Рассмотрим внутреннюю прямолинейную острую трещину в структурно-неоднородном материале на 2-ом структурном уровне (зернистый материал). В изотропном упругом материале внутренняя трещина моделируется двусторонним разрезом длиной . Пусть на бесконечности заданы нормальные и касательные напряжения, т.е. трещина деформируется по смешанной моде (нормальный отрыв+сдвиг). При выходе трещины на границу двух зерен возможно ветвление трещины или излом ее траектории как следствие несимметрии прочностных свойств материала относительно плоскости трещины. При постепенном нагружении образца нагрузками и , приложенными на бесконечности, в окрестности вершины трещины реализуется сложное напряженное состояние. Будем рассматривать пропорциональное (простое) нагружение, когда . Выбор того или иного пути ветвления и излома траектории трещины определяется прочностными характеристиками материала.

На рис.1 приведены кривые теоретической прочности типа Кулона-Мора для двух изотропных материалов. Кривая 1 описывает поведение квазивязкого материала, а кривая 2 - квазихрупкого материала. Пропорциональный путь нагружения () показан лучом 3, направление которого определяется углом на плоскости , где и - нормальные и сдвигающие напряжения. Теоретические (идеальные) прочности материалов на растяжение обозначены , для кривых 1, 2 соответственно. Теоретические (идеальные) прочности материалов на сдвиг обозначены , для кривых 1, 2 соответственно. Через , обозначены критические значения напряжений на заданном пути деформирования. Ниже величины со звездочкой означают критическое состояние.

Рис. 1

Относительные оценки теоретических прочностей на растяжение и сдвиг в предельных случаях таковы:

1) для материалов, склонных к раскалыванию (хрупкий и квазихрупкий материалы), имеем (кривая 2);

2) для материалов, слабо сопротивляющихся испусканию дислокаций (квазивязкий материал), имеем (кривая 1).

Для пропорционального пути нагружения рассмотрим диаграммы деформирования материалов, где - интенсивность напряжений, - интенсивность деформаций. Диаграммы деформирования могут быть получены, например, в экспериментах на совместное растяжение и кручение тонкостенных трубчатых образцов [6]. На рис.2 приведена простейшая аппроксимация диаграммы деформирования квазихрупкого материала. Здесь - критические значения напряжений; - предельные деформации в зоне упругого деформирования; - деформации, соответствующие началу процесса разрушения. Отметим, что диаграммы деформирования (рис.2) превращаются в классические диаграммы и , когда пропорциональные пути нагружения соответствуют первой или второй модам разрушения.

Рис.2.

3. Достаточный критерий разрушения при обобщенном напряженном состоянии

Для описания напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины воспользуемся моделью Леонова-Панасюка-Дагдейла [7, 8]. Введем декартову прямоугольную систему координат с началом в вершине трещины, ось направим вдоль оси трещины. Если в континуальной модели воспользоваться представлениями решений для напряжений на продолжении острой трещины через коэффициенты интенсивности напряжений , , то с точностью до величин высшего порядка малости в окрестности вершины трещины для линейной задачи можно записать

, (1)

где , - характерные напряжения, заданные на бесконечности, либо на контуре ограниченного тела; , - суммарные коэффициенты интенсивности напряжений (КИН). Суммарные КИНы можно представить в виде

, . (2)

Здесь , - КИНы, порождаемые напряжениями , ; , - КИНы, порождаемые напряжениями , , действующими в окрестности носика фиктивной трещины в зоне предразрушения.

В классической модели Леонова-Панасюка-Дагдейла исходная внутренняя прямолинейная трещина длиной подменяется фиктивной трещиной-разрезом длиной , где - длина нагруженного участка или длина зоны предразрушения, две зоны предразрушения расположены на продолжении исходной трещины. Схема силового нагружения правого носика фиктивной трещины в обобщенной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла представлена на рис.3 (начало системы координат помещено в вершину фиктивной трещины, зона предразрушения занимает отрезок оси ). Далее рассматривается случай квазихрупкого разрушения, когда . В классической модели в зоне предразрушения действуют только нормальные напряжения , сдвигающие напряжения и отсутствуют. Напряжения , совпадают с напряжениями критических состояний (см. рис.2). Суммарный КИН не может быть отрицательным, так как при берега трещины налагаются друг на друга, что физически не реально.

Рис.3.

В отличии от классической модели Леонова-Панасюка-Дагдейла в предлагаемой обобщенной модели кроме общей схемы нагружения зоны предразрушения рассматривается дополнительный параметр, описывающий поперечник зоны предразрушения. Этот дополнительный параметр для первой моды разрушения использовался в [9, 10]. По этой причине в следующем разделе приведена оценка размеров пластической зоны, которая используется при выводе соотношений, определяющих критическое раскрытие трещины и критическое смещение берегов трещины.

Достаточный дискретно-интегральный критерий квазихрупкого разрушения [1, 2] для острой трещины имеет вид:

; (3)

. (4)

Здесь и - нормальные и касательные напряжения на продолжении трещины, имеющие интегрируемую особенность; - характерный линейный размер структуры материала (диаметр зерна); и - раскрытие трещины и смещение берегов трещины соответственно; и - критическое раскрытие трещины и критическое смещение берегов трещины соответственно; для плоской деформации, для плоского напряженного состояния, где - коэффициент Пуассона; - модуль сдвига; и - суммарные коэффициенты интенсивности напряжений в обобщенной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла.

Напряжения , для континуальной модели после осреднения сравниваются с теоретическими прочностями поликристаллов , на заданном пропорциональном пути нагружения в дискретной модели. Взаимодействие между берегами фиктивной трещины имеет место только на нагруженном участке разреза (см. рис.3). Для необходимого критерия [1, 2] соответствующие осредненные напряжения (3) не превосходят теоретических прочностей на разрыв или сдвиг. При выполнении необходимого критерия ближайшая к вершине структура материала находится в критическом состоянии. Однако после исчерпания несущей способности ближайшей к вершине структуры возможно дополнительное догружение тела с трещиной за счет закритического деформирования этой структуры и докритического деформирования следующей структуры, когда в окрестности вершины трещины отсутствуют повреждения. При выполнении достаточного критерия имеет место катастрофическое разрушение исходной системы.

Поясним как работает достаточный критерий (3), (4). Пусть задана острая внутренняя трещина длиной , перед вершиной которой материал находится в исходном состоянии, тогда зона предразрушения отсутствует и ее длина . При пропорциональном нагружении не происходит подрастания трещины до нагрузок , где - критические напряжения для острых трещин, полученные по необходимому критерию разрушения [1, 2]. Когда нагрузка превышает критические напряжения для необходимого критерия , происходит страгивание вершины трещины и начинается неупругое деформирование материала зоны предразрушения, причем . Пока рассматривается простейший случай, когда зона предразрушения расположена на продолжении трещины, а потому длина модельной трещины вычисляется следующим образом: . Соотношения (3) контролируют условия страгивания вершины модельной трещины. Одновременно с возникновением зоны предразрушения формируются силовые связи в окрестности вершины модельной трещины согласно обобщенной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла (рис.3). Из-за действующих силовых связей в вершине трещины имеет место устойчивый рост трещины до определенного уровня нагружения , где - критические напряжения для острых трещин, полученные по достаточному критерию разрушения (3), (4), причем , - критическая длина модельной внутренней трещины, - критическая длина зоны предразрушения. Соотношения (4) контролируют условия разрушения силовых связей, действующих в зоне предразрушения и расположенных перед вершиной реальной трещины. Когда длина зоны предразрушения совпадает с критической величиной , устойчивый рост трещины сменяется неустойчивым. Заметим, что есть оценка снизу, а - оценка сверху для критических напряжений при обобщенном нагружении.

4. Оценка размеров пластической зоны

Для получения оценок по раскрытию трещин и смещению берегов трещин потребуется поперечник пластической зоны в вершине реальной трещины при обобщенном напряженном состоянии. Оценим в приближенной постановке форму и размеры пластической зоны в окрестности вершины трещины при смешанном нагружении. Точное аналитическое решение данной задачи в упругопластической постановке встречает значительные трудности и в настоящее время отсутствует.

Воспользуемся критерием пластичности Мизеса, который в главных осях имеет вид

, (5)

где - предел текучести. Главные напряжения и определяются по формулам

. (6)

Третье главное напряжение для плоской деформации можно представить в виде . Асимптотика поля напряжений в окрестности вершины трещины, деформирующейся по смешанной моде, имеет вид (гладкие части решений опущены)

(7)

Здесь - полярный угол; поперечник зоны пластичности зависит от КИНов и , где и - КИНы, порождаемые напряжениями и соответственно [11]. Подставляя соотношения (7) в (6), получаем главные напряжения , и . После подстановки главных напряжений в критерий пластичности (5) получаем оценку размера пластической зоны. Эта оценка определяется радиус-вектором , который зависит от полярного угла для условий плоской деформации,

(8)

Оценку размера пластической зоны для случая плоского напряженного состояния легко получить из оценки (8), полагая .

На рис.4a, б, в представлены формы пластических зон, определяемых выражением (8), в виде сплошных кривых для отношений , 1, 0,5 соответственно; на рис.4a и 4в представлены пунктирные кривые аналогичных зон для I и II мод разрушения соответственно. Построение выполнено в полярных координатах и с использованием безразмерного радиус-вектора .

Рис.4.

Длина зоны предразрушения определяется при решении задачи о разрушении (3), (4), а поперечник этой зоны отыскивается из решения упругопластической задачи (5) - (8). Аппроксимируем пластическую зону в окрестности вершины трещины прямоугольной зоной предразрушения с поперечником и длиной (рис.5, плоское напряженное состояние). Пусть поперечник зоны предразрушения совпадает с поперечником зоны пластичности в вершине реальной трещины, т.е. . При пропорциональном нагружении имеем , следовательно,

,

где . Критические параметры и находятся из соотношений

, (9)

где , определяются по диаграмме (рис.2). Подставляя в (9), получаем

, (10)

Рис.5.

Система из первых соотношений критерия (3), (4) эквивалентна системе из вторых соотношений критерия (3), (4), если имеет место пропорциональное нагружение, а тензоры напряжений и деформаций соосны [1, 2]. В отличие от классических критериев разрушения [7, 8, 11-13], в критерии (3), (4) используются ограничения

, , (11)

а поперечник зоны предразрушения отождествляется с диаметром зоны пластичности в вершине реальной трещины. Ниже ограничения (11) используются при получении критических параметров разрушения.

5. Получение критических параметров разрушения

Получим соотношения, связывающие критические параметры , и для острой трещины, распространяющейся прямолинейно в квазихрупком материале. Для критических значений , , соотношения (3), (4) превращаются в равенства. Для КИН и длины зоны предразрушения используются первые соотношения из (3), (4), а для КИН и длины зоны предразрушения используются вторые соотношения из (3), (4). Выполняя интегрирование в (3), учитывая (1), (2), после соответствующих преобразований получаем

(12)

(13)

Для суммарных коэффициентов интенсивности напряжений , , порождаемых напряжениями , , действующими на бесконечности, и напряжениями , , действующими на отрезке , справедливо представление [14]

(14)

Получим оценки для длины зоны предразрушения . Соотношения (14) могут быть существенно упрощены, когда длина нагруженного участка много меньше полудлины трещины, т.е. , что соответствует квазихрупким материалам. Так как

,

то первое соотношение (14), записанное для критических параметров, преобразуется к виду

, (15)

где . Из первого соотношения (13) и (15), учитывая первое соотношение (10), после соответствующих преобразований получаем квадратное уравнение для безразмерного параметра

.

Пренебрегая величинами высшего порядка малости, получим простое выражение для меньшего корня квадратного уравнения

. (16)

Если ограничение не выполняется, из соотношений (13), (14) получается трансцендентное уравнение для определения . Особые трудности при решении этого уравнения отсутствуют, если оно имеет положительный корень меньше единицы.

Критический КИН острой внутренней трещины (15) представим в виде

. (17)

Примем во внимание первое соотношение из (12) и уравнение (17), в которое подставим по формуле (16), тогда кривая разрушения по достаточному критерию для острой внутренней трещины запишется в виде

. (18)

Таким образом, при пропорциональном нагружении и непропорциональном деформировании материала в зоне предразрушения при пластическом течении получена система двух нелинейных уравнений (16) и (18) относительно критических параметров и , описывающая формирование зоны предразрушения и кривую разрушения для сложного напряженного состояния. Очевидно, в силу эквивалентности первых и вторых соотношений в (12), (13), что для второй моды разрушения целесообразно пользоваться эквивалентной системой двух нелинейных уравнений

. (19)

Здесь .

Сопоставим критические нагрузки, полученные по необходимым и достаточным критериям для одних и тех же длин трещин. Для необходимого критерия первое соотношение (12) примет вид:

,

где - критическое напряжение, соответствующее началу процесса разрушения. Учитывая, что согласно (14) , получаем

.

Для достаточного критерия, принимая во внимание первое соотношение из (12) и уравнение (17), находим

.

Для одних и тех же длин трещин находим

.

Отсюда видно, что критические нагрузки, полученные по необходимым и достаточным критериям, могут существенно отличаться. На рис.6 схематически показаны устойчивый (кривая 1) и неустойчивый (кривая 2) участки роста трещин, а также кривая разрушения, полученная по необходимому критерию (кривая 3). На устойчивом участке образовавшиеся новые системы воспринимают увеличивающуюся нагрузку, так как , в результате происходит подрастание трещины, поскольку .

Рис.6.

6. Заключение