Электромагнитные поверхностные волны на границах релятивистски движущегося слоя плазмы

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ НА ГРАНИЦАХ РЕЛЯТИВИСТСКИ ДВИЖУЩЕГОСЯ СЛОЯ ПЛАЗМЫ

С. Н. Марышев¹, Н. С. Шевяхов²

¹Московский физико-технический институт, ²

Ульяновский филиал Института радиотехники

и электроники им. В.А.Котельникова РАН



Аннотация. Обсуждаются релятивистские эффекты распространения поверхностной электромагнитной ТМ-волны вдоль слоя изотропной бесстолкновительной плазмы, поперечно движущегося в вакууме. Показано, что в лабораторной системе отсчета поверхностная волна вместе с доплеровским повышением частоты претерпевает поворот волновой нормали в сторону движения слоя. Установлено, что в результате линейных релятивистских вкладов электрического и магнитного полей в поляризуемость плазмы вдоль слоя в спектре мод лабораторной системы отсчета к частотной отсечке добавляется снизу отсечка спектра по волновому числу, интерпретируемые вместе как проявление релятивисткой неразрывности пространственно-временного континуума.

Ключевые слова: электромагнитная поверхностная волна, движущаяся плазма, релятивистские эффекты, дисперсия.

плазма поляризуемость вакуум



Введение

Интерес к электромагнитным волнам в нестационарной плазме ограничивается обычно потоковыми эффектами, когда течение плазмы вдоль границ происходит без изменения их геометрии и местоположения [1]. В работах [2-4] на примере бегущих фронтов фотоионизации разреженной среды рассматривался обратный случай поперечного перемещения границ электронной плазмы, сохраняющей состояние покоя. Из-за кинетических эффектов в плазме структура границ в этих условиях существенно зависит от скорости движения. Именно, при около световых скоростях фронты фотоионизации сильно "размазываются" в силу сравнительно большого времени жизни фотоэлектронов в разреженной среде. Рассмотрение релятивистских эффектов теряло, поэтому, смысл.

Возможность релятивистского подхода к изучению влияния поперечного движения плазмы на распространение поверхностных волн предоставляет, однако, перемещение плазмы как целого. Для полубесконечной плазмы соответствующая релятивистская задача рассматривалась недавно в [5]. На практике приходится иметь дело с плазменными сгустками конечной толщины. Лабораторный способ получения релятивистских сгустков с хорошо выраженными границами испарением металлических пленок под воздействием мощного лазерного излучения известен давно [6]. В настоящей статье результаты работы [5] обобщаются на случай плазменного сгустка конечной толщины, движущегося с релятивистской скоростью Vc, c - скорость света. Другая причина, побуждающая вернуться к проблеме, затронутой в [5], состоит в недостаточной ясности отдельных ее аспектов по причине ограниченности цитируемой работы рамками краткого сообщения.



Формулировка задачи и исходные уравнения

В волновых задачах с движущимися границами [7] почти всегда процессы и состояние сред приходится описывать в двух системах отсчета: лабораторной системе x0yz с фиксированным положением регистрирующего прибора, и попутной - с фиксированным положением границ. Поперечное движение плазмы как целого отличается от рассмотренного в задачах [2-4] тем, что позволяет выделить в качестве системы покоя, общей для плазмы и ее границ, попутную систему отсчета. Очевидно, что с позиции наблюдателя в этой системе отсчета мы имеем дело с граничной задачей для неподвижного слоя плазмы, решение которой для поверхностных ТМ-волн хорошо известно [8]. Предпринятое исследование состоит, фактически, в пересчете волновых полей указанного решения в лабораторную систему отсчета.

В попутной системе отсчета полевые и, где это необходимо, - параметры плазмы, условимся помечать тильдой сверху. Соответственно, имеем в качестве исходных систему уравнений Максвелла для электромагнитного поля плазмы [7-9]

(1)

В гидродинамическом бесстолкновительном приближении к ней добавим линеаризованные уравнение движения плазмы [8]

(2)

и уравнение неразрывности

 . (3)

В уравнениях (1)-(3) и- напряженности электрического и магнитного полей,  - скорость смещения электронов плазмы, n - малое (nn₀) отклонение концентрации электронов от равновесного значения n₀, m_e - масса, а e - элементарный заряд. Дополнительно учтем выражение для плотности тока

. (4)

Уравнения (2)-(4) соответствуют элементарной модели, в которой плазма рассматривается как идеальная и изотропная электронная жидкость. Грубость избранного подхода, оправданного для слабых возмущений при низких температурах и отсутствии внешних магнитных полей, искупается простотой модели. Вместе с тем, как будет показано ниже, она вынуждает особенно тщательно отнестись к релятивистским преобразованиям величин при переходе из попутной в лабораторную систему отсчета.

Плазма занимает область (рис.1, d - толщина слоя) и за ее пределами уравнения (1)-(4) заменим уравнениями для электромагнитного поля в вакууме. Они аналогичны уравнениям (1), где , а полевые характеристики снабжены, для отличия, нижним индексом 0. Граничные условия выразим стандартным требованием непрерывности тангенциальных составляющих напряженностей полей [8,9]. Для волн ТМ-поляризации это x-составляющая напряженности электрического и z-составляющая напряженности магнитного полей. Удобнее использовать импедансную форму граничных условий, основываясь на определения импеданса Z плазмы и Z₀ вакуума равенствами

. (5)

В таком случае граничные условия задачи примут вид

 . (6)

Оговоримся, что при использовании равенств (5), (6) подразумевается представление гармонических колебаний экспонентой , где ? - частота, а - время, отсчитываемое наблюдателем в попутной системе отсчета.

Рис. 1. Геометрия задачи и распределение продольной компоненты

электрического поля поперек слоя плазмы 3 в поверхностной ТМ-волне:

1 - симметричная мода, 2 - антисимметричная мода.

Определение импедансов по формулам (5) требует знания связей z- и x-компонент соответственно магнитного и электрического полей. С этой целью обратимся к уравнениям Максвелла (1), из которых в результате исключения  и  имеем соотношение для плотности тока

 , (7)

где W_e - плазменная частота. Благодаря (7) при определении полей в плазме можно ограничиться двумя первыми уравнениями (1). Замечая, что , , напишем в составляющих

(8)

Аналогичные уравнения для полей в вакууме формально соответствуют равенствам (8), где компоненты напряженностей снабдим дополнительно нижним индексом 0, а также примем ????. Уравнения (8) потребуются в дальнейшем для установления полей поверхностной ТМ-волны и определения импедансов по формулам (5).

Поверхностная ТМ-волна в попутной системе отсчета

Единственность компонент полей  и  делает предпочтительным их использование для представления решения. Для поля в плазме, как следует из уравнений (1), (7), имеем

,

или учитывая равенство , получим

 . (9)

Здесь величина

(10)

представляет собой диэлектрическую проницаемость плазмы. Уравнение (9) является исходным для определения поля в слое плазмы. В вакууме - среде с единичной проницаемостью, в (9) следует принять ??? и к индексу z добавить 0.

Принимая, что ?,, из требования ограниченности полей в областях определения получим на основании (9)

 , (11)

 . (12)

Волновое число k и коэффициенты локализации полей s и  поверхностной ТМ-волны при спадании полей от границ слоя в плазму и вакуум соответственно связаны при этом равенствами

 . (13)

 

Согласно (5) и вытекающим с учетом (11), (12) из (8) связям компонент электрических и магнитных полей напишем

 , (14)

 . (15)

В выражении (15) для верхней границы  выбирается верхний знак и, соответственно, - нижний знак, если . Подстановка (14), (15) в граничные условия (6) дает систему алгебраических уравнений, из которых исключением отношения амплитудных коэффициентов D/C приходим к равенству

. (16)

Оно представляет искомое дисперсионное соотношение для поверхностной ТМ-волны слоя плазмы в попутной системе отсчета, где x=sd/2 .

Ввиду (13) e=(k²?s²)/(k²?s₀²) и замечая, что

,

уравнению (16) можно придать вид

. (17)

Выражение (17) показывает, что существует два типа (моды) поверхностных электромагнитных волн, удерживаемых слоем. При знаке "плюс" поверхностная волна характеризуется симметричным распределением продольной компоненты электрического поля  поперек слоя [12] (профиль 1 на рис. 1), - симметричная мода. При знаке "минус" имеет место антисимметричное распределение поля  с профилем 2 и мода называется антисимметричной.

Спектр мод по формулам (17) можно рассчитать численно. Достаточно выразить s через s₀, используя равенство , которое вытекает из соотношений (13). Тогда равенства (17) принимают форму трансцендентных уравнений, корни которых по заданному k позволяют найти соответствующее значение s₀. Дальнейшее очевидно: по формуле, связывающей s и s₀ , пересчитывается величина s, а затем согласно любому из соотношений (13) рассчитывается частота, определяя, таким образом, дисперсионный спектр ????k? мод поверхностной электромагнитной волны. Вместе с представлением полей выражениями (11), (12) и связями компонент (8) определение дисперсионного спектра мод исчерпывает описание поверхностной ТМ-волны в попутной системе отсчета.

Поверхностная ТМ-волна в лабораторной системе отсчета

Лабораторную систему отсчета x0yz, в которой координаты, время и компоненты полей условимся писать без тильды сверху, свяжем с приемной антенной. Рассмотрение в ней полей и спектра мод поверхностной волны - необходимый элемент исследования, так как именно этой форме представления волны соответствуют характеристики, определяемые в эксперименте.

Учитывая, что движение плазмы происходит вдоль оси y, для перехода в лабораторную систему отсчета воспользуемся преобразованиями Лоренца [9,10]

. (18)

Согласно (18) несложно установить вид фазы колебаний компонент полей волны в лабораторной системе отсчета. Однако с подстановкой величин и  из (18) в выражения (11), (12) мы еще имеем дело с амплитудами полей попутной системы отсчета. Таким образом, в формулах (11), (12) и им соответствующим компонентам электрических полей нужно предварительно перейти к значениям  и , записанным в лабораторной системе отсчета.

Обратимся с этой целью к формулам релятивистского преобразования полей [9,10]:

 , (19)

(20)

Индексы ?? и  в них означают соответственно параллельность и перпендикулярность компонент движению плазмы. В случае вакуума компоненты полей в формулах (19), (20) нужно, конечно, снабдить индексом 0 снизу.

Для поверхностной ТМ-волны в попутной системе отсчета имеет место ортогональность электрического и магнитного полей. Комбинация величин  ( в попутной системе отсчета) образуют релятивистский инвариант. Поэтому данное качество волны сохранится и в лабораторной системе отсчета. С учетом того, что индукции полей в попутной системе отсчета равны ,,,  на основании (19) заключаем:

, (21)

тогда как y-составляющие магнитных полей отсутствуют. Из условия  () также следует

(22)

Формулы (20) позволяют написать далее

(23)

Аналогичные соотношения при замене в (23) ? на единицу получаются для компонент поля в вакууме.

Наряду с равенствами (23) из выражений (20) следует с учетом (22), что

 . (24)

В уравнениях (24) компоненты  и  попарно связываются между собой и, как нетрудно видеть, удовлетворяются при  () только при наложении условий E_z?0, B_x?0, . Это означает, что в лабораторной системе отсчета ортогональность электрического и магнитного полей волны выполняется при сохранении параллельности магнитного поля оси z и компланарности векторов  и  плоскости движения слоя. Аналогичная особенность из-за необходимости соблюдения соотношений типа (24) при ??? имеет силу и за пределами слоя. Таким образом, переход в лабораторную систему отсчета не меняет поляризацию ТМ-волны.

Если из уравнений (23) для  и  исключить , то получим продольную компоненту электрического поля

 . (25)

Аналогичным образом, исключая из оставшихся выражений (23) , найдем

. (26)

Для выражения величин  и  следует воспользоваться вытекающими из системы (23) равенствами .

Исключая вначале , получим

(27)

а затем найдем

. (28)

Соответствующие представления компонент поля в вакууме получаются из выражений (25)-(28), если положить .

Формулы (25)-(28) вместе с равенствами (21) позволяют выразить компоненты полей лабораторной системы через компоненты попутной системы отсчета, которые заданы равенствами (11), (12) и согласно (8) определяют компоненты электрических полей. Имеем в итоге следующие выражения для ненулевых компонент полей плазмы в лабораторной системе отсчета 

(29)

Здесь обозначено

 . (30)

Для полей в вакууме (вне слоя) в силу равенств (25)-(28) при ???, согласно (12) и следующим из уравнений (8) для вакуума связям компонент полей имеем в лабораторной системе отсчета представления

(31)

(32)

Для окончательной записи полей в лабораторной системе отсчета в выражениях (29), (31), (32) остается преобразовать фазу колебаний  и заменить  согласно (18). Видно, что в преобразованной форме колебания всех компонент полей описываются в лабораторной системе отсчета экспонентой , где

(33)

Равенства (33) показывают, что в лабораторной системе отсчета имеет место доплеровское приращение частоты регистрируемых колебаний. Наряду с этим образуется поперечная составляющая p волнового вектора  () поверхностной волны, характеризующая поворот волновой нормали в сторону движения слоя. Таким образом, поверхностная волна оказывается неколлинеарной поверхностной волной. Существенно, впрочем, что в отличие от неколлинеарных поверхностных волн на нерелятивистских границах [2-4] она неколлинеарна только с позиции наблюдателя в лабораторной системе отсчета. Иначе говоря, ее неколлинеарность - в чистом виде аберрационный эффект, обязанный сносу волны движущимся слоем.

Спадание полей в стороны от границ слоя движущейся плазмы выразится множителями и . Здесь, конечно,  должно быть заменено согласно (18). Соответственно получим

, ,

где в областях определения полей лабораторной системы отсчета разности  всегда положительны. Величины

(34)

есть коэффициенты граничной локализации полей в плазме и в вакууме с позиции наблюдателя лабораторной системы отсчета. Из (34) видно, что движение слоя способствует повышению локализации полей на его границах, - результат, представляющий следствие релятивистского сокращения размеров по направлению движения слоя.

Спектры мод в лабораторной системе отсчета

Для завершения описания свойств поверхностной ТМ-волны, удерживаемой релятивистски движущимся слоем плазмы, необходимо рассмотреть особенности спектрального поведения мод с точки зрения наблюдателя лабораторной системы отсчета. Представление в ней дисперсионных спектров естественно получить, подвергнув релятивистскому преобразованию дисперсионное соотношение (16) или (17). Релятивистская инвариантность k и формулы (34) обеспечивают переход к спектрам лабораторной системы отсчета заменой: k®k, s®G(1-b²)^1/2, s₀®G₀(1-b²)^1/2. Остается определиться с преобразованием диэлектрической проницаемости плазмы.

Согласно общеизвестному факту релятивистского превращения движущейся среды с частотной дисперсией в среду, демонстрирующую еще и пространственную дисперсию [9] следует ожидать, что диэлектрическая проницаемость будет преобразовываться при переходе в лабораторную систему отсчета по схеме

. (36)

Ввиду (36) дисперсионное соотношение (16) примет в лабораторной системе отсчета вид

.  (37)

Важно подчеркнуть, что если даже в (36) фиксировать , зависимость вовсе не обязана воспроизводить зависимость ?(w) в формате связи частот равенством (33). По этой причине, чтобы установить преобразование (36), обратимся к исходному определению величин e и eў как показателей поляризационного отклика среды, связующих электрические индукции и напряженности полей. Предварительно заметим, что в рамках элементарного подхода к описанию плазмы индуцированную ее движением пространственную дисперсию уместнее трактовать как специфическую разновидность оптической анизотропии.

В лабораторной системе отсчета, как видно из соотношений (21), величина ? продолжает выступать в своем качестве только по отношению к составляющим электрического поля E_yи D_y. Напротив, это качество она теряет с переходом в лабораторную систему отсчета по отношению к компонентам электрических полей, направленным поперек движения плазмы. Чтобы удостоверится в этом факте достаточно сравнить выражение для величины из (23) с формулой (27).

 На основании изложенного для составляющих индукции электрического поля напишем . Несовпадение ? и ?? в этих равенствах, по сути вытекающее из различного характера релятивистского преобразования продольных и поперечных компонент полей (см. формулы (19), (20)), служит типичным признаком оптической анизотропии среды в лабораторной системе отсчета. Выражение для D_x не противоречит (27), если принять пропорциональность величин H_z и E_x. Первое слагаемое в (27) представляет, таким образом, релятивистский вклад магнитного поля в поперечную поляризуемость плазмы. В области существования поверхностной ТМ-волны e<1 и чтобы указанный вклад в поляризуемость был положительным, примем

 . (38)

Подстановка H_z из (38) в (27) сразу приводит к равенству

 , (39)

устанавливающему вид преобразования (36). Аналогичный результат был получен в [5] для полубесконечной плазмы непосредственно из решения граничной задачи с импедансными граничными условиями, подразумевающими непрерывность тангенциальных составляющих напряженностей полей. Как указывалось Островским [11], если скорость границы не является в точности световой (??1), именно непрерывность полей, как следствие инерционного отклика движущейся среды на скачкообразное изменение ее характеристик в точках резкой границы, выступает общим правилом поведения. Фактически, это не противоречит стандартным релятивистским граничным условиям [9], из которых данная непрерывность компонент полей вытекает как более жесткое условие на отбор решения вследствие принятой геометричности границы. Итак, в лабораторной системе отсчета дисперсионные спектры мод поверхностной ТМ-волны, удерживаемой границами релятивистски движущегося слоя плазмы, можно получить как совместное решение уравнений (37), (39) с учетом равенств (13) и следующей из них связи величин s и s₀.

Если ввести безразмерные спектральные переменные ???d, ?₀??₀d, уравнению (37) можно придать вид

(40)

Как и в попутной системе отсчета, дисперсионные спектры поверхностной ТМ-волны представлены двумя модами. Каждой из них соответствует дисперсионное соотношение в виде независимого равенства нулю сомножителей, содержащихся в (40) в квадратных скобках. Из них можно выразить eў, а затем, используя (39), определить в явном виде частоту. В результате указанных преобразований получим

 , (41)

где с учетом (34) обозначено

 ,  . (42)

Формула (41) может, поэтому, рассматриваться как явная функциональная зависимость частоты спектра моды W от приведенного коэффициента граничной локализации ее полей при спадании в плазму s или вакуум s₀. Остальные спектральные показатели мод легко пересчитываются по избранному, например, значению s₀ и найденным по формулам (41), (42) значениям W и s. Так, приведенное волновое число c=kd можно рассчитать далее по второму из соотношений (13). Ввиду связи частот (33) оно дает:

. (43)

Выражения (41)-(43), ко всему прочему, показывают, что варьируемыми параметрами спектров выступает релятивистский фактор  и комбинированный показатель плазменного слоя a=W_ed/c.

Расчет дисперсионных спектров по формулам (41)-(43) не вызывает трудностей. Основными спектральными зависимостями условимся рассматривать зависимости s₀=s₀(W) и W=W(c). Наибольший интерес представляет случай, когда W_ec/d<0.73 и антисимметричная мода является обратной волной [8]. На рис. 2 показаны спектры мод, отвечающие этому условию. Штриховые кривые соответствуют неподвижному (b=_) слою, а сплошные - движущемуся слою и пронумерованы в порядке возрастания его скорости.

При малых скоростях слоя (b<<1) изменения дисперсионных спектров выражены чрезвычайно слабо. В этой связи расчет спектров мод выполнен, начиная с умеренных значений b<1. Аналогично статичному слою, спектр мод движущегося слоя образуется двумя ветвями, которые сливаются в горизонтальную прямую (продолжение ее показано для кривых 2 стрелкой), представляющую коротковолновую асимптоту спектра. Та из ветвей, что лежит ниже этой асимптоты, представляет симметричную моду поверхностной ТМ-волны. Ветвь антисимметричной моды вначале круто поднимается над асимптотой, а затем, пройдя максимум, опускается к ней.

 

	Рис. 2. Дисперсионные спектры поверхностной ТМ-волны в лабораторной системе отсчета: Wed/c=0.4, 1 - b=_.4,  2 - b=_.55, 3 - b=_.575, 4 - b=_.63.

 

Выходу на асимптотический уровень спектра мод в условиях релятивистского движения слоя соответствует переход к пределу d?? в дисперсионном соотношении (37). Именно этот случай полубесконечной плазмы рассматривался в работе [5]. Наряду с понижением уровня асимптот по мере роста ?, что наглядно демонстрируют кривые рис. 2, в [5] отмечалось также обрезание ветвей спектра со стороны длинноволновой его части. Этот результат объяснялся следствием неразрывной связи пространства-времени в условиях релятивистского движения плазмы: частотная отсечка спектра (ограничение спектра по временнуму фактору, выраженное образованием коротковолновой асимптоты) влечет в релятивистских условиях отсечку спектра со стороны длинных волн (вступает в действие ограничение спектра и по пространственному фактору).

Для полубесконечной плазмы, как и в коротковолновом пределе, различие между симметричной и антисимметричной модами слоя пропадает. Поэтому спектры работы [5] получатся из спектров рис.2, если отбросить “дублирующие” ветви антисимметричной моды^[1]. Кривая 4, относящаяся целиком к антисимметричной моде, будет отсутствовать, а сохранившиеся ветви 1-3 симметричной моды дадут в итоге картину, которая представлена в [5] на втором рисунке.

Наличие нижней, релятивистской границы спектра по волновому числу ?, как видно из рис. 2, сохраняется и при конечной толщине слоя плазмы. Качественное отличие от случая полубесконечной плазмы состоит в том, что существует режим релятивистского движения слоя, при котором симметричная мода отсекается полностью и не воспринимается наблюдателем в лабораторной системе отсчета, тогда как антисимметричная мода (см. кривую 4) сохраняется в спектре своей вершинной частью. В точках релятивистской границы спектра ???* имеем ???. Поэтому, в соответствии с (41) для определения ?* требуется численно решить трансцендентные уравнения

, (44)

где предварительно следует выразить ? через ?₀. Найденные так с учетом формулы (43) значения ?*?(1??²)^1/2 ?₀, будут неодинаковыми для симметричной и антисимметричной мод из-за неравенства f_? (???₀)? f_?(???₀). Типичные зависимости ?* от ? представлены на рис. 3, где штриховыми кривыми показаны изменения релятивистской границы спектра для симметричной моды. Сплошные кривые, лежащие всегда ниже штриховых кривых, представляют здесь зависимости ?*??? для антисимметричной моды. Сравнение кривых позволяет заключить, что для плотной плазмы слоя (кривые 2) различие в релятивистских границах спектра симметричных и антисимметричных мод выражено заметно слабее, чем в случае "рыхлой" плазмы (кривые 1).

 

	Рис.3. Зависимости волновых чисел релятивистской отсечки спектра мод поверхностных ТМ-волн от ?: 1 - ?ed/c?0.4, 2 - ?ed/c?3.

 

Для полноты описания мод в лабораторной системе отсчета кривым дисперсии рис.2 полезно сопоставить частотные зависимости коэффициента ?₀. Они получаются непосредственно численным обращением уравнений (41), демонстрируя качественное сходство с кривыми дисперсии рис. 2. Соответствующую картину можно представить, если на рис. 2 поменять местами горизонтальную и вертикальную оси, а затем заменить ? на ?₀. Из нее следует, что при отсутствии движения слоя (???, штриховые кривые) в пределе ???происходит полная делокализация колебаний вне слоя. Для движущегося слоя плазмы (сплошные кривые 1-4) этому препятствует релятивистская отсечка спектра по волновому числу. В коротковолновом асимптотическом пределе спектров имеет место неограниченный рост локализуемости колебаний обеих мод, а на частотах ниже частоты коротковолнового асимптотического предела, где возможно сосуществование симметричной и антисимметричной мод, локализуемость полей антисимметричной моды в вакууме всегда ниже, чем у симметричной моды.



Выводы

В работе исследовано поведение мод поверхностных ТМ-волн на границах релятивистски движущегося слоя плазмы. Показано, что при переходе в лабораторную систему отсчета поверхностная ТМ-волна вместе с доплеровским повышением частоты претерпевает поворот волновой нормали в сторону движения слоя и становится неколлинеарной поверхностной волной. Установлено, что линейные релятивистские вклады электрического и магнитного полей в поляризуемость плазмы вдоль слоя добавляют в спектре мод к частотной отсечке релятивистскую отсечку по волновому числу. Последнее интерпретируется как проявление релятивистской неразрывности пространства-времени.

Отмечается, что из-за релятивистского сокращения размеров по направлению движения слоя граничная локализация полей мод повышается. Показано, что существуют такие режимы релятивистского движения плазмы, когда наблюдатель в лабораторной системе отсчета воспринимает колебания только антисимметричной моды с частотами выше частоты отсечки спектра. 



Литература

1. Ерохин Н.С., Кузелев М.В, Моисеев С.С. и др. Неравновесные и резонансные процессы в плазменной радиофизике. М.: Наука, 1982.

2. Шевяхов Н.С. // Письма в ЖТФ. 2002. Т. 28. № 12. С. 40.

3. Гуляев Ю.В., Колчина Г.А., Шавров В.Г., Шевяхов Н.С. // РЭ. 2003. Т. 48. № 4. С. 459.

4. Колчина Г.А., Неганов В.А., Шевяхов Н.С. // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2004. Т. 7. № 2. С. 19.

5. Марышев С.Н., Шевяхов Н.С.. // Письма в ЖТФ. 2004. Т. 30. № 23. С. 40.

6. Аскарьян Г.А., Манзон Б.М. // Письма в ЖЭТФ. 1980. Т. 31. № 5. С. 283.

7. Красильников В.Н. Параметрические волновые явления в классической электродинамике. С.-Пб: Изд-во СПб Университета, 1996.

8. Кондратенко А.Н. Поверхностные и объемные волны в ограниченной плазме. М.: Энергоатомиздат, 1985.

9. Бредов М.М., Румянцев В.В., Топтыгин И.Н. Классическая электродинамика. - М.: Наука, 1985.

10. Паули В. Теория относительности. М.: Наука, 1983.

11. Островский Л.А. // УФН. 1975. Т. 116. № 2. С. 313.

Размещено на Allbest.ru

...