Численное решение осесимметричной задачи изогонально армированных кольцевых пластин в полярной системе координат
Формирование задачи об осесимметричной деформации пластины в перемещениях. Разработка двухточечной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрение численного решения задачи для одного и двух семейств армирующих волокон.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.10.2018 |
| Размер файла | 1,9 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Численное решение осесимметричной задачи изогонально армированных кольцевых пластин в полярной системе координат
Н. А. Федорова
Напряженно - деформированное состояние армированной пластины относительно компонент тензоров деформаций и напряжений в осесимметричном случае в полярной системе координат описывается соотношениями (1) -- (5).
Уравнения равновесия имеют вид
(1)
Пусть армирование выполнено семействами волокон (), углы армирования, деформация в волокне, интенсивность армирования -м семейством волокон. Деформации в волокне определим по структурной модели [1]
(2)
Соотношения Коши, связывающие компоненты тензора деформаций и компоненты вектора смещений в условиях осесимметричной деформации имеют вид
(3)
Пусть некоторое фиксированное число семейств армирующих волокон. Закон Гука для неоднородного армированного материала с числом семейств армирующих волокон запишем в виде
(4)
где соответственно модуль Юнга и коэффициент Пуассона связующего материала, удельная интенсивность прослоек связующего между армирующими слоями. В соотношения (4) входят напряжения в волокне , они удовлетворяют закону Гука. Интенсивность определим из условия постоянства сечений волокон в полярной системе координат
(5)
В (5) - известная функция, если заданы углы армирования Зависимость от определяется при задании конкретных траекторий армирования [2,3].
Сформулируем задачу об осесимметричной деформации пластины в перемещениях . Для этого соотношения (4) подставим в уравнения равновесия (1), с учетом (3) получим относительно компонент перемещений систему дифференциальных уравнений:
(6)
где введены коэффициенты
Полученная система (6) - является системой обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка относительно компонент перемещений . К системе (6) присоединим четыре граничных условия на внешнем и внутреннем контуре кольцевой пластины. Например, на внутреннем контуре зададим перемещения, на внешнем - радиальное и касательное усилия. Возможны их комбинации: на внутреннем контуре задано одно из усилий и одно из перемещений, на внешнем - оставшиеся усилие и перемещение.
Система (6) и граничные условия a), б) представляют собой обобщенную двухточечную краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Коэффициенты в (6) содержат полный набор структурных характеристик: число семейств армирующих волокон, механические характеристики материалов связующего и волокна, интенсивность и тригонометрические функции углов армирования. Для численного решения система (6) сводилась к системе 4-х дифференциальных уравнений первого порядка, затем строилась разностная схема, аппроксимирующая систему дифференциальных уравнений и аппроксимировались краевые условия со вторым порядком точности. Полученная при этом система линейных уравнений с трехдиагональной матрицей решалась методом ортогональной прогонки [4]. Постановка исходной задачи свелась к реализации единой схемы, которая учитывает разнообразные механические формулировки задачи.
Наряду с криволинейными структурами армирования по спиралям, строим изогональные (т.е. линии, пересекающие кривые данного однопараметрического семейства под одним и тем же заданным углом ) к ним траектории [5]. Процедура нахождения изогональных траекторий к данным координатным линиям криволинейной ортогональной системы координат подробно описана в [2]. Иллюстрации армирования концентрического кольца по логарифмическим спиралям и изогональными им траекториями для значений приведены на рис. 1, 2, в случае армирования по семействам спиралей Архимеда и изогональным к ним траекториям - на рис. 3, 4; на рисунках изогональные траектории изображены пунктирными линиями.
осесимметричный деформация армирующий двухточечный
Рис. 1 Рис. 2
Рис. 3 Рис. 4
Коэффициенты системы (6) учитывают способы армирования семействами волокон в направлении любых изогональных траекторий, что дает широкое разнообразие структур армирования и позволяет в рамках единой схемы решения (6) получать конструкцию с заранее заданными свойствами.
Рассмотрены примеры численного решения задачи для одного и двух семейств армирующих волокон, представляющих собой семейства спиралей (логарифмические, параболические, спирали Архимеда) и им изогональных траекторий для различных материалов с разными типами нагружения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Nemirovsky Yu.V. On the elastic behavior of the reinforced layer // Int.J.Mech. Sci. 1970. Vol.12. P. 898-903.
2. Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Математическое моделирование плоских конструкций из армированных волокнистых материалов. Красноярск: СФУ, 2010. 136 с.
3. Вохмянин И.Т., Немировский Ю.В. Особенности продольно-поперечного изгиба трехслойных кольцевых пластин с несимметричными структурами армирования //Краевые задачи и математические модели. Труды 8 - й Всероссийской конференции. Новокузнецк, 2006. Т.1 С. 25-31.
4. Дж. Ортега, У. Пул Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. 288 с.
5. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: ГИТ-ТЛ, 1953. 468 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Постановка задачи дифракции и методы ее решения. Сведения о методах решения задач электродинамики. Метод вспомогательных источников. Вывод интегральных уравнений Фредгольма второго рода для двумерной задачи. Численное решение интегрального уравнения.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 13.01.2011Современная общая теория дифференциальных уравнений. Обзор основных понятий и классификации дифференциальных уравнений в частных производных. Уравнение теплопроводности. Начальные и граничные условия. Численное решение уравнений математической физики.
курсовая работа [329,9 K], добавлен 19.12.2014Конкретизация условий, построение и анализ модели задачи. Нахождение принципиального решения технической задачи для первой подсистемы. Модель задачи для подсистемы управления передаточным отношением. Выявление и разрешение противоречий.
статья [521,8 K], добавлен 30.07.2007Общая характеристика законов динамики, решение задач. Знакомство с основными видами сил. Особенности дифференциальных уравнений движения точки. Анализ способов решения системы трех дифференциальных уравнений второго порядка, рассмотрение этапов.
презентация [317,7 K], добавлен 28.09.2013Решение задачи идентификации коэффициента температуропроводности непрерывнолитого стального цилиндрического слитка. Математическая модель теплового процесса. Методы поиска градиента функции с помощью сопряженной задачи и численного дифференцирования.
практическая работа [96,8 K], добавлен 02.07.2012Дифференциальное уравнение теплопроводности. Поток тепла через элементарный объем. Условия постановка краевой задачи. Методы решения задач теплопроводности. Численные методы решения уравнения теплопроводности. Расчет температурного поля пластины.
дипломная работа [353,5 K], добавлен 22.04.2011Постановка нестационарной краевой задачи теплопроводности в системе с прошивной оправкой. Алгоритм решения уравнений теплообмена. Методы оценки термонапряженного состояния. Расчет температурных полей и полей напряжений в оправке при циклическом режиме.
реферат [4,0 M], добавлен 27.05.2010Описание гидродинамических сил поддержания и оценка резервов повышения скоростей судов при использовании новых принципов движения. Применение подводных крыльев в качестве несущей системы. Решение задачи разгона и торможения судна с подводными крыльями.
курсовая работа [184,9 K], добавлен 15.08.2012Установление методами численного моделирования зависимости температуры в точке контакта от угла метания пластины при сварке взрывом. Получение мелкозернистой структуры и расчет параметров пластины с применением программного расчетного комплекса AUTODYN.
дипломная работа [6,2 M], добавлен 17.03.2014Написание и отладка программы для решения электротехнической задачи на алгоритмическом языке. Определение суммарных потерь электроэнергии и активной мощности в схеме разомкнутой электрической сети. Разработка блок-схемы. Алгоритм решения задачи.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 15.03.2012Уравнение Шредингера и физический смысл его решений. Волновые функции в импульсном представлении. Методы численного решения уравнений: преобразование Фурье, аппроксимации оператора эволюции, способ Нумерова. Программная реализация задач средствами Java.
дипломная работа [1,2 M], добавлен 19.01.2011Уравнение теплопроводности: физический смысл и выводы на примере линейного случая. Постановка краевой задачи остывания нагретых тел, коэффициент теплопроводности. Схема метода разделения переменных Фурье применительно к уравнению теплопроводности.
курсовая работа [245,8 K], добавлен 25.11.2011Что такое задача, классы, виды и этапы решения задач. Сущность эвристического подхода в решении задач по физике. Понятие эвристики и эвристического обучения. Характеристика эвристических методов (педагогические приемы и методы на основе эвристик).
курсовая работа [44,6 K], добавлен 17.10.2006Решение краевых задач методом функции Хартри. Решение уравнения теплопроводности с разрывным коэффициентом и его приложение в электрических контактах. Определение результатов первой граничной задачи с разрывными коэффициентами с помощью функции Хартри.
дипломная работа [998,8 K], добавлен 10.05.2015Математическая модель и решение задачи очистки технических жидкостей от твердых частиц в роторной круговой центрифуге. Система дифференциальных уравнений, описывающих моделирование процесса движения твердой частицы. Физические характеристики жидкости.
презентация [139,6 K], добавлен 18.10.2015Оценка влияния малых нерегулярностей в геометрии, неоднородности в граничных условиях, нелинейности среды на спектр собственных частот и собственной функции. Построение численно-аналитического решения задачи о внутреннем контакте двух цилиндрических тел.
автореферат [2,3 M], добавлен 12.12.2013Исходные соотношения теории теплопроводности и термоупругости тонких изотропных оболочек. Применение двумерного интегрального преобразования Фурье к исходным соотношениям. Сведение задачи теплопроводности к системам сингулярных интегральных уравнений.
дипломная работа [405,8 K], добавлен 11.06.2013Фазовые переходы для автоколебательной системы "Хищник-Жертва" и для волн пластической деформации. Получение уравнений в обезразмеренном виде. Определение координат особых точек, показателей Ляпунова для них. Исследование характера их устойчивости.
курсовая работа [805,6 K], добавлен 17.04.2011Особенности вывода дифференциальных уравнений осесимметрических движений круглой цилиндрической оболочки. Построение частного волнового решения основной системы уравнений гидроупругости вещества. Метод решения уравнения количества движения для жидкости.
курсовая работа [125,7 K], добавлен 27.11.2012Создание сверхвысокочастотных нагревательных и конвейерных волноводных установок на основе волноводов сложного сечения для равномерной обработки тонкослойного и линейного материала. Решение внутренней краевой задачи электродинамики и теплопроводности.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 29.12.2012
