Устойчивость нелинейных дифференциальных повторяющихся процессов

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Арзамасский политехнический институт

Нижегородского государственного технического университета имени Р.Е. Алексеева

Устойчивость нелинейных дифференциальных повторяющихся процессов

М.А. Емельянов

Представлены новые результаты по устойчивости и стабилизации нелинейных дифференциальных, повторяющихся процессов, согласующиеся в случае линейных моделей с известными результатами линейной теории. Результаты применяются для построения алгоритмов управления с итеративным обучением для систем с неопределенными параметрами.

Введение

В литературе, посвященной исследованию устойчивости повторяющихся процессов и других классов 2D систем, в основном рассматриваются линейные модели [4].

В настоящей работе для нелинейных повторяющихся процессов вводится новое понятие устойчивости по профилю повторения, адекватно отражающее особенности их протекания. Полученные общие результаты применяются для решения задачи синтеза управления с итеративным обучением для системы, описываемой дифференциальными уравнениями с неопределенными параметрами при наличии случайных информационных нарушений.

Частный выбор векторной функции Ляпунова с компонентами в виде квадратичных форм позволяет свести задачу синтеза закона управления с итеративным обучением к решению системы связанных линейных матричных неравенств.

Устойчивость детерминированных процессов

Рассмотрим нелинейный повторяющийся процесс с длительностью повторения который описываются на отрезке следующей моделью в пространстве состояний

(1)

где - номер повторения (итерации) и на итерации - текущий вектор состояния, - вектор профиля повторения, и нелинейные функции, такие что и . Граничные условия, то есть, последовательность векторов начального состояния, и начальный профиль повторения считаются известными и имеют вид

(2)

где элементы вектора - известные постоянные; элементы вектора - известные функции , кроме того, предполагается, что и удовлетворяют неравенствам

, (3)

- положительный скаляр и определяет скорость сходимости последовательности начальных векторов состояния.

Далее евклидова норма вектора обозначается как Для простоты будем писать, например, вместо в тех случаях, когда обозначение очевидно.

Зададим норму вектора профиля повторения как

(4)

Определение 1. Система (1) называется экспонециально устойчивой по профилю повторения, если при граничных условиях, удовлетворяющих (3)

(5)

где зависит от длины профиля повторения , и в общем случае зависит от .

Для получения экспоненциальной устойчивости по профилю повторения процесса (1) применим метод векторной функции Ляпунова с использованием идеи дивергентного подхода [1,5].

Выберем функцию

(6)

где и определим аналог оператора дивергенции этой функции вдоль траекторий (1) следующим образом

(7)

где .

Теорема 1. Рассмотрим нелинейный дифференциальный повторяющийся процесс (1) с граничными условиями, которые удовлетворяют (3). Пусть существуют положительные константы такие, что и при этом векторная функция , определяемая формулой (6) и ее оператор дивергенции (7) вдоль траекторий системы (1) удовлетворяют соотношениям

(8)

(9)

(10)

Тогда система (1) экспонециально устойчива по профилю повторения.

Устойчивость процессов с нарушениями

Рассмотрим нелинейный повторяющийся процесс в условиях, когда происходят случайные скачкообразные изменения параметров и (или) структуры. Эти изменения будем рассматривать как однородный марковский процесс, развивающийся во времени.

(11)

где - однородный марковский процесс с дискретным пространством состояний и вероятностями перехода.

(12)

и - нелинейные функции, такие, что для всех

Последовательность начальных векторов состояния и начальный профиль повторения заданы соотношениями (2) и удовлетворяют условиям (3).

Зададим норму вектора профиля повторения

,

где - оператор математического ожидания и определим устойчивость по профилю повторения процесса (11) следующим образом.

Определение 2. Систему (11) назовем экспоненциально устойчивой по профилю повторения в среднем квадратическом, если для любых граничных условий, удовлетворяющих (3), существуют скаляры и такие что

Для получения условий экспоненциальной устойчивости в среднем квадратическом процесса (11) рассмотрим следующую векторную функцию Ляпунова

(13)

где .

Если дифференцируема по для каждого , то с учетом (12), (13), получим

(14)

Определим далее оператор , представляющий собой стохастический аналог дивергенции векторной функции (16)

. (15)

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Рассмотрим нелинейный дифференциальный повторяющийся процесс (12), (13) с граничными условиями, удовлетворяющими (3). Предположим, что существуют положительные константы такие, что и при этом функция вдоль траекторий системы (11), (12) и ее оператор удовлетворяет неравенствам

(16)

(17)

(18)

Тогда система (11), (12) экспоненциально устойчива по профилю повторения в среднем квадратическом.

Заметим, что теорема останется справедливой, если функции в правой части (11) явно зависят от переменной t.

Управление с итеративным обучением непрерывными системами с неопределенностями

нелинейный дифференциальный неопределенность

Рассмотрим систему, динамика которой описывается следующей моделью в пространстве состояний

(19)

где - вектор состояния, - вектор управления, вектор выхода и вектор неопределенных параметров. - матрицы соответствующих размеров, причем матрицы зависят от неопределенных параметров и эта зависимость носит аффинный характер, т.е.

(20)

где - размерность вектора неопределенностей, Каждый из элементов является ограниченным на отрезке:

(21)

Обозначим

(22)

Пусть - номер итерации , и - векторы входных и выходных значений соответственно в момент

где - длительность повторения.

С учетом сказанного модель системы (19) запишется в виде

(23)

со следующими граничными условиями

(24)

Предположим, что система должна многократно повторять на выходе заданный сигнал на интервале всякий раз возвращаясь в начальное состояние.

Обозначим через ошибку воспроизведения заданного сигнала на шаге

Задача управления с итеративным обучением заключается в формировании такой сходящейся последовательности функций , которая, будучи применена в качестве управляющей последовательности в (23), обеспечивает сходимость ошибки к нулю, т.е.

(25)

Закон управления с итеративным обучением формирует входное воздействие на шаге , используя значение с предыдущего шага с корректирующей поправкой , т.е.

(26)

Запишем систему управления с итеративным обучением в виде дифференциального повторяющегося процесса

(27)

а также

(28)

Тогда, динамика системы управления с итеративным обучением может быть представлена в виде линейного дифференциального повторяющегося процесса с неопределенностями в следующей форме

(29)

Рассмотрим случай, когда корректирующая поправка формируется по линейному закону:

(30)

В этом случае, если (30) гарантирует экспоненциальную устойчивость по профилю повторения системы (29), то закон управления с итеративным обучением является сходящимся в смысле (25). Далее, подставляя (30) в (29) можно записать

(31)

Матрицы усиления , теперь могут быть найдены в результате применения условий теоремы 2 к системе (29).

Выберем компоненты функции Ляпунова (6) в виде квадратичных форм

где и положительно определенные матрицы соответствующей размерности и дивергенция функции Ляпунова (6) должна удовлетворять (10).

Тогда, вычисляя дивергенцию функции (6) вдоль траекторий системы (31) получим следующие условия экспоненциальной устойчивости по профилю повторения этой системы:

(32)

Где

Используя теорему Шура о дополнении, перепишем (32) в следующей форме билинейных матричных неравенств

Где

Определим и В результате простых, но громоздких преобразований сведем предыдущие неравенства к следующим линейным матричным неравенствам

(33)

Где

Рассмотрим систему (23),с граничными условиями (24) и законом управления (26), (30). Предположим, что линейные матричные неравенства (33), где , имеют решение. Тогда закон управления с итеративным обучением сходится и и .

Введем

(34)

Произведем замену в системе (26)

(35)

В результате динамика системы с учетом (26) и (34) будет иметь вид

(36)

где имеет вид

Система с такой матрицей не является устойчивой вдоль повторения [4] и сходимость ошибки управления с итеративным обучением не достигается. В то же время для закона управления (30) теорема 3 гарантирует сходимость закона управления с итеративным обучением.

Результаты могут быть распространены на случай информационных нарушений, когда

Заключение

В данной работе представлены новые результаты по устойчивости нелинейных дифференциальных повторяющихся процессов на основе нестандартного развития метода векторных функций Ляпунова. Чтобы продемонстрировать потенциал полученных теоретических результатов, показано, как они могут быть применены для построения управления с итеративным обучением, в условиях неопределенности. Кроме того эти результаты могут рассматриваться как базовые для дальнейших более глубоких исследований нелинейных повторяющихся процессов методом функций Ляпунова.

Работа проводилась при поддержке гранта РФФИ № 13-08-01092

Литература

Жуков В.П. Полевые методы в исследовании нелинейных динамических систем. М.: Наука, 1992.

Arimoto S., Kawamura S., Miyazaki F. Bettering operation of robots by learning // J. Robot. Syst. 1984. Vol. 1. P. 123-140.

Pakshin P., Emelianova J., Galkowski K., Rogers E. Iterative learning control under parameter uncertainty and failures // Proc. 2012 IEEE Int. Symposium on Intelligent Control (ISIC). Part of 2012 IEEE Multi-Conference on Systems and Control. Dubrovnik, Croatia, October 3-5, 2012. P. 1249-1254.

Rogers E., Galkowski K., Owens D. Control Systems Theory and Applications for Linear Repetitive Processes. Lecture Notes in Control and Information Sciences. Springer-Verlag, Berlin, 2007. Vol. 349.

Rantzer A. A dual to Lyapunov's stability theorem // Syst. Control Lett. 2001. Vol.42. P.161-168.

Размещено на Allbest.ru