Новый метод аналитического решения двухмерных задач теории дифракции

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Институт радиотехники и электроники РАН

Новый метод аналитического решения двухмерных задач теории дифракции

М.В. Весник

Аннотация

Предложен новый метод решения двухмерных краевых задач теории дифракции на идеально проводящих полубесконечных телах. Метод основан на построении с помощью теории конформных отображений универсального интегрального представления дифракционной части решения, которое в сумме с геометрооптическими составляющими падающей и отраженной волн представляет собой решение краевой задачи уравнения Гельмгольца. Получено строгое решение для полубесконечных тел с многоугольной огибающей. Построены асимптотики интегрального представления в компактной, удобной для дальнейшего применения форме.

Введение

К настоящему моменту строгие аналитические решения краевых задач в теории дифракции получены либо методом разделения переменных, либо методом Винера-Хопфа или его модификациями, причем число таких решений невелико. В данной работе предлагается новый метод, который позволяет увеличить число строгих двухмерных решений теории дифракции.

Постановка задачи

Требуется найти решение двухмерной задачи рассеяния волны на идеально проводящем полубесконечном рассеивателе произвольной формы, расположенном в плоскости . Падающая волна и порожденная ею отраженная волна вместе со своими границами "свет - тень" показаны на Рис. 1.

Рис. 1. Области и

Решение для дифракционной волны строится в виде интегрального представления в плоскости комплексной переменной :

(1)

смысл остальных обозначений будет объяснен ниже.

Построение интегрального представления и асимптотик решения

Будем считать, что по оси откладываются мнимые величины, и таким образом плоскость является комплексной. С помощью теории функций комплексного переменного можно найти взаимно однозначное конформное отображение области , представляющей собой верхнюю полуплоскость комплексной плоскости , на область , представляющую собой внешность рассеивателя в комплексной плоскости :

. (2)

Функции (2) соответствует обратная функция:

, (3)

причем даже если выражение (3) не существует в явном виде, то, задавая , можно однозначно найти соответствующие значения численным подбором, например, с помощью итерационных соотношений. Поэтому будем считать, что соотношение (3) нам также известно.

Ограничимся рассмотрением случая возбуждения плоской волной, приходящей с направления в области , которая выражается в полярных координатах следующим образом:

, (4)

однако предлагаемая методика применима и для других типов возбуждения.

Запишем (2) в полярных координатах и :

(5)

Здесь , - функции полярных координат. В соответствии с (3) существуют также и обратные функции

и :

(6)

Для точки наблюдения с координатами в области и координатами в области из (5) и (6) получим:

, (7)

Введем новые комплексные переменные , , и и установим между ними взаимно однозначные соотношения:

, ,

, (8)

где - действительная величина. Кривая показана на Рис. 2.

Рис. 2. Область

Зададим на множестве комплексных значений (или, что то же самое - на множествах комплексных значений , или ) функцию :

. (9)

Обозначим введенные ранее области и через и , а области и - через и . Введем вторые листы , , и , расположенные над соответствующими первыми листами. Теперь вместо одной (первичной) переменной, связанной с единственным листом, получатся две, связанные с первым или вторым листами соответственно: , и , , а также , и , ,. Будем считать, что падающее геометрооптическое поле существует лишь в первом листе, а отраженное - лишь во втором. Связь между координатами вторых листов будет обусловлена теми же формулами (5), (6) и (8), что и связь между координатами первых листов.

До сих пор переменные, не имеющие индекса "1" или"2": , , и относились к одиночным областям , , и , с которыми мы работали ранее. Начиная с этого момента, мы будем считать, что их область определения распространяется на оба листа.

Преобразуем область , совершив симметричное относительно горизонтальной оси отображение всех ее точек из верхней полуплоскости в нижнюю. Затем, "склеив" и вдоль горизонтальной оси, соответствующей границе рассеивателя, составим из них полную плоскость, которую назовем (Рис. 2). Аналогичные действия произведем и с областями и , получив новую область .

Рассмотрим теперь интегральное представление (1), для которого пути интегрирования "1" и "2" в области w таковы, что соответствующие им точки области попадают на границы тени функций и в области при . В (1) из (8) при , при . Направление прохода по путям "1" и "2" показано на Рис. 2.

Можно показать, что интегральное представление (1) удовлетворяет волновому уравнению и условию на бесконечности, а также является непрерывной по переменной функцией в области . Поэтому является расходящейся частью решения нашей краевой задачи (или - дифракционной волной).

Построим функцию :

=+ - на "освещенных" участках области и

= - на "теневых" участках области . (10)

дифракционный проводящий полубесконечный гельмгольц

Здесь под функцией подразумевается или . Поскольку функция непрерывна во всей области , включая границу рассеивателя, функция :

или

(11)

удовлетворяет граничным условиям Дирихле или Неймана соответственно и таким образом является искомым решением нашей краевой задачи. Это решение является строгим для случая тел с многоугольной огибающей. Для тел отличной формы требуется дополнительное математическое исследование точности решения.

Получим теперь асимптотическое выражение интегрального представления (1) при . Для этого удобнее перейти к координате . Cчитая параметр большим и медленно меняющимся, т.е. , получим с учетом (8) выражение для производной:

;

. (12)

Тогда, поскольку , получим из (1):

(13)

Окончательные выражения будут такими:

,

где (14)

Асимптотическое выражение для случая двух границ "свет - тень" будет таким:

, (15)

где и -седловые точки функции (9) - см. [1].

Проанализировав полученное выражение, можно видеть, что оно представляет собой сумму членов, связанных с седловыми точками, находящимися на границах тени падающей и отраженной волн. Границы тени расходятся от одной точки на поверхности рассеивателя, но расположены в разных листах.

Алгоритм поиска решения

Итак, имеется следующая постановка задачи: двухмерный рассеиватель произвольной формы, облучаемый плоской (или другой) волной и точка наблюдения. Необходимо найти решение краевой задачи. В соответствии с разработанной методикой можно предложить следующий алгоритм поиска решения:

1. Находим конформное отображение (2), определяющее пути интегрирования 1 и 2 в области . Как только мы это сделали, уже можно записать решение для расходящейся части краевой задачи в интегральной форме (1). Если нас интересует асимптотика, нужно делать дальнейшие шаги.

2. Находим седловые точки функции (9).

3. Находим (12) и (14) в седловых точках .

4. Записываем решение в соответствии с формулой (11).

Пример применения метода для случая дифракции на клине

В качестве примера применения предлагаемого метода получим известное решение для рассеяния плоской волны (4) на идеально проводящем клине, внешний угол которого равен радиан. Для этого пройдем все шаги нашего алгоритма:

1. Конформное отображение (1): . Обратная функция (3): , откуда для точки получаем: , а из (8) следует:

2. Седловые точки функции (9):

,

3. Производная (12):

, функция (14):

Отсюда легко получается выражение (15), которое полностью совпадает с известным решением для клина [2].

Заключение

В данной работе предложен новый метод аналитического решения двухмерных задач дифракции, с помощью которого получено решение для случая падения плоской волны на полубесконечный рассеиватель. С помощью этого метода было получено строгое решение для случая рассеяния плоской волны на полупластине (конечной толщины) [3]. По-видимому, не существует ограничений, препятствующих применению этой же методики для случая других возбуждающих волн и других типов двухмерных рассеивателей, например многосвязных или ограниченного размера. Кроме универсальности предлагаемого метода можно также отметить его большое удобство, так как если известно конформное отображение (2), то построение аналитической формулы для асимптотики решения соответствующей краевой задачи сводится лишь к вычислению производной (12).

Автор выражает благодарность проф. В.А. Калошину за полезные советы при подготовке этой публикации.

Литература

1. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. ОНТИ, 1937.

2. Pauli W. On asymptotic series for functions in the theory of diffraction of light. Physical Review, 54, №11, 924-931, 1938.

3. М.В. Весник "Аналитическое решение краевой задачи для уравнения Гельмгольца". Радиотехника и электроника, 2000, том 45, №1, стр. 66-76.

Размещено на Allbest.ru