Размещено на http://www.allbest.ru/

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Ордена Ленина Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша

УДК 517.958

Моделирование тепловых процессов при трении якоря о рельсы в электродинамическом ускорителе

М.П. Галанин, К.К. Миляев

Москва - 2000

Аннотация

В работе рассматриваются процессы, происходящие при генерировании тепла механическим трением на контактной поверхности якорь/рельс в электродинамическом ускорителе типа рельсотрон. джоулев нагрев отсутствует. Приведена соответствующая физико-математическая модель и описана специфика построения численного алгоритма. При определенных допущениях получены аналитические решения, которые согласуются с численными результатами.

Abstract

The processes caused by the generation of heat due to mechanical friction at the contact surface armature/rail in an electromagnetic launcher of a railgun type are considered. The Joule heating is absent. The corresponding physical-mathematical model is presented, specific features of a numerical algorithm are described. Under certain assumptions the analytical solutions are obtained. Analytical solutions are in a good agreement with the numerical results.

Содержание

Введение. Постановка задачи

§ 1. Численный алгоритм

§ 2. Приближенные аналитические решения

• 2.1 Распределение температуры вдоль поверхности контакта
• 2.2 Решение при наличии скачка теплового потока на контактной границе двух бесконечных полупространств
• 2.3 Снос тепла от источника

§ 3. Численные расчеты

Заключение

Литература

трение генерирование рельсотрон температура

Введение. Постановка задачи

Настоящая работа посвящена исследованию тепловых процессов на контактах электродинамического ускорителя макротел типа рельсотрон [1,2], типичная схема которого представлена на рис. 0.1. Интерес к подобной задаче вызван следующими обстоятельствами. Современные ускорители макротел массой 10^-3 - 1 кг, типичными представителями которых являются различные виды метателей, использующих газодинамическое давление продуктов сгорания химических соединений, обладают скоростью снаряда, ограниченной величиной 1-1,8 км/с. Электродинамический рельсовый ускоритель свободен от этих ограничений. Здесь ускоряющая сила обеспечивается давлением магнитного поля или, иначе, силой Лоренца. Величина силы не имеет явной зависимости от скорости тела, которая в этом случае могла бы иметь верхний предел, ограниченный лишь релятивистскими эффектами. Так, плазменные сгустки удается разгонять до скоростей вплоть до 1000 км/с. К сожалению, реальная ситуация с разгоном твердых тел оказалась много сложнее, чем представлялось на первый взгляд.

Рис. 0.1. 1- рельс, 2- якорь.

Уже первые удачные эксперименты показали, что металлический контакт между якорем и рельсами разрушается, а переход к плазменной токовой перемычке сопровождается резким падением КПД преобразования электрической энергии в кинетическую. С ростом скорости контакт якорь/рельс теряет свойства чисто металлического и превращается в смешанный (появляется дуга, т.е. плазма). Это приводит к разрушению как якоря, так и рельса, и не позволяет добиться желаемого результата (электрическая энергия, запасенная в источнике, не преобразуется в кинетическую энергию якоря). Разрушение металлического электрического контакта является результатом действия многих физических факторов, действующих в наиболее напряженном (во всех отношениях) месте ускорителя - месте контакта. Главными из них являются электромагнитные явления и вызванный ими джоулев нагрев. Однако тепловыделение за счет трения также вносит значительный вклад в плавление и испарение материала контактирующих тел. Подробнее физические явления на контактах электромагнитного ускорителя описаны в [3]. Целью данной работы является изучение вклада трения в процесс разрушения электрического металлического контакта.

Рис. 0.2. Геометрия задачи.

В данной работе не рассматривается электромагнитное поле и соответствующий протеканию тока джоулев нагрев. Причины этого следующие. Механическое трение происходит на всей контактной поверхности якоря, тогда как электрический ток обычно концентрируется около его задней кромки (так называемый скоростной скин - эффект [3]). Это означает, что тепловые процессы, происходящие при трении, возможно исследовать отдельно.

Достаточно полная математическая модель явлений, протекающих при электромагнитном ускорении проводящих макротел, представлена в [4]. Для определения роли одного лишь трения в отдельности ток в модели [4] положен равным нулю. Скорость якоря будем считать заданной. Мы ограничимся пространственно двумерным приближением. Соответствующая геометрия представлена на рис. 0.2.

Поскольку электромагнитное поле отсутствует, то фактически от модели [4] остается одно уравнение энергии - уравнение теплопроводности. С учетом движения проводящего якоря оно принимает следующий вид:

(0.1)

Уравнение (0.1) записано с применением смешанных эйлерово - лагранжевых (СЭЛ) переменных. Производная D/Dt означает производную по времени при фиксированных СЭЛ - переменных. В (0.1) ??- плотность, ??- удельная внутренняя энергия, u - скорость движения вещества, v - скорость движения якоря, ???- удельная теплопроводность, T - температура, Q_tr - мощность тепловыделения, c_V - удельная теплоемкость при постоянном объеме, k_t - коэффициент трения, ?_n - нормальное механическое давление на контакте, ??- дельта - функция Дирака.

В настоящей работе исследовано решение задачи (0.1) численными и аналитическими методами. Сопоставлены между собой решения, полученные различными способами. Получены распределения температуры вдоль контакта двух трущихся проводников, свидетельствующие об очень быстром возникновении жидкой пленки на поверхности контакта.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 00 - 02 - 16130).

Рис. 1.1. Треугольник и части трех ячеек Дирихле.

§ 1. Численный алгоритм

Подробно использованный вычислительный алгоритм описан в работах [4-6]. Укажем здесь лишь некоторые его особенности. Алгоритм для реализации модели на ЭВМ основан на методе конечных элементов [7,8] и удовлетворяет требованиям полной консервативности и квазимонотонности. Для аппроксимации величин применялись два семейства функций, соответствующих разбиению области на треугольники и ячейки Дирихле. На рис. 1.1 представлен один такой треугольник и его разбиение на три части перпендикулярами к серединам сторон, образующими стороны ячеек Дирихле, пересекающихся с данным треугольником. Первое семейство - это плоскость в пределах треугольника, проходящая через 1 в одной из вершин и 0 в двух других. Второе - это характеристическая функция ячеек Дирихле, т.е. 1 внутри ячейки и 0 вне ее. Система линейных алгебраических уравнений для амплитуд конечных элементов получена с помощью алгоритмов Галеркина и Галеркина - Петрова [7].

Предварительные расчеты температуры контакта показали, что в некоторых случаях численное решение может быть немонотонным по пространству - см. рис. 1.2.а. Это связано с использованием при дискретизации пространственной части уравнения теплопроводности алгоритма Галеркина - Петрова и интерполяции первого вида. Данный подход приводит к аппроксимации первой производной по пространству, которая похожа на схему типа центральной разности. Известно [9], что такие схемы дают немонотонные решения.

Чтобы избежать немонотонности решения, была введена искусственная теплопроводность (ИТ). В правую часть уравнения теплопроводности при этом добавляется член div (|w|?c_vd_T grad T). Тогда для обеспечения квазимонотонности решения (т.е удовлетворения схемой условиям принципа максимума) в каждой из частей ячейки Дирихле имеем следующие условия:

(1.1)

Они выписаны на примере части ячейки Дирихле, прилегающей к 1 - ой точке в рассматриваемом треугольнике с рис. 1.1.

Здесь S₁ - площадь части рассматриваемой ячейки Дирихле в данном треугольнике, n₁ и n₂ - внешние нормали к ее граням в треугольнике. l₁ и l₃ - длины этих граней, j - интерполяционные функции конечных элементов, привязанные к треугольникам, b_i - коэффициенты, с помощью которых задаются интерполянты j (приведены ниже). Условия (1.1) выписаны для каждого коэффициента перед амплитудой конечного элемента по отдельности. В каждом из треугольников функции ? имеют вид:

(1.2)

где ?_j - треугольник номера j, - множество треугольников, имеющих точку i₁ своей вершиной. Необходимо добавить еще две тройки неравенств для частей ячеек Дирихле, прилегающих к точкам 2 и 3. Минимальное неотрицательное решение получаемой системы девяти уравнений и дает значение искомой ИТ в данном треугольнике.

Рис. 1.2. Немонотонность распределения температуры по пространству (изотермы).

Необходимость во введении ИТ возникает, если условие h < /??cv, где h - характерный линейный размер ячейки, не выполняется. Минимальное значение h ограничено методом генерирования ячеек (т.е. возможностями используемой ЭВМ). В описываемых расчетах оно составляло около 4^.10^-6 м, поэтому необходимо применять ИТ (правая часть последнего неравенства в данном случае около 10^-7 м).

Введение ИТ в линейной форме (коэффициент ИТ пропорционален величине скорости якоря и не зависит от температуры), как это описано выше, привело к значительному расхождению между численным решением и аналитическим решением. Соответствующее распределение температуры представлено на рис.1.2.б. Видно, что тепло распределяется на всю глубину рельса.

Однако возможно выбрать нелинейную ИТ, величина которой зависит от решения в данном треугольнике, аналогично схеме с "лимитерами" из [10]. При этом принцип максимума в каждой ячейке остается справедливым. Данный подход, более подробно описанный в [4-6], позволяет избавиться от немонотонности решения корректным образом. Результат расчета решения с нелинейной ИТ представлен на рис. 1.2.в. Видно, что, с одной стороны, решение является монотонным, с другой - полоса распространения тепла соответствует расчету без ИТ.

§ 2. Приближенные аналитические решения