Вычислительные проблемы и методы расчета напряженно-деформированного состояния многослойных композитных пластин

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 539.3

Вычислительные проблемы и методы расчета напряженно-деформированного состояния многослойных композитных пластин

Е.В. Амелина, С.К. Голушко

Рассмотрены вопросы выбора и применения классической и уточненных теорий композитных конструкций при решении задач расчета напряженно-деформированного состояния многослойных пластин, круговых и эксцентрических колец. Определены области геометрических параметров пластин и колец и физико-механических характеристик композиционных материалов, когда применение уточненных теорий пластин необходимо.

Ключевые слова: композиционные материалы, композитные конструкции, теории пластин, напряженно-деформированное состояние

композитный напряженный деформированный пластина

The problems of selection and application of classical and specified theories of composite structures in the solution of problems of calculating stress-strain state of laminated plates, circular and eccentric rings were considered. The ranges of geometrical parameters of plates and mechanical characteristics of composite materials, at which the use of specified theories of plates is required, were defined.

Key words: composite materials, composite constructions, theories of plates, stress-strain state

Расчет напряженно-деформированного состояния (НДС) однородных изотропных конструкций в трехмерной постановке чаще всего осуществляется методом конечных элементов, однако использование данного подхода при анализе поведения неоднородных анизотропных конструкций крайне затруднительно. Использование метода гипотез для понижения размерности и перехода к решению двумерных задач, приводит к появлению большого числа уточненных теорий, различающихся между собой по широте охвата учитываемых факторов, к проблеме выбора адекватной теории из этого многообразия, и к необходимости разработки эффективных численных методов решения краевых задач для жестких систем дифференциальных уравнений.

Постановка задачи. Рассматриваются многослойные композитные пластины и эксцентрические кольца (в частном случае, кольца с центральным отверстием), нагруженные равномерно распределенным внешним давлением P и растягивающим усилием по внешнему контуру постоянной интенсивности T₀. Внутренний контур кольца жестко защемлен. Требуется определить НДС при использовании различных гипотез теории пластин и выявить особенность их применения для решения поставленной задачи.

Ниже будем рассматривать следующие системы гипотез: классическую гипотезу о неизменной нормали [1], гипотезу прямой линии [2], гипотезу о повороте нормали, описываемой функцией, коэффициенты которой зависят от механических характеристик каждого слоя [3] и гипотезу ломаной линии [4]. Эксцентрическое кольцо будем рассматривать в биполярной системе координат {₁, ₂} (рис. 1). Линиями , задаются внутренний и внешний контуры кольца; R_0, R₁ - внутренний и внешний радиусы кольца; d - эксцентриситет отверстия; полная толщина , где H, - толщины внутреннего и внешних слоев.

Методы решения. Для решения задачи определения НДС эксцентрического кольца использовался метод разложения искомых функций по тригонометрическому базису. Полученные системы обыкновенных дифференциальных уравнений решены методом дискретной ортогонализации Годунова, реализованном в пакете прикладных программ GMDO [5]. Верификация решений для колец с изотропными слоями, полученных в рамках теорий пластин, проводилась сравнением с решениями пространственной задачи, полученных с помощью пакета конечно-элементного анализа ANSYS.

Выбор отсчетной поверхности. Одним из важных аспектов корректного применения гипотез теории пластин является выбор отсчетной поверхности. В качестве примера влияния выбора отсчетной поверхности на максимальные интенсивности напряжений и перемещений, рассмотрим однослойную стальную кольцевую пластину. На рис. 2, для частного случая задачи растяжения пластины, приведены зависимости уровня максимальных удлинений и интенсивностей напряжений от выбора отсчетной поверхности, рассчитанные по различным теориям: 1 - классической теории [1], 2 - теории Тимошенко [2], 3 - уточненной теории Андреева-Немировского [3]. На рис. 2 - соответствует нижней отсчетной поверхности, - срединной, - верхней. Уровень максимальных величин, полученных в рамках пространственной теории упругости, обозначен на графиках сплошной линией с индексом “3d”. Интенсивность напряжений вычислялась по формуле:

,

где - компоненты тензора напряжений. Одной из причин существенного влияния выбора отсчетной поверхности на полученные результаты является способ моделирования нагружения и закрепления пластины. Проиллюстрируем это на следующем примере. Пространственным аналогом задачи теории пластин с нижней отсчетной поверхностью является задача о растяжении кольца нагрузкой, приложенной вдоль его нижней кромки нагрузкой (рис. 3а). В этом случае имеют место значительные краевые эффекты (рис. 3б). При использовании классической теории и теории Тимошенко краевые эффекты практически не “улавливаются”, тогда как расчет по уточненной теории [3] дает верную качественную картину, но количественная оценка отличается примерно в 3,5 раза.

Параметры расчета: м, м, м, м, Н/м.

Использование различных теорий пластин при решении задачи изгиба кольца показало, что результаты практически не зависят от выбора отсчетной поверхности, а характер распределения характеристик НДС достаточно точно определяется в рамках теорий пластин. Хорошее согласование результатов является следствием того, что для задачи изгиба проблема моделирования нагружения и закрепления кольца определяется однозначно.

Влияние механических характеристик КМ. Исследовано влияние механических параметров композиционного материала (КМ) на оценку уровня напряжений и деформаций в кольце с центральным отверстием при использовании различных теорий. В табл. 1 приведены значения механических характеристик арматуры и связующего для различных КМ.

С использованием структурной модели КМ [6], проведен параметрический анализ по определению максимального уровня приведенных интенсивностей напряжений в связующем материале и арматуре , удлинений u и прогибов w в трехслойной кольцевой пластине с центральным отверстием. Максимальные значения величин вычислялись по толщине и радиусу кольца, а также углу армирования внешних слоев , при этом арматура во внутреннем слое ₀ была уложена по окружностям. Относительная разность между результатами, полученными по различным теориям, рассчитывалась по формуле: , и приведена в табл.2. Здесь индексом 1 обозначена теория Кирхгофа-Лява, 2 - Тимошенко, 3 - Андреева-Немировского, 4 - Григолюка-Чулкова [4].

Наименьшее отличие от расчетных величин, полученных с использованием классической теории Кирхгофа-Лява, зафиксировано для теории Тимошенко, наибольшее - для теории Андреева-Немировского. При этом следует отметить, что чем меньше отличие между компонентами КМ, тем меньше отличие, получаемое при использовании уточненных теорий пластин.

Таким образом, применение КМ с существенно различными характеристиками обуславливает необходимость применения уточненных теорий расчета.

Параметры расчета: м, м, м, м; , , Н/м², Н/м.

Влияние геометрических характеристик. Радиус внутреннего отверстия. Исследовано влияние радиуса внутреннего отверстия на результаты, полученные при использовании различных теорий. При этом использовались аналитические решения неклассической теории [3], полученные в [7].

На рис. 4а показаны зависимости приведенных сдвигов от радиальной координаты для различных значений R₀ (обозначены цифрами на рис. 4а). На рис. 4б показаны приведенные прогибы . Здесь сплошными линиями обозначены результаты, полученные по трехмерной теории, штрихпунктирные - по классической теории [1] и пунктирные - по уточненной теории [3].

Уменьшение радиуса внутреннего отверстия приводит к существенному возрастанию сдвигов и, как следствие, увеличению разности между решениями, полученными по классической [1] и уточненной [3] теориям. Сравнение с решением, полученным в пространственной постановке, показывает хорошее совпадение результатов для уточненной теории. Однако, и в этом случае, уменьшение отверстия приводит к росту отличия между ними.

Параметры расчета: м, м, м, м; Па, Па, Н/м².

Эксцентриситет. Исследовано влияние смещения отверстия на результаты, полученные при использовании различных гипотез теории пластин при той же геометрии кольца. На рис. 5 показано влияние эксцентриситета отверстия на расчетные интенсивности напряжений в связующем материале и арматуре, полученные при использовании классической теории (пунктирные кривые) и уточненной [3] (сплошные). Цифрами на рис. 5 обозначено отношение .

Увеличение эксцентриситета приводит к усилению краевых эффектов, обусловленных наличием поперечных сдвигов, о чем свидетельствует рост относительной разности между решениями по теориям, с учетом и без учета поперечных сдвигов. Однако если использовать возможности КМ по изменению структуры армирования, то можно значительно снизить этот эффект. Для приведенного примера использование радиального армирования позволяет существенно разгрузить связующее и перераспределить нагрузку на волокна, обладающие более высокой прочностью.

Параметры расчета: Па, Па, , , Н/м, Н/м², .

Заключение

Показано, что выбор отсчетной поверхности значительно влияет на результаты, получаемые при использовании теорий пластин (в некоторых случаях - почти на порядок). Одним из важных факторов, влияющих на выбор отсчетной поверхности, является моделирование прикладываемых нагрузок и способов закрепления.

Необходимость использования уточненных теорий обуславливается наличием в конструкции геометрических “особенностей” (в частности, малого радиуса внутреннего отверстия, смещения центра отверстия) и использованием композиционных материалов с существенно отличными механическими характеристиками компонент (в частности, композитов на полимерной основе).

Библиографический список

1. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. - Л.: Судпромгиз, 1951.

2. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек. - М.: Наука, 1992.

3. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания. - Новосибирск: Наука, 2001.

4. Григолюк Э.И., Чулков П.П. К общей теории трехслойных оболочек большого прогиба // Докл. АН СССР. - 1963. - Т. 150. № 5.

5. Голушко С.К., Горшков В.В., Юрченко А.В. О двух численных методах решения многоточечных нелинейных краевых задач // Вычислительные технологии. - 2002. - Т. 7, № 2.

6. Немировский Ю.В. К теории термоупругого изгиба армированных оболочек и пластин // Механика полимеров. - 1972. - № 5.

7. Голушко С.К., Морозова Е.В., Юрченко А.В. О численном решении краевых задач для жестких систем дифференциальных уравнений // Вестник КазНУ. Серия: математика, механика, информатика. - 2005. - № 2.

Приложение

Таблица 1

Таблица 2

Размещено на Allbest.ru