Алгоритм расчета напряжений в упругой среде с внутренними кинематическими связями

Размещено на http://www.allbest.ru/

Алгоритм расчета напряжений в упругой среде с внутренними кинематическими связями

В.О. Каледин,

Е.В. Решетникова,

Е.В. Равковская

Рассматривается задача о статическом деформировании линейно упругой среды с внутренними кинематическими связями. Предлагается алгоритм решения, основанный на регуляризации задачи по А.Н. Тихонову и отыскании предела численного решения регуляризованной задачи.

При упругом деформировании сплошной среды, содержащей внутренние кинематические связи, отдельные компоненты деформаций остаются нулевыми. Примерами таких сред являются объемно несжимаемая среда и среда, армированная нерастяжимыми волокнами. Краевая задача теории упругости для подобных сред некорректна, поскольку определяющие уравнения не обратимы, а работа напряжений на запрещенных деформациях равна нулю. Это создает трудно преодолимые вычислительные сложности при её решении. Так, в случае объемно несжимаемой среды равна нулю работа шаровой составляющей тензора напряжений на деформации изменения объема. Это равносильно бесконечно большому модулю объемной деформациии. Аналогично, при армировании нерастяжимыми волокнами модуль упругости в направлении армирования бесконечно большой, а работа напряжений на линейной деформации вдоль волокна равна нулю.

Один из возможных подходов к решению такой задачи состоит в использовании регуляризации по Тихонову, в которой жесткие кинематические связи снимаются, а определяющие уравнения среды записываются так, чтобы малые деформации, несовместимые со связями, вызывали большие (но конечные) напряжения. Предельный переход обеспечивает получение решения исходной задачи. Например, для объемно несжимаемой среды в качестве параметра регуляризации может быть выбрана величина, обратная к модулю объемного сжатия; при устремлении к нулю этого параметра получаем среду с бесконечным объемным модулем упругости, т.е. объемно несжимаемую.

Однако такой предельный переход может оказаться неосуществимым при использовании численного метода решения. Уменьшение значения параметра регуляризации приводит к потере обусловленности решаемой системы уравнений, а численное решение, полученное при конечных значениях параметра, отличается от решения исходной задачи (объемные деформации оказываются хотя и малыми, но конечными).

Рассмотрим дискретную постановку задачи об упругом деформировании слоистой среды, содержащей два вида чередующихся слоёв: слои с конечной жесткостью и объемно несжимаемые слои. Применив регуляризацию, заменим объемно несжимаемые слои слоями из материала с объемным модулем упругости , где - малый параметр регуляризации. Примем, что в результате конечно-элементной дискретизации построено некоторое множество свободных узловых неизвестных (перемещений узлов), для определения которых необходимо решить систему уравнений:

, (1)

где A - составляющая матрицы жесткости, не зависящая от объемного модуля K, статический деформирование кинематический

B - матрица коэффициентов при объемном модуле K.

Матрица A может быть вычислена, если в определяющем уравнении материала несжимаемых слоев положить K=0, оставив неизменными остальные константы закона упругости. Для вычисления матрицы B следует положить K=1, приняв равными нулю остальные константы, в том числе - все модули упругости материалов с конечной жесткостью.

Матрицы A и B симметричны и полуположительно определены. Их линейная комбинация симметрична и положительно определена при любом положительном . Поэтому решение системы (1) существует и единственно при любом положительном . Требуется найти предел, к которому стремится это решение при стремлении к нулю:

. (2)

В последнем равенстве вместо введен бесконечно большой параметр , что не меняет существа задачи.

Для выяснения существования предела (2) приведем обе матрицы A и B к диагональному виду с помощью перехода к базису из собственных векторов пучка (A, B):

, (3)

где - i-е собственное число пары,

- соответствующий собственный вектор.

Заметим, что среди собственных чисел имеются как нулевые, так и бесконечные. Удобнее вместо (3) рассмотреть задачу для пары матриц и B, из которых первая положительно определена. Собственные числа этой пары действительны и не равны нулю, а собственные векторы совпадают с собственными векторами исходной пары матриц и обладают свойствами A-, B- и С-ортогональности [3]:

, , , (4)

где скобками обозначено скалярное произведение,

- симметричный символ Кронекера,

, - неотрицательные элементы диагональных матриц.

Уравнение (1) после перехода к собственному базису принимает вид:

, (5)

где ,

- коэффициент в разложении вектора x по собственному базису.

Из уравнений (5) легко выразить все коэффициенты :

. (6)

Тогда предельный переход (2) даёт следующие значения для коэффициентов разложения по собственному базису вектора x*:

. (7)

В силу положительной определенности матрицы C величина положительна при . Поэтому все конечны. Вектор x* оказывается ортогональным к любому собственному вектору, для которого , т.е. целиком лежит в ядре линейного преобразования, определяемого матрицей B. Коэффициенты разложения (5) и (6) при оказываются одинаковыми. Следовательно, вектор x* может быть получен из вектора x, вычисленного при конечном объемном модуле, как B-проекция этого вектора на ядро преобразования.

Практические вычисления связаны с матрицами высокого порядка, что делает невозможным вычисление базиса из собственных векторов. Поэтому алгоритм вычисления вектора x* следует строить, исходя из приближенных методов решения алгебраических задач.

Выделим в базисе векторы, лежащие в ядре (соответствующие условию ). Обозначим эти векторы как . Остальные собственные векторы, для которых , будем обозначать . Коэффициенты при векторах будем обозначать , а при - как . Тогда вектор можно представить в виде следующей линейной комбинации базисных векторов:

. (8)

Как следует из (6), коэффициенты в действительности не зависят от параметра регуляризации , а из (7) видно, что предельные значения коэффициентов равны нулю. Следовательно, вектор x* равен первому слагаемому правой части (7), а вектор x при произвольном связан с x* следующим равенством:

, (9)

при этом x* B-ортогонален к каждому из векторов . Таким образом, для вычисления x* нет необходимости строить полный базис пространства, а достаточно построить базис и ортогонализовать к нему вектор x, вычисленный при произвольном .

Размерность линейной оболочки может быть также неприемлемо велика для построения базиса. Однако ортогонализация исходного вектора x может выполняться не ко всему подпространству, а так, чтобы обеспечить малость проекции x*. В качестве такого подпространства можно выбрать подходящее подпространство Крылова.

Вычисление перемещений узлов не исчерпывает поставленной задачи. Требуется также определить напряжения. Сложность возникает при определения шаровой компоненты напряжений в объемно несжимаемых слоях, поскольку в результате предельного перехода будет получена нулевая объемная деформация. Объемный модуль упругости при этом бесконечный. Таким образом, гидростатическое давление не совершает работы на деформациях, а вследствие этого его величина оказывается неопределенной (произведение нуля на бесконечность).

Для разрешения неопределенности проведем анализ предельного перехода. Пусть объемная деформация в некоторой точке выражается через узловые перемещения известным соотношением:

, (10)

где G - матрица-строка.

В пределе . Шаровая компонента напряжений (величина, противоположная по знаку гидростатическому давлению) пропорциональна объемной деформации:

. (11)

Применяя к (11) правило Лопиталя, получим:

. (12)

Таким образом, задача сводится к вычислению производной вектора узловых перемещений по параметру в окрестности точки x*.

Предложенный алгоритм решения позволяет вычислять перемещения и напряжения в линейно деформируемых средах с кинематическими связями, в том числе в слоистых структурах, содержащих объемно несжимаемые слои.

Размещено на Allbest.ru