Оценка напряженно-деформированного состояния слоистых анизотропных стержней
Рассмотрение задачи о растяжении многослойного стержня, механические и геометрические характеристики которого симметричны относительно продольной плоскости. Рассмотрен порядок решения пространственной задачи теории упругости в постановке Сен-Венана.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.10.2018 |
| Размер файла | 73,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Оценка напряженно-деформированного состояния слоистых анизотропных стержней
Горынин Г.Л., Немировский Ю.В.
г. Ханты-Мансийск, г. Новосибирск
Рассмотрим задачу о растяжении многослойного стержня (рис. 1), механические и геометрические характеристики которого симметричны относительно продольной плоскости yOz. Каждый из слоев стержня состоит из упругого ортотропного материала, подчиняющегося закону Гука:
Размещено на http://www.allbest.ru/
, ,
, , , (1)
где s - число слоев; , - компоненты тензоров напряжений и деформаций для i-го слоя; , - упругие константы (9 шт.). Первое равенство закона Гука (1) может быть записано в иной форме, с использованием другой системы упругих констант:
,
,
, (2)
где для упругих констант справедливы следующие выражения
, ,
;
. (3)
Представляет интерес совместная работа слоев, поэтому данную задачу будем рассматривать как пространственную задачу теории упругости в постановке Сен-Венана, где на торцах стержня задана интегральная характеристика -растягивающая сила P. Решение такой задачи в общем случае не имеет аналитического решения, однако метод жесткостных функций (второе название - метод асимптотического расщепления), разработанный авторами [1], гарантирует, что точное решение данной задачи может быть представлено в виде:
, ,
, , , , (4)
где , - жесткостные функции, зависящие только о поперечных координат x и y; - функция продольного смещения, подчиняющаяся уравнению:
, (5)
где - продольная жесткость сечения слоистого стержня.
Жесткостные функции, входящие в формулы (4), являются решениями краевой задачи в поперечном сечении стержня:
растяжение многослойный стержень анизотропный
, . (6)
условия на боковой поверхности стержня:
при х=0 и х=1, при y=-0.5b и y=0.5b, . (7)
условия сопряжения жесткостных функций на границах между слоями плиты
, , , ; (8)
связь между жесткостными функциями вектора перемещений и тензора напряжений , ,
. (9)
Продольная жесткость равняется интегралу жесткостных функций по сечению стержня:
, (10)
где - площадь сечения i-го слоя.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Краевая задача (6)-(9) в общем случае не имеет аналитического решения, т.к. вблизи продольных кромок стержня возникают кромочные пограничные слои [2]. Из анализа таких задач известно, что внутри кромочных слоев возникают внутренние силы, стремящиеся оторвать слои друг от друга и сдвинуть из относительно друг друга (рис. 2б). Вне этих кромочных слоев материальные слои не давят друг на друга, а общее напряженно-деформированное состояние является однородным.
Поставим задачу только для основного решения, для этого изменим краевые условия (7), в соответствии с рис. 2а будем считать, что
, при y=-0.5b и y=0.5b. (11)
Уравнения краевой задачи (6)-(9), (11) для жесткостных функций будут выполняться тождественно, если положить, что внутри сечения стержня в каждой точке i-го слоя справедливы равенства
, , , . (12)
Докажем, что их выполнение не противоречит равенствам, в которых задействованы жесткостные функции , будем считать, что эти функции имеют вид:
, , (13)
где , - константы, которые требуют своего определения, и которые, с учетом равенств (4), имеют физический смысл: константа - это отношение деформации вдоль оси х к деформации вдоль оси z для слоя с номером i, т.е. это коэффициент Пуассона в направлении оси x для i-го слоя при условии, что он деформируется совместно с другими слоями; константа - это коэффициент Пуассона в направлении оси y для всего стержня или средний коэффициент Пуассона.
При законе (13) второе равенство (12) с учетом формул (9) выполняется тождественно, а из двух других получается система уравнений
, .
. (14)
Преобразуем первое уравнение (14)
, (15)
и подставим во второе
, (16)
где величина - это отклонение коэффициента Пуассона материала слоя от среднего значения для всего стержня:
. (17)
Из рис. 2a следует, что для отсеченного кромочного слоя должны выполняться уравнение равновесия, сумма сил в направлении оси y равна нулю:
, (18)
где - высота i-го слоя. Уравнение равновесия для моментов выполняется тождественно в силу симметрии механических и геометрических свойств сечения стержня.
Подставим равенство (16) в равенство (18) и учтем выражение (17), получим формулу для среднего коэффициента Пуассона
. (19)
Из равенств (3) следует очевидное тождество
, (20)
Воспользуемся им и преобразуем равенство (15)
. (21)
Подставим формулы (3) в равенство (9) и воспользуемся равенством (21)
. (22)
Подставим полученное выражение в равенство (10), получим выражение для продольной жесткости:
. (23)
Из равенств (4), (5) и (22) следует выражение для продольных напряжений при растяжении слоистого стержня силой P:
. (24)
Величина - это продольная жесткость i-го слоя стержня при его обособленном растяжении от других слоев, тогда величина - это сумма жесткостей всех обособленных слоев стержня, она зависит только от одной упругой константы на каждом слое. Выражение (23) показывает, что продольная жесткость стержня при совместной деформации слоев отличается от суммы жесткостей всех обособленных слоев стержня на величину, зависящую как от абсолютных значений коэффициентов Пуассона для каждого слоя стержня, так и от величины их отличия от эффективного коэффициента Пуассона . В общем случае жесткость стержня зависит от всех шести упругих констант.
Если же коэффициенты Пуассона совпадают для всех слоев, то, как это следует из выражений (17) и (19), величина тождественно равняется нулю. В этом случае продольная жесткость совпадает с суммой жесткостей каждого из слоев и выражения для нее и продольных напряжений принимают обычный «сопроматовский» вид:
, .
Полученные формулы (23), (24) могут быть полезны для оценки полученных результатов при проведении механических испытаний слоистых композитов на растяжение-сжатие.
Литература
1. Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Пространственные задачи изгиба и кручения слоистых конструкций. Метод асимптотического расщепления. - Новосибирск: Наука, 2004. - 408 с.
2. Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Кромочный эффект в слоистых изотропных композитах // Избранные вопросы теории упругости, пластичности и ползучести. - Ереван: Издательство «Гитутюн» НАН Армении, 2006. - С. 127-137.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Рассматриваются особенности расчета напряженно-деформированного состояния воздухоопорной оболочки методами теории открытых систем (OST) и методами безмоментной теории оболочек (MTS). Сравнение результатов данных расчетов с экспериментальными данными.
контрольная работа [849,2 K], добавлен 31.05.2012Теория напряженно-деформированного состояния в точке тела. Связь между напряженным и деформированным состоянием для упругих тел. Основные уравнения и типы задач теории упругости. Принцип возможных перемещений Лагранжа и возможных состояний Кастильяно.
реферат [956,3 K], добавлен 13.11.2011Вычисление коэффициента интенсивности напряжения для произвольной формы образца и заданного распределения внешней нагрузки в теории упругости. Критическая сила при растяжении плоскости парой сосредоточенных сил. Условия равновесия для полосы с трещиной.
методичка [132,9 K], добавлен 02.03.2010Решение задачи на построение эпюр продольных сил и нормальных напряжений ступенчатого стержня. Проектирование нового стержня, отвечающего условию прочности. Определение перемещения сечений относительно неподвижной заделки и построение эпюры перемещений.
задача [44,4 K], добавлен 10.12.2011Понятие растяжения как вида нагружения, особенности действия сил и основные характеристики. Различия между сжатием и растяжением. Сущность напряжения, возникающего в поперечном сечении растянутого стержня, понятие относительного удлинения стержня.
реферат [857,3 K], добавлен 23.06.2010- Вариант определения напряженно-деформированного состояния упругого тела конечных размеров с трещиной
Изучение процесса разрушения твердых тел при распространении трещины. Возникновение метода конечных элементов. Введение локальной и глобальной нумерации узлов. Рассмотрение модели трещины в виде физического разреза и материального слоя на его продолжении.
курсовая работа [2,7 M], добавлен 26.12.2014 Определение положения центра тяжести, главных центральных осей инерции и величины главных моментов инерции. Вычисление осевых и центробежных моментов инерции относительно центральных осей. Построение круга инерции и нахождение направлений главных осей.
контрольная работа [298,4 K], добавлен 07.11.2013Методические особенности изучения темы "Поляризация света" в школьном курсе физики. План-конспект урока по соответствующей тематике. Задачи для самостоятельного решения. Описание демонстрационных опытов, порядок их проведения и оценка результатов.
курсовая работа [111,8 K], добавлен 01.07.2014Изучение характеристик модели, связанных с инфильтрацией воздуха через материал. Структура материалов тела. Анализ особенностей механизма диффузии. Экспериментальное исследование диффузии, а также методика расчета функции состояния системы с ее учетом.
научная работа [1,3 M], добавлен 11.12.2012Момент силы относительно центра как вектор, приложенный к центру О, направленный перпендикулярно плоскости, образованной векторами по правилу правого винта. Порядок вычисления момента силы относительно оси. Свойства момента пары сил, их сложение.
презентация [74,0 K], добавлен 08.04.2015Расчет напряженно-деформированного состояния ортотропного покрытия на упругом основании. Распределение напряжений и перемещений в ортотропной полосе на жестком основании. Приближенный расчет напряженного состояния покрытия из композиционного материала.
курсовая работа [3,3 M], добавлен 13.12.2016Требования к выполнению расчетно-графических работ. Примеры типовых задач: система сходящихся сил в плоскости; равновесие тела в плоскости; определение реакций двухопорной балки; равновесие системы тел в плоскости; равновесие пространственной системы сил.
методичка [204,4 K], добавлен 22.03.2010Построение эпюры нормальных сил и напряжений. Методика расчета задач на прочность. Подбор поперечного сечения стержня. Определение напряжения в любой точке поперечного сечения при растяжении и сжатии. Определение удлинения стержня по формуле Гука.
методичка [173,8 K], добавлен 05.04.2010Свойства независимых комбинаций продольной и поперечной объемных волн. Закон Гука в линейной теории упругости при малых деформациях. Коэффициент Пуассона, тензоры напряжения и деформации. Второй закон Ньютона для элементов упругой деформированной среды.
реферат [133,7 K], добавлен 15.10.2011Расчет на прочность статически определимых систем при растяжении и сжатии. Последовательность решения поставленной задачи. Подбор размера поперечного сечения. Определение потенциальной энергии упругих деформаций. Расчет бруса на прочность и жесткость.
курсовая работа [458,2 K], добавлен 20.02.2009Методические указания и задания по дисциплине "Сопротивление материалов" для студентов-заочников по темам: растяжение и сжатие стержня, сдвиг, кручение, теория напряженного состояния и теория прочности, изгиб прямых стержней, сложное сопротивление.
методичка [1,4 M], добавлен 22.01.2012Конкретизация условий, построение и анализ модели задачи. Нахождение принципиального решения технической задачи для первой подсистемы. Модель задачи для подсистемы управления передаточным отношением. Выявление и разрешение противоречий.
статья [521,8 K], добавлен 30.07.2007Особенности возникновения внутренних усилий в результате действия внешних нагрузок между смежными частицами тела. Сущность метода сечений для решения пространственной задачи. Определение изгибающего момента в сечении, правила построения эпюр в балках.
реферат [938,9 K], добавлен 11.10.2013Поведение полей напряжений в окрестности концентраторов дефектов и неоднородностей среды, полостей и включений. Теоретическое решение задачи Кирша. Концентрации напряжений. Экспериментальный метод исследования напряжённо-деформированного состояния.
контрольная работа [1,4 M], добавлен 24.03.2011Задачи синтеза схемы эффективной утилизации теплоты. Теплогидравлические и геометрические характеристики схемы. Эффективность процесса утилизации. Определение класса энергетической эффективности здания. Энергосберегающие режимов работы жилого помещения.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 10.11.2014
