Сравнительный анализ различных теорий в задачах изгиба многослойных ортотропных прямоугольных пластин
Основные отличия теорий пластин Кирхгофа-Лява, Тимошенко и ломаной линии. Определение распределения перемещений по толщине и срединной поверхности. Расчёт углов поворота для каждого слоя. Вычисление максимальных значения компонент тензора напряжений.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.10.2018 |
| Размер файла | 129,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://allbest.ru
Конструкторско-технологический институт вычислительной техники
Институт вычислительных технологий
СО РАН
УДК 539.3
Сравнительный анализ различных теорий в задачах изгиба многослойных ортотропных прямоугольных пластин
С.К. Голушко С.В. Идимешев
г. Новосибирск
Рассматривается задача изгиба многослойной прямоугольной пластины со сторонами , и постоянной толщиной , количество слоев . Пластина закреплена на торцевых гранях и находится под распределенной поперечной нагрузкой , действующей на верхнюю грань (рис. 1).
Рис. 1. Прямоугольная слоистая пластина под действием поперечной нагрузки; - координата верхней границы -го слоя, .
Каждый слой пластины выполнен из ортотропного композиционного материала с армирующими волокнами, уложенными в одном направлении. Направление укладки волокон обозначим , а перпендикулярное ему направление . Каждый слой может быть охарактеризован следующими техническими постоянными:
где , , - модуль упругости, коэффициент Пуассона, модуль сдвига, а нижние индексы обозначают направления, которым они соответствуют.
В работе рассмотрены симметричные схемы укладки трех-, пяти-, семи- и девятислойных пластин с чередующимися углами укладки. В слоях с нечётным номерами направление укладки параллельно оси , а в слоях с четными номера параллельно оси (нумерация слоев начинается с 1).
Каждый слой пластины имеет постоянную толщину. Общая толщина четных и нечетных слоев совпадает, при этом толщины сонаправленных слоев равны между собой, т.е. толщина -го слоя для слоев с нечетными номерами, и с четными.
Для постановки задачи в рамках пространственной теории упругости на границах между слоями потребуем непрерывности перемещений , , , соотвествующих направлениям , и .
Дополнительно потребуем непрерывность компонент тензора напряжений , , , что отвечает условию “жёсткого” контакта. На верхней и нижней гранях пластины справедливы зависимости
На торцевых гранях заданы условия, соответствующие шарнирному закреплению:
Для описаной задачи в работе [1] в рамках пространственной теории упругости получено приближенное аналитическое решение методом Фурье. В настоящей работе для описанной задачи соответствующие расчеты проведены в рамках трех теорий пластин: Кирхгофа-Лява [2], Тимошенко [3] и ломаной линии [4].
Для всех теорий в качестве отсчетной поверхности выбрана срединная поверхность . Одно из основных отличий рассмотренных теорий пластин заключается в представлении распределения перемещений по толщине пластины и её зависимости от перемещений срединной поверхности. В теории ломаной линии перемещения и при фиксированных и являются кусочно-линейными функциями
где и - перемещения срединной поверхности, - углы поворота, определеннные для каждого слоя.
В теории Тимошенко углы поворота не определены для каждого слоя, но определены для срединной поверхности
где - углы поворота срединной поверхности.
В теории Кирхгофа-Лява нормаль к срединной поверхности сохраняет свойство нормальности при деформировании
Краевые условия для каждой из рассмотренных теорий имеют вид:
|
Теория ломаной линии |
||
|
Теория Тимошенко |
||
|
Теория Кирхгофа-Лява |
В численных экспериментах применялся модифицированный метод коллокаций и наименьших невязок [5].
В таблице приведены максимальных значения компонент тензора напряжений , полученные в расчетах для разных теорий при разных (). Использованы следующие значения и обозначения: , МПа, .
Дополнительно, около каждого значения, рассчитанного в рамках теорий пластин, приведена его относительная погрешность в процентах от значений пространственной теории упругости.
Для рассматриваемой постановки как видно из расчетов максимальное значение , полученное в рамках теории Кирхгофа-Лява, не зависит от . Более того, не зависит и от числа слоев , что является следствием условий постановки задачи. перемещение поверхность тензор слой пластина
Из таблицы видно, что при больших значения , т.е. в случае очень тонких пластин, все теории пластин дают результат, отличающийся от пространственной теории упругости не более чем на 0.5%. Однако, с ростом , отклонения увеличиваются.
Наиболее близкие к пространственной теории результаты дает теория ломаной линии.
|
S |
Теория упругости |
Теория ломаной линии |
Теория Тимошенко |
Теория Кирхгофа-Лява |
||||
|
2 |
1.388 |
0.891 |
35.8 |
0.345 |
75.1 |
0.537 |
61.3 |
|
|
4 |
0.720 |
0.642 |
10.8 |
0.417 |
42.1 |
0.537 |
25.4 |
|
|
10 |
0.559 |
0.548 |
1.97 |
0.504 |
9.84 |
0.537 |
3.94 |
|
|
20 |
0.543 |
0.540 |
0.55 |
0.530 |
2.39 |
0.537 |
1.10 |
|
|
50 |
0.539 |
0.538 |
0.19 |
0.536 |
0.56 |
0.537 |
0.37 |
|
|
100 |
0.539 |
0.538 |
0.19 |
0.537 |
0.37 |
0.537 |
0.37 |
|
|
2 |
1.322 |
0.943 |
28.7 |
0.405 |
69.2 |
0.537 |
59.2 |
|
|
4 |
0.685 |
0.634 |
7.45 |
0.443 |
35.3 |
0.537 |
21.6 |
|
|
10 |
0.545 |
0.540 |
0.92 |
0.506 |
7.16 |
0.537 |
1.47 |
|
|
20 |
0.539 |
0.537 |
0.37 |
0.529 |
1.86 |
0.537 |
0.37 |
|
|
50 |
0.539 |
0.538 |
0.19 |
0.536 |
0.56 |
0.537 |
0.37 |
|
|
100 |
0.539 |
0.537 |
0.37 |
0.537 |
0.37 |
0.537 |
0.37 |
|
|
2 |
1.284 |
0.950 |
26.0 |
0.437 |
66.0 |
0.537 |
58.2 |
|
|
4 |
0.679 |
0.642 |
5.45 |
0.464 |
31.7 |
0.537 |
20.9 |
|
|
10 |
0.548 |
0.545 |
0.55 |
0.513 |
6.39 |
0.537 |
2.01 |
|
|
20 |
0.539 |
0.539 |
0.00 |
0.531 |
1.48 |
0.537 |
0.37 |
|
|
50 |
0.539 |
0.538 |
0.19 |
0.537 |
0.37 |
0.537 |
0.37 |
|
|
100 |
0.539 |
0.538 |
0.19 |
0.537 |
0.37 |
0.537 |
0.37 |
|
|
2 |
1.260 |
0.956 |
24.1 |
0.456 |
63.9 |
0.538 |
57.3 |
|
|
4 |
0.684 |
0.654 |
4.39 |
0.478 |
30.1 |
0.538 |
21.3 |
|
|
10 |
0.551 |
0.550 |
0.18 |
0.517 |
6.17 |
0.538 |
2.36 |
|
|
20 |
0.541 |
0.540 |
0.18 |
0.532 |
1.66 |
0.538 |
0.55 |
|
|
50 |
0.539 |
0.538 |
0.19 |
0.537 |
0.37 |
0.538 |
0.19 |
|
|
100 |
0.539 |
0.538 |
0.19 |
0.537 |
0.37 |
0.538 |
0.19 |
При фиксированном для теории ломаной линии наблюдаются более точные результаты при больших , что связано с характером распределения перемещений по толщине, которое становится более близким к кусочно-линейному виду.
Таким образом, на основании проведенных численных экспериментов можно заключить, что из рассмотренных теорий пластин наиболее близкие к пространственной теории результаты дает теория ломаной линии. Хотя для тонких пластин , все теории дают примерно один результат.
Список литературы
1. N.J. Pagano, H.J. Hatfield Elastic Behavior of Multilayered Bidirectional Composites, AIAA Journal, 1972. Vol. 10, No. 7. P. 931-933.
2. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы. 1961. - 384 с.
3. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек. М.: Наука, 1992.
4. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки. М.: Машиностроение, 1988.
5. Голушко С.К., Идимешев С.В., Шапеев В.П. Разработка и применение метода коллокаций и наименьших невязок в к задачам механики анизотропных слоистых пластин // Вычислительные технологии. 2014. Т. 19, № 5. С. 24--36.
Аннотация
УДК 539.3
Сравнительный анализ различных теорий в задачах изгиба многослойных ортотропных прямоугольных пластин. К. Голушко, Spin-код: 8826-8439, e-mail: s.k.golushko@gmail.com, С.В. Идимешев, Spin-код: 3793-6120, e-mail: idimeshev@gmail.com. Конструкторско-технологический институт вычислительной техники СО РАН, г. Новосибирск. Институт вычислительных технологий СО РАН, г. Новосибирск
Решена задача изгиба многослойных прямоугольных пластин, с ортотропными слоями постоянной толщины. Численные решения получены модифицированным методом коллокаций и наименьших невязок. Проведен расчет задач изгиба трех-, пяти-, семи- и девятислойных пластин с использованием различных теорий пластин: Кирхгофа-Лява, Тимошенко и ломаной линии. Рассматриваются пластины с разными отношениями толщины к характерному размеру в плоскости. Проведено сравнение полученных численных решений с аналитическими решениями пространственной теории упругости.
Ключевые слова: многослойные ортотропные прямоугольные пластины, метод коллокаций и наименьших невязок.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Определение: инвариантов напряженного состояния; главных напряжений; положения главных осей тензора напряжений. Проверка правильности вычисления. Вычисление максимальных касательных напряжений (полного, нормального и касательного) по заданной площадке.
курсовая работа [111,3 K], добавлен 28.11.2009Закон распределения компонент тензора истинных напряжений в эйлеровых координатах. Закон распределения массовых сил, при котором среда находится в равновесии. Расчет главного момента поверхностных и массовых сил. Поле ускорений в эйлеровых координатах.
контрольная работа [219,6 K], добавлен 24.06.2010Определяющие соотношения модели нелинейно упругой среды, вычисление компонент тензора напряжений. Определение автомодельного движения. Сведение модельных соотношений к системе дифференциальных уравнений. Краевая задача разгрузки нелинейно упругой среды.
курсовая работа [384,1 K], добавлен 30.01.2013Методика определения систематической составляющей погрешности вольтметра в точках 10 и 50 В. Вычисление значения статистики Фишера для двух значений напряжений. Расчет погрешности измерительного канала, каждого узла с учетом закона распределения.
курсовая работа [669,2 K], добавлен 02.10.2013Определение продольной силы в стержнях, поддерживающих жёсткий брус. Построение эпюры продольных усилий, нормальных напряжений и перемещений. Расчет изгибающих моментов и поперечных сил, действующих на балку. Эпюра крутящего момента и углов закручивания.
контрольная работа [190,3 K], добавлен 17.02.2015Выбор марки и толщины листов стали и типа изоляции пластин. Определение испытательных напряжений обмоток. Расчет механических сил в обмотках при коротком замыкании. Определение размеров пакетов и активных сечений стержней и ярм, параметров холостого хода.
курсовая работа [675,4 K], добавлен 13.01.2016Исследование распределения напряжений вдоль однородной линии без потерь при значениях сопротивлений нагрузки. Определение частоты генератора, при которой напряжение будет минимальным. Кривые распределения напряжения вдоль линии для всех видов нагрузки.
лабораторная работа [630,9 K], добавлен 07.12.2011Построение эпюры продольных сил, напряжений, перемещений. Проверка прочности стержня. Определение диаметра вала, построение эпюры крутящих моментов. Вычисление положения центра тяжести. Описание схемы деревянной балки круглого поперечного сечения.
контрольная работа [646,4 K], добавлен 02.05.2015Экспериментальное исследование распределения напряжения и тока вдоль однородной линии при различных режимах работы. Расчет зависимости действующих значений напряжения в линии от координаты для каждого режима. Графики расчетных функций напряжения.
лабораторная работа [771,3 K], добавлен 19.04.2015Расчет основных размеров и массы трансформатора. Определение испытательных напряжений обмоток и параметров холостого хода. Выбор марки, толщины листов стали и типа изоляции пластин, индукции в магнитной системе. Расчет параметров короткого замыкания.
курсовая работа [812,3 K], добавлен 20.03.2015Сущность технологических приемов химического травления и контроля качества поверхности пластин кремния. Особенности термического вакуумного напыления алюминия на полупроводниковую подложку. Фотолитография в производстве полупроводниковых приборов.
методичка [588,6 K], добавлен 13.06.2013Расчёт коэффициента полезного действия, максимальной, наибольшей и натуральной мощности, коэффициентов компенсации и увеличения пропускной способности линии, распределение напряжения, тока. Вычисление параметров элементов компенсирующего четырёхполюсника.
курсовая работа [326,4 K], добавлен 04.05.2014Расчет значения токов ветвей методом уравнений Кирхгофа, токов в исходной схеме по методу контурных токов и узловых напряжений. Составление уравнений и вычисление общей и собственной проводимости узлов. Преобразование заданной схемы в трёхконтурную.
контрольная работа [254,7 K], добавлен 24.09.2010Связь комплексных амплитуд тока и напряжения в пассивных элементах электрической цепи. Законы Кирхгофа для токов и напряжений, представленных комплексными амплитудами. Применение при расчёте трёхфазных цепей.
реферат [48,4 K], добавлен 07.04.2007Разработка кинематической схемы привода, определение срока его службы. Выбор двигателя и его обоснование, проверка на перегрузку и определение силовых, кинематических параметров. Вычисление допускаемых напряжений. Расчет прямозубой конической передачи.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 11.10.2012Определение напряжения на нагрузки и токи во всех ветвях цепи методом узловых напряжений. Проверка соблюдения второго и третьего законов Кирхгофа для каждого контура схемы. Составление баланса мощностей источников и потребителей электрической энергии.
контрольная работа [1,0 M], добавлен 07.11.2013Определение внутреннего диаметра корпуса теплообменника. Температура насыщенного сухого водяного пара. График изменения температур теплоносителя вдоль поверхности нагрева. Вычисление площади поверхности теплообмена Fрасч из уравнения теплопередачи.
контрольная работа [165,6 K], добавлен 29.03.2011Определение напряжений на координатных площадках. Определение основных направляющих косинусов новых осей в старой системе координат. Вычисление нормальных и главных касательных напряжений. Построение треугольника напряжений. Построение диаграмм Мора.
контрольная работа [1,7 M], добавлен 11.08.2015Специфика измерения силы тока амперметром и напряжения вольтметром. Методика расчета падения напряжения на приемниках по закону Ома и по второму закону Кирхгофа на различных участках цепи. Сравнительный анализ расчетных и измерительных параметров цепи.
лабораторная работа [22,9 K], добавлен 12.01.2010Анализ электрической цепи без учета и с учетом индуктивных связей между катушками. Определение токов методом узловых напряжений и контурных токов. Проверка по I закону Кирхгофа. Метод эквивалентного генератора. Значения токов в первой и третьей ветвях.
лабораторная работа [1,2 M], добавлен 06.10.2010
