают опрокидывающий момент, а также интенсивный износ, что подтверждается натурными измерениями при транспортировании горных пород скребковыми конвейерами. вихревой сыпучий ядро

Библиографический список

1. Peter Eshuis, Ko van der Weele, Devaraj van der Meer, Detlef Lohse. Granular Leidenfrost Effect: Experiment and Theory of Floating Particle Clusters // Physical Review Letters. - 2005. - Vol. 95. - № 25. - P. 258001.

2. Соколовский В.В. Статика сыпучей среды: 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1960. - 241 с.

3. Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. М.: Мир, 1986. - 184 с.

4. Ревуженко А.Ф. Приливные волны и направленный перенос масс Земли. - Новосибирск: Наука, 2013. - 204 с.

5. Стажевский С.Б., Ревуженко А.Ф. О кинематике движения сыпучих материалов относительно жестких поверхностей // ФТПРПИ. - 1975. - № 1. - С. 86-88.

6. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия: Пер. с англ. - М.: Мир, 1989. - 510 с.

7. Jun Ai, Jian-Fei Chen, J. Michael Rotter, Jin Y. Ooi Assessment of rolling resistance models in discrete element simulations // Powder Technology. - 2011. - Vol. 206. - № 3. - PP. 269-282.

Размещено на Allbest.ru