Размещено на http://allbest.ru

Конструкторско-технологический институт вычислительной техники

Институт вычислительных технологий

СО РАН

УДК 539.3

Моделирование, расчет и оптимизация композитных конструкций

С.К. Голушко

Первая часть доклада посвящена вопросам моделирования свойств композитов. Обсуждаются два основных подхода определения физико-механических свойств композиционных материалов (КМ): феноменологический и структурный [1].

В рамках первого подхода армированные материалы моделируются однородной анизотропной средой с эффективными физико-механическими свойствами. Механические параметры материала определяются, при этом, из экспериментов. Поскольку КМ создается, как правило, одновременно с изготовлением конструкции, то его характеристики будут в общем случае функциями координат, что потребует проведения серий экспериментов для каждой точки конструкции, что практически невозможно реализовать.

В рамках феноменологического подхода остается неизвестной связь между средними напряжениями и деформациями КМ и напряжениями и деформациями составляющих его компонентов. Такой подход не дает возможности оценить эффективность работы каждого элемента КМ, а следовательно, не позволяет ставить и решать задачи рационального проектирования композитных пластин и оболочек.

От этих недостатков свободен структурный подход. Физико-механические характеристики композита в этом случае удается выразить через характеристики его компонентов и структурные параметры армирования.

В результате, по известным средним напряжениям и деформациям КМ, удается восстановить напряжения и деформации в связующем и армирующих элементах, что открывает широкие перспективы и возможности для улучшения свойств композитных конструкций.

К настоящему времени разработано большое число структурных моделей композитов. Приведены определяющие соотношения ряда структурных моделей КМ, которые используются в работе: нитяной модели, двух моделей Ю.В. Немировского: модели с одномерными волокнами (МОВ) и модели с двумерными волокнами (МДВ), а также модели В.В. Болотина (МБ).

В общем виде соотношения между осредненными напряжениями и деформациями в -м армированном слое имеют вид [1]:

где коэффициенты матрицы жесткости зависят от структурных и механических параметров композиционного материала:

В этих выражениях , , , , , обозначают компоненты тензоров напряжений и деформаций -го слоя; , , , - модули Юнга и коэффициенты Пуассона материалов связующего и -го семейства арматуры в -м слое; , , - интенсивности армирования в поверхности и в направлении толщины оболочки для -го семейства арматуры и связующего в армирующем слое; - угол армирования -го семейства арматуры в -м слое; - приращение температуры.

Сравнительный анализ расчетных характеристик однонаправленно и перекрестно армированных КМ с известными экспериментальными данными показал, что результаты, получаемые по МДВ и МБ, хорошо соотносятся с экспериментальными данными, что позволяет эффективно использовать эти модели при исследовании НДС армированных конструкций. Модели с одномерными волокнами дают заниженные значения для эффективных жесткостей армированных материалов, что позволяет использовать их для оценки прочности конструкционных элементов «сверху», с «запасом».

Вторая часть доклада посвящена методам решения краевых задач механики упругих композитных пластин и оболочек [2-5]. Рассматриваемые системы дифференциальных уравнений имеют высокий порядок, переменные коэффициенты, малые параметры, приводящие к появлению краевых эффектов. тензор оболочка деформация упругий композитный

Математически это проявляется в наличии в фундаментальной системе решений как быстро, так и медленно возрастающих и убывающих функций, что приводит к плохой обусловленности матрицы системы, определяющей произвольные постоянные в общем решении исходной системы дифференциальных уравнений. Такие системы принято называть жесткими, а соответствующие задачи - задачами с погранслоем. При численном решении задач с погранслоем возникают трудности, связанные с неустойчивостью счета. Обсуждаются проблемы и подходы преодоления таких трудностей. Если для задач Коши вопросы преодоления численной неустойчивости проработаны достаточно подробно, то для многоточечных краевых задач это значительно более сложная проблема.

Традиционные схемы и алгоритмы численного интегрирования краевых задач на таких классах жестких систем нелинейных дифференциальных уравнений оказываются малопригодными. Следует отметить, что в работах, посвященных проблемам численного интегрирования задач Коши для жестких систем ОДУ, рассматриваются в основном задачи, решение которых устойчиво относительно начальных данных. Для такого класса задач спектр матрицы системы лежит в левой комплексной полуплоскости, хотя допускается и существование собственных чисел с малой положительной действительной частью. Области устойчивости методов численного интегрирования задач Коши также лежат преимущественно в левой комплексной полуплоскости и не содержат действительных положительных собственных чисел. Кроме этого, для явных методов области устойчивости ограничены.

В отличие от задач Коши, класс краевых задач статики тонкостенных оболочечных конструкций с устойчивыми решениями включает в себя задачи, спектры матриц систем которых содержат и отрицательные, и положительные действительные собственные числа, в том числе очень большие. Так, матрицы систем краевых задач, возникающих при расчете НДС тонкостенных армированных оболочек на основе теорий Кирхгофа-Лява или Тимошенко, содержат положительные и отрицательные действительные собственные числа со значениями порядка 10 и, кроме того, очень малые по модулю числа, в том числе ноль. В случае использования уточненных теорий пластин и оболочек, величины действительных собственных чисел достигают значений на два порядка более высоких - от 100 до 1000 и выше.

При численном интегрировании задачи Коши, спектр матрицы которой содержит большие и малые по величине собственные числа, лежащие и в левой и в правой комплексных полуплоскостях одновременно, наряду с классическими проблемами жесткости задачи Коши, возникает проблема неустойчивости её решения относительно возмущений начальных данных.

В этом случае сколь угодно мелкое разбиение шага сетки не дает возможности проинтегрировать задачу с заданной точностью. Погрешность численного решения задачи Коши, в спектре матрицы которой присутствуют большие положительные собственные числа, растет экспоненциально, тем быстрее, чем больше величина этих собственных значений. Если длина интервала интегрирования велика, то это неизбежно приводит к неограниченному росту погрешности интегрирования при любом выборе шага сетки. Этот вывод справедлив как для явных, так и для неявных методов.

Рассмотрены различные аспекты применения методов дискретной ортогонализации, сплайн-коллокации, коллокаций и наименьших невязок для решения задач классической и уточненных теорий пластин и оболочек [2-5]. Рассмотрены классы линейных неосесимметричных и нелинейных осесимметричных задач механики композитных пластин и оболочек. Исследовано влияние структурных и механических характеристик КМ на НДС и уровень нагрузок начального разрушения различных композитных конструкций (параболических антенн, армированных куполов и сводов, оболочек нулевой гауссовой кривизны, круглых, кольцевых и прямоугольных пластин, комбинированных гибридных баков и сосудов высокого давления), подверженных действию различных видов нагружения.

В третьей части доклада рассмотрены задачи рационального и оптимального проектирования композитных пластин и оболочек. В моментной постановке получены условия разрешимости переопределенных систем дифференциальных уравнений упругих осесимметричных оболочек при использовании в качестве критериев рациональности требований равнонапряженности арматуры, полужесткости и постоянства удельной потенциальной энергии.

Получены классы аналитических решений для задач рационального проектирования цилиндрических, конических, сферических, эллипсоидальных, нодоидных оболочек, комбинированных резервуаров и сосудов давления, когда в качестве критериев рациональности выступают требования безмоментности напряженного состояния, равнонапряженности арматуры, полужесткости и постоянства удельной потенциальной энергии, а в качестве параметров проектирования: толщина стенки и форма меридиана оболочки, углы и интенсивности армирования композиционного материала.

Библиографический список

1. Голушко С.К., Немировский Ю.В. Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 432 с. - ISBN 978-5-9221-0948-2.

2. Голушко С.К., Горшков В.В., Юрченко А.В. О двух численных методах решения многоточечных нелинейных краевых задач // Вычислительные технологии. 2002. Т. 7, № 2. C. 24-33.

3. Голушко С.К., Идимешев С.В., Шапеев В.П. Метод коллокаций и наименьших невязок в приложении к задачам механики изотропных пластин // Вычислительные технологии. - 2013. - Т. 18, № 6. - С. 31-43.

4. Голушко С.К., Идимешев С.В., Шапеев В.П. Разработка и применение метода коллокаций и наименьших невязок к задачам механики анизотропных слоистых пластин // Вычислительные технологии. 2014. Т. 19, № 5. С. 24-36.

5. Голушко С.К., Идимешев С.В., Семисалов Б.В. Методы решения краевых задач механики композитных пластин и оболочек // Учеб. пособие по курсу «Прямые и обратные задачи механики композитов». КТИ ВТ СО РАН. Новосибирск, 2014. - 131 с. [Электронный ресурс]. - ISBN 978-5-9905791-0-1.

Аннотация

УДК 539.3

Моделирование, расчет и оптимизация композитных конструкций. С.К. Голушко, spin-код: 8826-8439, e-mail: s.k.golushko@gmail.com Конструкторско-технологический институт вычислительной техники СО РАН, Институт вычислительных технологий СО РАН

Рассмотрены различные аспекты математического моделирования современных композиционных материалов и конструкций, а также вопросы разработки численных методов решения краевых задач для жестких систем дифференциальных уравнений.

Исследовано влияние структурных и механических характеристик композитов на напряженно-деформированное состояние и уровень нагрузок начального разрушения многослойных армированных круглых, кольцевых и прямоугольных пластин, цилиндрических, конических, сферических и эллипсоидальных оболочек, гибридных баков и сосудов высокого давления. Рассмотрен и решен ряд задач рационального и оптимального проектирования композитных конструкций.

Ключевые слова: структурные модели композитов, численные методы дискретной ортогонализации и сплайн-коллокации, рациональное и оптимальное проектирование конструкций.

Размещено на Allbest.ru