Дискретные модели расчета и оптимизации стержневых конструкций при импульсном нагружении

Размещено на http://www.allbest.ru/

6

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дискретные модели расчета и оптимизации стержневых конструкций при импульсном нагружении

Г.И. Гребенюк, М.С. Вешкин

Аннотация

Рассматриваются дискретные подходы к расчету стержневых систем, нагруженной весьма коротким (мгновенным) импульсным воздействием, а также импульсом конечной протяжённости. Получены решения задачи оптимизации объёма однопролётной балки с использованием условий дискретной равнопрочности. Проведён сравнительный анализ результатов оптимизации при изменении числа участков разбиения балки и протяженности импульса.

Ключевые слова: балка, оптимизация, расчет, равнопрочность, импульс.

The summary

Discrete approaches to calculation of the rod systems, loaded with rather short (instant) pulse influence, and also an impulse of final extent are considered. Decisions of a problem of optimization of volume of an one-flying beam with use of conditions discrete equal durability are received. The comparative analysis of results of optimization is carried out at change of number of sites of splitting of a beam and extent of an impulse.

Keywords: a beam, optimization, calculation, `, an impulse.

1. Алгоритмы динамического расчета дискретных систем

Уравнения динамического равновесия дискретной системы представим с позиции метода перемещений КЭ в виде

; (1)

где K_m, K_d, K_e - матрицы инерционных, диссипативных и упругих коэффициентов; R_F(t) - вектор, обобщающий заданное силовое воздействие.

Согласно видоизмененной гипотезе Фойгта, для системы с одной степенью свободы [1]

(сила/скорость) (2)

Величины с, m - реакции в наложенной связи от единичного смещения и движения с единичным ускорением, причем данные концевые усилия и коэффициент неупругого сопротивления г однозначны.

Так как компоненты матриц K _m^(j), K _e^(j) j-го КЭ идентичны по физическому смыслу компонентам (2), то рационально использовать для вычисления компоненты K _{d i k} матрицы K_d^(j) соотношение

(сила/скорость) (3)

Далее рассматривается предлагаемая методика дискретного расчета стержневых систем при действии весьма короткого (мгновенного) импульса.

Согласно общему уравнению удара [2] для системы точечных масс справедливо соотношение

 (4)

где n - число точечных масс; m_k - масса к-ой точки, -приращение скорости точки «к»; S^(k)- импульс, передающийся в к-ую точку; - вариация перемещения к-ой точки. Распространяя (4) на случай стержневой системы и принимая в качестве возможных координатные перемещения, получим:

(5)

Уравнение (5) приводится к виду:

(6)

После определения составляющих вектора из решения системы алгебраических уравнений (6) задача динамического расчета при воздействии мгновенной импульсной нагрузки сводится к расчету системы на свободные колебания с начальными условиями

Представляет интерес оценка, насколько влияет на результаты расчета и дискретной оптимизации представление нагрузки в виде импульса конечной протяженности.

Решение матричного дифференциального уравнения (1) без учета демпфирования в случае действия импульса конечной протяжённости представим в виде сумы векторов: , где - общее решение однородного уравнения ; - частное решение (1). Вектор узловых сил удобно представить в виде выражения , где - -мерный вектор одночленных функций времени, - числовая матрица. Частное решение представляется в аналогичном виде: , где - числовая матрица порядка . Неизвестные составляющие матрицы находятся из решения системы линейных уравнений:

, (7)

где - дифференциальный оператор второго порядка от

Составляющие вектора постоянных интегрирования на участке 1 при (- протяжённость по времени заданного импульса) определяются из начальных условий. Если считать импульс протяженным, то в начальный момент времени .

На втором интервале система совершает свободные колебания.. Постоянные интегрирования находятся из условий стыковки интервалов , .

2. Пример расчета и оптимизации

В качестве примера расчета и оптимизации рассмотрена балка с постоянной высотой и переменной шириной сечений при действии заданного импульса (рис.1)

Рассмотрены несколько вариантов действия распределенного импульса: весьма короткий (мгновенный) импульс; импульсы конечной протяженности треугольной формы , при разных значениях и одинаковой суммарной (по времени) интенсивностью (-начальная амплитуда импульсной нагрузки). Суммарная интенсивность импульса во всех вариантах принята равной . Для определения параметров дискретно-равнопрочной балки использован алгоритм оптимизации, приведённый на рис. 2.

Алгоритм поиска дискретно-равнопрочной балки быстро сходится. В частности, на итерациях 6,7 (для 20 участков разбиения) и на итерациях 20-25 (для 50 участков разбиения), максимальная разница значений ширины сечений балки на участках составила 0.88%, а максимальное отклонение от условия равнопрочности составило 0.1%.

Размещено на http://www.allbest.ru/

6

Размещено на http://www.allbest.ru/

3. Анализ результатов расчетов и оптимизации балки

стержневой нагруженный импульсный

Графики зависимости оптимального объёма материала от длительности импульса, для вариантов разбиения балки на 5 и 20 элементов, приведены на рис.3.

Как следует из графиков, при большей продолжительности импульса размеры сечений и оптимальный объём получаются меньше по сравнению с результатами, относящимися к менее продолжительному импульсу. Это говорит о существенном влиянии продолжительности импульса на максимальные усилия в балке и, в конечном счете, на её оптимальный проект.

В таблице 1 показаны сравнительные результаты при различном количестве участков разбиения балки на элементы постоянного сечения. Существенное отличие от других результатов наблюдается в случае малого количества элементов - 5. При увеличении числа участков разбиения балки (20/30/50 участков) больших отличий в результатах соседних случаев не наблюдается.

Таблица 1.

Влияние числа участков разбиения балки на оптимальный объём при длительности импульса с

Значительное влияние длительности импульса, по всей видимости, связано с тем, что при сокращении длительности импульса возрастает вклад в свободные колебания верхних частот собственных колебаний. Формы колебаний, соответствующие им, характеризуются большей кривизной продольной оси балки и, соответственно, большими усилиями изгиба.

Библиографический список

1. Динамический расчет зданий и сооружений. Справочник проектировщика/Под редакцией Б.Г.Коренева, И.М. Рабиновича. - М.: Стройиздат,1984. - 511с.

2. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики.-М.: ГИТТЛ, 1956.-432 с.

3. Гребенюк Г.И. Методика построения дискретного решения для вынужденных колебаний диссипативных систем//Г.И. Гребенюк, В.И.Роев// Известия вузов. Строительство.- 2006-№2.-С. 94-101.

Размещено на Allbest.ru