Расчет параметров равновесных состояний механической системы, реализующей растяжение кубического элемента из разупрочняющегося материала
Разработка модели трехосного деформирования кубического образца материала в специальной механической системе. Основные свойства материала куба на всех стадиях его деформирования, их описание выпукло-вогнутым потенциалом. Критические точки отображения.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.10.2018 |
| Размер файла | 323,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Расчет параметров равновесных состояний механической системы, реализующей растяжение кубического элемента из разупрочняющегося материала
Бурмашева Н.В.
Екатеринбург, Россия
Основное содержание исследования
Рассматривается модель трехосного деформирования кубического образца материала в специальной механической системе, в которой нагрузки на образец передаются посредством трех линейно упругих стержней с жесткостями соответственно (соединение шарнирное). Осуществляется активное квазистатическое изотермическое нагружение единичного куба 4 куба путем приложения продольных растягивающих сил к свободным концам стержней 1,2 и задания перемещения свободному концу стержня 3.
Грани куба соединены с жесткими стенками и стержнями таким образом, что куб входе деформирования может приобретать только форму прямоугольного параллелепипеда. Свойства материала куба на всех стадиях его деформирования описываются выпукло-вогнутым потенциалом.
Рис. 1. Механическая система
В отсчетной конфигурации ребра куба получают удлинения , которые согласно элементарной теории напряжений можно трактовать как деформации. По граням куба действуют равномерно распределенные усилия, равнодействующие которых есть величины . Последние согласно элементарной теории есть номинальные напряжения. Схема нагружения и крепления приведена на рисунке.
В качестве выпукло-вогнутого потенциала, учитывающего как состояние упрочнения материала, так и состояние разупрочнения, был взят следующий []:
.
Запишем потенциальную функцию механической системы при смешанном активном нагружении. С учетом единичных размеров куба имеем
,
где первая группа слагаемых - энергия упругих деформаций упругих стержней, а последняя определяет работу растягивающих усилий.
Далее с помощью этой функции получаем систему уравнений равновесия:
. (1)
Здесь запятой обозначено взятие частной производной по соответствующему параметру системы (или , или ). В силу последних двух уравнений системы (1) последняя может быть преобразована к виду
. (2)
Или
. (3)
Перепишем систему нелинейных уравнений (3) в векторном виде
, (4)
где - вектор деформаций, - вектор прилагаемой нагрузки, - вектор с компонентами . Для нахождения всех решений системы предлагается использовать метод Ньютона-Канторовича, согласно которому каждое следующее приближение к решению определяется выражением:
, (5)
где - матрица Якоби системы (4), вычисленная в точке .
Для применения метода Ньютона-Канторовича к решению нелинейных уравнений равновесия необходимо знать начальные приближения к каждому возможному решению, обеспечивающие сходимость итерационной схемы.
Чтобы определить число возможных решений системы (1) исследуем свойства отображения , действующего из трехмерного евклидова пространства деформаций в трехмерное евклидово пространство прилагаемых нагрузок. Поскольку в некоторых точках пространства деформаций матрица Якоби (с точностью до константы совпадающая с матрицей Гессе потенциальной функции ) вырождается, данное отображение является складывающимся. Это означает, что некоторым точкам пространства прилагаемых нагрузок отвечает несколько точек пространства деформаций. Области, точки которых имеют одинаковое число прообразов, разделяются в пространстве нагрузок сепаратрисой. Сепаратриса есть многообразие, полученное путем отображения в пространство нагрузок точек, в которых вырождается якобиан. В данной задаче одна из ветвей сепаратрисы сжимается в точку (начало координат). На рисунках 2 и 3 приведены поверхности критических точек отображения и его качественная геометрия соответственно.
Рисунок 2. Критические точки отображения.
Рисунок 3. Геометрия отображения
равновесное состояние выпуклый вогнутый потенциал
Поверхность критических точек I под действием отображения перейдет в поверхность 1231, а поверхность II - в точку начала координат. При этом, участок 0a оси отобразится в отрезок 01 (рисунок 3), участок ad - в отрезок 10, а оставшаяся после пересечения поверхности II критических точек часть координатной оси отобразится в ноль. Аналогичных образом координатная ось отобразится на отрезок 020. Немного сложнее геометрия образа третьей координатной оси: участок 0c этой оси отобразится на отрезок 03, интервал cn - на отрезок 30, а после пересечения многообразия критических точек образом оси будет являться отрезок 34.
Точкам, расположенным вне области (рисунок 3), не отвечает ни один прообраз из пространства деформаций, и, следовательно, уравнения равновесия не имеют решений. Точки, лежащие в области , имеют по два прообраза (по одному в областях и соответственно), и, следовательно, уравнения равновесия имеют два решения.
Для выбора начальных приближений обеспечивающих сходимость предлагается следующий алгоритм. Так как нагружение системы полагается активным, то все параметры состояния есть неотрицательные величины, а, значит, решения уравнения (4) лежат в первом октанте пространства состояний. Разобьем эту область сеткой узлов с постоянным по всем осям достаточно малым шагом h. Для нахождения начального приближения к первому решению отобразим те узлы, что принадлежат необходимой области ( или ), в пространство управлений с помощью отображения и выбираем среди образов этих узлов ближайшую к заданной точке точку. Узел построенной сетки, удовлетворяющий последнему условию, и следует брать в качестве начального приближения.
Описанный выше подход был реализован в виде комплекса программ, и проведены тестовые расчеты характеристик равновесий при некоторых значениях вектора нагрузки.
Работа выполнена при финансовой поддержке проекта 12-С-1-1030.
Литература
1. В.В. Стружанов, Е.Ю. Просвиряков, Н.В. Бурмашева. Об одном методе построения единого потенциала. Вычисл. мех. сплош. сред. 2009, Т.2, №2, 96-107.
2. В.И. Арноль, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. М.: Наука, 1982.304c.
3. Р. Гилмор. Прикладная теория катастроф: в 2х книгах. Кн.1. М.: Мир, 1984.350c.
4. Л.В. Канторович., Г.Т. Акилов. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.742c.
5. Р. Хорн, Ч. Джонсон. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.655c.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Анализ системы дозирования связующего материала и разработка электропривода для нее. Основные виды электроприводов и их характеристика. Расчет ключевых параметров электропривода, на основании предположительных данных. Система управления электроприводом.
курсовая работа [3,3 M], добавлен 23.12.2013Сущность и назначение процесса легирования полупроводников редкоземельными элементами, основные этапы его проведения и оценка практической эффективности. Люминесценция активированного РзЭ кубического нитрида бора и анализ полученных результатов.
реферат [17,8 K], добавлен 24.06.2010Движение центра масс механической системы. Количество движения точки и импульс силы. Теорема об изменении количества движения механической системы. Движение точки под действием центральной силы. Закон сохранения кинетического момента механической системы.
презентация [533,7 K], добавлен 09.11.2013Основы теории химической связи ковалентных кристаллов: теория МОЛКАO, приближение sp3-гибридизации. Элементарная теория комптон-эффекта. Приближение импульсной аппроксимации для связанных электронов. Расчет комптоновского профиля кубического нитрида бора.
курсовая работа [338,1 K], добавлен 12.04.2012Создание физической модели деформации материала. Система кластеров структурированных частиц. Описание механики процесса пластической деформации металла при обработке давлением и разрушения материала при гидрорезке на основе кавитации, резонансных явлений.
статья [794,6 K], добавлен 07.02.2014Энергетическая теория прочности Гриффитса. Растяжение и сжатие как одноосные воздействия нагрузки. Деформированное состояние в стержне. Зависимость компонентов тензора напряжения от ориентации осей. Теория Ирвина и Орована для квазехрупкого разрушения.
курс лекций [949,8 K], добавлен 12.12.2011Свойства звукоизоляции и звукопроницаемости материалов. Определение звукоизоляции образца звукоизоляционного материала с помощью акустического интерферометра. Характеристики погрешности измерений. Оценка погрешности измерений звукоизоляции образца.
дипломная работа [3,4 M], добавлен 24.06.2012Исследование относительного движения материальной точки в подвижной системе отсчета с помощью дифференциального уравнения. Изучение движения механической системы с применением общих теорем динамики и уравнений Лагранжа. Реакция в опоре вращающегося тела.
курсовая работа [212,5 K], добавлен 08.06.2009Понятие и общая характеристика резины, физические и потребительские свойства данного материала. Способы и методы, основные этапы получения, сферы и преимущества практического применения. Области применения материала в электротехнике и энергетике.
реферат [21,2 K], добавлен 30.06.2014Величина коэффициента и единица измерения теплопроводности. Расчет теплоотдачи у наружной поверхности ограждения. Сущность теплового излучения. Удельная теплоёмкость материала, её зависимость от влажности. Связь теплопроводности и плотности материала.
контрольная работа [35,3 K], добавлен 22.01.2012Выбор источника света и его основные параметров. Расчет геометрических параметров призматических элементов, расположенных выше центрального окна. Свойства элементарного отображения призматического элемента. Обеспечение безопасности светового прибора.
дипломная работа [5,0 M], добавлен 23.04.2012Реостатные и индуктивные преобразователи. Анализ методов и средств контроля линейных перемещений. Расчет параметров оптической системы. Описание оптико-механической схемы. Расчет интегральной чувствительности. Расчет потерь излучения в оптической системе.
курсовая работа [662,2 K], добавлен 19.05.2013Основные электрические величины трансформатора, его размеры. Выбор магнитной системы и материала обмоток. Определение размеров главной изоляции. Расчет обмоток, параметров короткого замыкания. Расчет магнитной системы трансформатора, его тепловой расчет.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 09.05.2012Определение скорости, нормального, касательного и полного ускорения заданной точки механизма в определенный момент времени. Расчет параметров вращения вертикального вала. Рассмотрение заданной механической системы и расчет скорости ее основных элементов.
контрольная работа [2,4 M], добавлен 13.03.2014Анализ кинематической схемы привода. Определение мощности, частоты вращения двигателя. Выбор материала зубчатых колес, твердости, термообработки и материала колес. Расчет закрытой цилиндрической зубчатой передачи. Силовая схема нагружения валов редуктора.
курсовая работа [298,1 K], добавлен 03.03.2016Исследование динамического поведения механической системы с использованием теорем и уравнений теоретической механики. Дифференциальное уравнение движения механической системы. Законы движения первого груза, скорость и ускорение в зависимости от времени.
реферат [107,8 K], добавлен 27.07.2010Традиционные термоэлектрические материалы, теллуриды висмута и свинца. Улучшение термоэлектрической добротности однородных материалов. Термовольтаический эффект в поликристаллическом SmS. Выбор оптимальной концентрации носителей и ширины запрещённой зоны.
дипломная работа [1,3 M], добавлен 11.07.2015Определение скорости сосредоточенной массы. Расчет кинетической и потенциальной энергии механической системы в обобщенных координатах. Составление линейной системы дифференциальных уравнений в приближении малых колебаний двойного нелинейного маятника.
контрольная работа [772,7 K], добавлен 25.10.2012Изучение методики обработки результатов измерений. Определение плотности металлической пластинки с заданной массой вещества. Расчет относительной и абсолютной погрешности определения плотности материала. Методика расчета погрешности вычислений плотности.
лабораторная работа [102,4 K], добавлен 24.10.2022Свойства твердых тел. Основные виды деформации. Основные допущения о свойствах материалов и характере деформирования. Геометрическая схематизация элементов строительных конструкций. Внешнее воздействие на тело. Классификация нагрузок. Крутящий момент.
реферат [2,4 M], добавлен 28.01.2009
