Численное моделирование сеточным и бессеточным методами удара группы частиц по стеклу

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Численное моделирование сеточным и бессеточным методами удара группы частиц по стеклу

А.В. Герасимов, С.В. Пашков,

Ю.Ф. Христенко, Р.О. Черепанов

НИИ прикладной математики и механики

Томского госуниверситета, Томск

Аннотация

Исследование процессов деформирования и разрушения стекла при взаимодействии с потоками техногенных и естественных осколков необходимо как с точки зрения сохранения целостности космических аппаратов при ударе достаточно крупными осколками, так и с целью уменьшения эрозии элементов конструкций при действии потоков ультрамелких частиц. В работе приведены сеточная методика, базирующаяся на совместном использовании метода Уилкинса и метода Джонсона и бессеточная методика, базирующаяся на SPH методе. Было рассмотрено соударение группы из семи стальных шариков с двухслойной стеклянной пластиной. Проведено сравнение особенностей двух методик при моделировании процесса разрушения стеклянных элементов.

Ключевые слова - численное моделирование, сеточный и бессеточный методы, удар, стекло.

Уравнения, описывающие пространственное адиабатное движение прочной сжимаемой среды, являются дифференциальными следствиями фундаментальных законов сохранения массы, импульса и энергии. В общем случае они приведены в [1]. Эти уравнениям замыкались уравнениями, учитывающими соответствующие термодинамические эффекты, связанные с адиабатным сжатием среды и прочностью среды. Естественная фрагментация ударников и преграды рассчитывалась с помощью введения вероятностного механизма распределения начальных дефектов структуры материала для описания отрывных и сдвиговых трещин. В качестве критерия разрушения при интенсивных сдвиговых деформациях в задачах использовалось достижение эквивалентной пластической деформацией своего предельного значения. Начальные неоднородности моделировались тем, что предельная эквивалентная пластическая деформация распределялась по ячейкам оболочки с помощью модифицированного генератора случайных чисел, выдающего случайную величину, подчиняющуюся выбранному закону распределения [2]. Для трехмерного расчета напряженно-деформированного состояния ударников и преграды использовалась методика, реализованная на тетраэдрических ячейках и базирующаяся на совместном использовании метода Уилкинса для расчета внутренних точек тела и метода Джонсона для расчета контактных взаимодействий [3,4] и модификация метода SPH. В методе SPH [5] ядерная аппроксимация функции имеет вид

(1)

где h- параметр размывания, выбираемый достаточно произвольно, - пространственная координата, - функция сглаживания, в качестве которой обычно используется кубический B-сплайн.

Узловая аппроксимация производных в этом случае имеет вид:

, (4)

где - радиус-вектор, значение аппроксимируемой функции и некоторый ассоциированный объем, соответствующие k_й точке.

Как показано в [6,7], узловая аппроксимация имеет первый порядок точности при однородном распределении частиц, который понижается до нулевого вблизи границ расчетной области и при неоднородном распределении частиц. В [8] был предложен способ восстановления узловой согласованности. Разложив аппроксимацию (3) в ряд Тейлора и удерживая два члена ряда получим аппроксимацию первого порядка точности.

Основные идеи предлагаемого в данной статье подхода: обозначим

(5)

(6)

Введем вспомогательные величины

(7)

(8)

(9)

где - значение функции , вычисленное в узле , далее мы будем называть его значением, переносимым узлом. - ассоциированная площадь узла , - радиус-вектор узла .

В этих обозначениях узловая аппроксимация произвольной функции или ее производной в узле n имеет вид:

(10)

(11)

Связь деформаций и перемещений узловых точек в этих обозначениях принимает вид

деформирование разрушение стекло осколки

(12)

Тогда вариация внутренней энергии может быть вычислена по формуле

. (13)

Отсюда находится обобщенная сила, действующая на SPH-узлы:

(14)

после чего ускорения узлов определяются как:

, - масса узла m. (15)

Процедура восстановления узловой согласованности совместно с расчетом обобщенных узловых сил позволяет повысить порядок точности метода и повысить точность расчета граничных условий на контактных и свободных поверхностях. При этом условия на свободной поверхности в таком подходе удовлетворяются автоматически, а условия на контактных поверхностях могут быть рассчитаны методом Джонсона.

Оба метода использовался для моделирования соударения группы из семи сферических стальных частиц с поверхностью стекла (рис.1). Радиус частиц r=0,5мм, они расположены по кругу диаметром D₁=4,0 мм. Пластинки стекла имели диаметр D₂= 20,0 мм, толщина пластин h=1,0 мм.. Начальная скорость частиц v=1,0 км/с. В расчетах использовалось уравнение состояния типа Ми-Грюнайзена

P=

D =a +cu,

где D-скорость УВ, u-массовая скорость, - начальная плотность, относительный объем (), - удельная внутренняя энергия,-коэффициент Грюнайзена, параметры стекла кг/м³, a=400 м/с; с=2,45, , =1,17, модуль сдвига ГПа, в качестве критерия разрушения использовалась предельная деформация разрушения =0,54%.

Для моделирования металлических частиц использовалась упругопластическая модель [3] с параметрами модуль упругости E=200 ГПа, модуль сдвига =70 ГПа, предел текучести =0,245 ГПа.

Рис 1. Расчетная схема

а б

Рис 2. Расчет по сеточному методу: а -3D конфигурация; б -2D сечение расчетной области

а б

Рис 2. Расчет методом SPH: а -3D конфигурация; б -2D сечение расчетной области. Выделена область поврежденности материала стекла

Следует отметить, что сеточный метод, использующий вероятностный подход к описанию процесса разрушения соударяющихся тел, позволяет более точно рассчитывать области поврежденного и разрушенного при соударении материала (рис.2) по сравнению с методом SPH (рис.3). Он также более точен при расчете формирования фрагментов разрушенной преграды и учета взаимодействия последних между собой.

Работа выполнена в рамках Программы повышения конкурентоспособности Томского государственного университета.

Литература

1. Физика взрыва /Под ред. К. П. Станюковича. М.: Наука, 1975.

2. Герасимов А.В. Теоретические и экспериментальные исследования высокоскоростного взаимодействия тел/ А.В. Герасимов [и др.]. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2007. 572 с.

3. Уилкинс М.Л. Расчет упругопластических течений / М.Л. Уилкинс // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. С. 212 - 263.

4. Johnson G.R. Tree-dimensional computer code for dynamic response of solids to intense impulsive loads / G.R. Johnson, D.D. Colby, D.J. Vavrick // Int. J. Numer. Methods Engng. 1979. V. 14, № 12. P. 1865-1871

5. Lucy L.B. A numerical approach to the testing of fusion hypothesis// Astronomical Journal, 1977, v. 82, pp.1013 -1024.

6.Chen J.K., Beraun J.E., Jin C.J. A corrective smoothed particle method for transient elastoplastic dynamics//Computational Mechanics, 2001, v.127, pp. 177-187.

7. Bonet J., Kulasegaram S. Correction and stabilization of smooth particle hydrodynamics methods with applications in metal forming simulations//Int. J.Numer. Meth. Engng., 2000, v. 47, pp.1189-1214

8. Liu M.B, Liu G.R. Restoring particle consistency in smoothed particle hydrodynamics //Applied Numerical Mathematics, 2006, v.56, № 1, pp.19-36.

Размещено на Allbest.ru