1. Постановка задачи. Существует проблема формулировки ограничений на феноменологические нелинейно-вязкие определяющие соотношения, соответствующих сверхпластическим состояниям металлов. В макроскопических экспериментах эти состояния проявляются в необыкновенной стабильности свободной поверхности сплошных цилиндрических образцов при одноосном растяжении или кручении по отношению к развитию локализации деформации, что обеспечивает развитие аномально больших деформаций. В технически привлекательном эксперименте на кручение процесс сопровождается спиральной локализацией деформации. В работе ставится соответствующая начально-краевая задача, для которой требуется найти устойчивые автомодельные решения со спиральной симметрией и условия их существования в виде ограничений на материальную функцию зависимости интенсивности напряжений от интенсивности скоростей деформаций определяющих соотношений жидкости Рейнера - Ривлина. Вводится спиральная система координат, в терминах которой подбирается максимально простые непротиворечивые анзацы сдвиговой структуры.

Автомодельные решения со спиральной симметрией задачи о кручении длинного сплошного цилиндра имеют методическую ценность при изучении больших деформаций твердых деформируемых тел различной реологии. Наблюдаемый экспериментально спиральный рельеф на свободной поверхности цилиндрических образцов при больших деформациях кручения описан в работах [1] (галоидные монокристаллы в воде), [2] (металлические сплавы в сверхпластическом состоянии), [3] (скомпенсированные по диффузионной подвижности Fe, Cr, Ni аустенитных нержавеющих сталях), [4] (эластомеры).

Пусть изменение конфигурации цилиндра подчиняется уравнениям [5]:

(1)

где - пространственный градиент, и - тензоры напряжений и деформаций скорости, - гидростатическое давление, - единичный тензор второго ранга, - скорость перемещений, - интенсивность скоростей деформаций, - материальная функция, а также статическим

(2)

и кинематическим

(3)

условиям на свободной поверхности . Средняя скорость вращения двух произвольных сечений цилиндра вокруг образующей, отнесенная к расстоянию между данными сечениями, считается фиксированной. Для задачи (1) - (3) требуется найти устойчивые автомодельные решения со спиральной симметрией и условия их существования в виде ограничений на функцию . Данная задача имеет отношение к проблеме классификации феноменологических определяющих соотношений вязко-пластичности с целью рациональной формулировки ограничений, соответствующих сверхпластичности.

Уравнения (1) сводятся к системе

(4)

где - чувствительность к скорости деформаций. Предлагается решить (4), (2) с неопределенными функциями времени, затем последние подчинить (3).

2. Спиральная система координат. Построение анзацев удобно выполнять в терминах спиральной системы координат, которая вводится следующими соотношениями:

где - цилиндрические координаты. Радиус-вектор в терминах спиральных координат имеет вид

а ортонормированный локальный репер конструируется из векторов

(5)

к которым присоединяется вектор

(6)

Производные векторов (5) по координатам вычисляются:

(7), где

(8)

остальные , где - произвольные спиральные координаты из набора , определяются условием непрерывности ортонормированного репера (5), (6). Из них

(9)

причем последние две вычисляются по формулам (5) при фиксированном базисе

(10)

а остальные следуют из соотношений Френе

(11)

Соотношения (5) позволяют выяснить асимптотическое поведение двугранника в касательной плоскости к цилиндрической поверхности при в зависимости от шкалы . Когда не зависит от , ориентация этого двугранника также не зависит от , что вряд ли соответствует симметриям каких-либо имеющих физический смысл решений в цилиндре. Все остальные случаи соответствуют правдоподобным ситуациям: при , а при ; шкала отвечает за скорость этих стремлений.

Соотношения (5) позволяет выяснить также параметризацию и асимпотическое поведение периодов спиральных координатных кривых и в зависимости от шкалы . Если при , период спирали равен при , конечной величине , где называется круткой, при и нулю при . При этом период спирали равен нулю при , конечной величине при и при .

Ненулевые аффинные связности [6]

(12)

(для присоединенного репера в общем ) согласно (7), (9) и (11) равны:

(13)

При помощи (12) - (13) находятся выражения для градиента, дивергенции и оператора Лапласа векторного поля в рассматриваемой системе координат:

(14)

(15)

(16)

Отметим, что согласно (8), (10) коэффициенты этих операторов зависят только от . При или имеем равенство и независимо от шкалы - равенства .

В работах [9], [10] разыскивались решения со спиральной симметрией задач динамики идеальной несжимаемой жидкости, для чего искомые поля считались функциями аргументов , а уравнения записывались в цилиндрической системе координат. В работах [5], [8] в упругих задачах для естественно скрученных стержней и цилиндров с винтовой анизотропией для записи уравнений строилась спиральная система координат, подобная приведенной выше.

3. Построение простейших сдвиговых анзацев. Для сдвигового поля скоростей с ненулевой компонентой с помощью (14) - (16) получаем уравнения

спиральная металл сверхпластический кручение цилиндр

(17)

где . Система (17) содержит неизвестные поля и произвольную материальную функцию . В контексте данной работы нас интересуют периодические по решения, отвечающие спиральной симметрии поля скоростей, для существования которых необходимо, чтобы .

Более гибким обобщением является поле скорости , несжимаемое при и линейности по , дополнительно предусматривающее линейное натяжение материальных кривых вдоль спиралей .

Другим привлекательным обобщением является поле скорости , несжимаемое при линейности по .

Это структура поля отражает сдвиговой характер течения вдоль спиральных координат семейства , линейное натяжение материальных кривых, располагающихся вдоль данных координат, а также изменение расстояния между этими координатами. В рамках такого представление за изменение полей по отвечает только функция .

Имеем следующие неизвестные функции и произвольную материальную функцию , для нахождения которых служат уравнения, ниже (из соображений компактности) приводимые в линейном приближении ():

(18)

Исследование данных систем не проведено.

Работа выполнена при поддержке гранта 10-01-96053 конкурса РФФИ-Урал и Интеграционной программы УрО, СО и ДВО РАН, проект N 09-С-1-1008.

Литература