Взаимодействие мощной электромагнитной волны с тонким плазменным слоем

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

В последнее время большое внимание уделяется проблемам получения мощных ультракоротких импульсов и когерентного электромагнитного излучения высоких (вплоть до рентгеновских) частот с помощью взаимодействия сверхмощного лазерного излучения с твердой мишенью [1-6]. Причина появления высших гармоник в спектре отраженного сигнала состоит в том, что при падении мощной электромагнитной волны с интенсивностью на мишень, на ее границе образуется электронная плазма большой концентрации (порядка ), частицы которой помимо поперечных, совершают также продольные колебания на двойной частоте под действием магнитной компоненты падающей волны. В настоящее время существует два подхода к решению подобных задач. Первый основан на прямом численном решении уравнений Максвелла для процесса взаимодействия плазмы и мощной электромагнитной волны методом макрочастиц [2, 4] и имеет все известные недостатки, присущие численному эксперименту: техническая сложность, трудности интерпретации и выделения физических решений и т.д. Во втором подходе используется упрощенное описание, позволяющее получить аналитические результаты. Обычно рассматривается модель осциллирующего зеркала [1], в которой высшие гармоники в отраженной волне возникают из-за периодического изменения ее фазы:

,

где - частота падающей волны, - ее начальная фаза. Неполнота такого подхода заключается в том, что, во-первых, зеркало полагается абсолютно отражающим, во-вторых, не учитывается временная дисперсия и динамические релятивистские эффекты. Кроме того, форма осцилляций зеркала при таком подходе предполагается гармонической, что, вообще говоря, не соответствует точному решению самосогласованных уравнений движения плазменного слоя. В то же время, при ультрарелятивистской амплитуде внешнего поля, когда работа поля на длине волны становится значительно больше энергии покоя электрона (ускорительный параметр ), указанные эффекты должны играть существенную роль. Действительно, при отражении волны от зеркала, движущегося навстречу с постоянной скоростью, амплитуда отраженной волны оказывается пропорциональна фактору , где - отношение скорости зеркала к скорости света в вакууме [7]. Очевидно, что в существенно релятивистских режимах взаимодействия электромагнитной волны с плазменным слоем (,) форма отраженного поля может сильно зависеть от амплитудного фактора .

Существенные результаты, описывающие процесс отражения мощной (ультрарелятивистской) волны от плазменного слоя, могут быть получены в рамках модели электронных листов [8]. Эта модель даёт последовательное микроскопическое описание взаимодействия плазменного слоя и электромагнитной волны и позволяет решать многие самосогласованные задачи о взаимодействии полей с заряженными средами. Особенно простые уравнения движения получаются в случае малой толщины плазменного слоя (значительно меньше длины волны падающего излучения), когда в модели можно ограничиться одним листом. Именно этот случай и будет подробно проанализирован в настоящей работе.

В частности, будет показано, что при ультрарелятивистских амплитудах внешнего поля отраженная волна имеет существенно негармонический характер: происходит синхронное излучение гармоник частоты падающей волны. Именно, синусоидальная падающая волна может преобразовываться в последовательность разнополярных коротких импульсов электромагнитного излучения большой амплитуды. При этом за счет обогащения гармониками происходит уменьшение длительности отдельного импульса, а амплитуда импульсов может существенно превышать амплитуду падающей волны. Будет рассмотрен также процесс взаимодействия плазменного слоя со стоячей линейно-поляризованной электромагнитной волной и получено обобщение классических результатов о характере движения электронов в высокочастотном поле [9] на случай сильного поля и большой концентрации электронов (большого радиационного трения). Оказывается, что в сильном высокочастотном поле () происходит расщепление каждого минимума эффективного потенциала на два новых. Это приводит к нарушению зеркальной симметрии излучения плазменного слоя за счет существенно нелинейного характера колебаний электронов и зависимости их стационарного состояния от начальных условий.

Для простоты в дальнейшем анализе будем считать ионный фон неподвижным, а концентрацию электронов в плазме достаточно большой, так что частота внешнего поля будет значительно меньше плазменной частоты. Кроме того, будем считать, что электроны в начальный момент времени покоятся (приближение холодной плазмы).

Следует отметить, что отражение от электронных (плазменных) зеркал может сопровождаться также изменением статистики отраженного поля (генерацией неклассических состояний электромагнитного поля), причем эффективность процесса растет с увеличением мощности падающей волны [10], однако, в настоящей работе эта проблема не будет затрагиваться.

1. Модель и основные уравнения.

Рассмотрим заряженную среду, однородную в направлениях, перпендикулярных оси Oz. В этом случае плотности заряда и тока зависят только от координаты z и времени и не зависят от координат и . Формальные решения уравнений Максвелла в этом случае могут быть получены методом функции Грина и имеют вид [8]:

 (1)

Здесь - символ векторного произведения.

Пусть теперь имеется тонкая заряженная плоскость, образованная бесконечно протяженным в x и y-направлениях слоем электронов, толщина которого значительно меньше длины волны падающего излучения. В этом случае слой эквивалентен бесконечно тонкому листу, для описания динамики которого достаточно задать 3+1- функции времени: три компоненты скорости и одну пространственную координату (рис. 1).

Рис. 1. (3+1)-модель электронного листа

Плотности заряда и тока такого листа имеют вид:

(2)

где - поверхностная плотность заряда.

Подставляя теперь выражения (2) в уравнения (1) и интегрируя по и , получим следующие выражения для напряженностей электромагнитного поля:

, (3)

где , , и - "запаздывающее" время, которое определяется из уравнения .

Заметим, что выражения (3) являются одномерными (или, точнее, 3+1- мерными) аналогами классических решений Лиенара - Вихерта [7] и дают точное выражение для поля, создаваемого бесконечной плоскостью, при этом компоненту можно интерпретировать как ближнее поле, а компоненту - как поле излучения. Получим еще выражение для спектральных компонент поля излучения . Используем с этой целью выражение

(4)

Подставляя теперь в (4) выражение для поля (1), получим

, (5)

где и .

Для спектрального разложения поля излучения электронного листа получим, подставив в (5) выражение для плотности тока :

(6)

При периодическом (с периодом ) движении плоскости спектральное разложение поля излучения содержит лишь компоненты на частотах с величиной

. (7)

Рассмотрим теперь влияние поля излучения (3) на движение электронного листа. Из выражений (3) следует, что взаимодействие электронного листа с собственным полем излучения приводит к появлению удельной силы самодействия [8]:

, (8)

т.е. появляется эффективная "вязкая" сила (8) с постоянным коэффициентом вязкости для поперечного движения и нелинейным коэффициентом вязкости для продольного движения.

Уравнения движения для отдельного электрона этого листа в однородных по x и y полях имеют вид:

,

(9)

Здесь - релятивистский импульс электрона, - его заряд.

2. Заданное продольное движение плазменного листа.

Пусть сначала продольное движение листа является заданным: . Для поперечного движения листа в поле (нормальное падение линейно-поляризованной волны на плазменный слой) имеем из уравнений (9):

. (10)

Пусть для простоты плотность заряда достаточно большая. В этом случае лист практически полностью отражает падающее излучение и, как было показано в [8], можно пренебречь инерционным (дисперсионным) членом в уравнении (10) (строго говоря, чем больше , тем больше должна быть поверхностная плотность , чтобы лист оставался идеально отражающим зеркалом). При этих условиях выражение для отраженной волны принимает согласно (3) следующий вид:

(11)

Заметим, что выражение для амплитудного доплеровского фактора в этом случае оказывается верным не только для равномерного движения, но и для произвольной зависимости , с заменой на запаздывающее время .

Пусть теперь зависимость продольной скорости от времени определяется выражением (разность фаз колебаний зеркала и электромагнитной волны определяется величиной ). Из (11) следует, что при функция имеет вид бесконечно высоких импульсов на двойной частоте. Амплитудная модуляция отраженного поля за счет фактора согласно (11) существенно обогащает при спектр излучения, в результате форма отраженной волны значительно отличается от синусоидальной. На рис. 2 показана зависимость от времени отраженного поля при различных значениях .

Рис. 2. Форма отраженного поля при различных значениях амплитуды скорости плазменного зеркала: а.); б.); в.)

В отраженной волне присутствует большое число нечетных гармоник основной частоты , причем, чем ближе к единице, тем больше гармоник задействовано в формировании отраженной волны. Принципиальным моментом является жесткая привязка фазы всех гармоник к фазе падающей волны частоты . В результате все гармоники складываются синхронно, и отраженное поле имеет вид коротких импульсов, следующих с частотой , с амплитудой, пропорциональной количеству гармоник, и с длительностью, обратно пропорциональной числу гармоник. Для относительной комплексной амплитуды (2p+1)-ой гармоники, подставляя в спектральное разложение поля излучения (7) решения уравнений движения (10) без инерционного члена, можно получить следующее выражение:

(12)

где коэффициенты и определяются соотношениями:

,

- функции Бесселя n-ого порядка. Таким образом, выражение (12) дает точное аналитическое решение задачи об отражении синусоидальной волны частоты от идеально отражающего зеркала, осциллирующего в продольном направлении с произвольной амплитудой и частотой . Отметим, что аналогичные формулы могут быть получены и в общем случае, при наличии дисперсии.

Анализ выражения (12) дает не только численное значение коэффициента преобразования мощности падающей волны в гармоники, но также показывает и сильную его зависимость от разности фаз колебаний электронного листа и волны.

3. Излучение листа в поле монохроматической волны.

Перейдем теперь к самосогласованному анализу отраженного поля в случае, когда движение листа происходит под действием линейно-поляризованной падающей волны . Здесь, в отличие от случая, рассмотренного в п. 2 будет учтена дисперсия электронной среды, и, кроме того, существенно негармонический характер электронных осцилляций. Траекторию электронного листа в этом случае можно представить как сумму трех составляющих:

1. поперечные осцилляции на частоте падающей волны.

2. продольные осцилляции на двойной частоте падающей волны.

3. продольный дрейф под действием силы давления со стороны волны.

При релятивистских интенсивностях сила давления волны на лист будет очень большой, что приведет к быстрому продольному разгону до скорости, близкой к световой, после чего лист практически перестанет излучать назад (отражать). Поэтому необходимо компенсировать среднюю силу давления, для чего может быть использовано, например, внешнее статическое поле с напряженностью (в реальном эксперименте такое поле может создаваться, например, положительным зарядом тяжелых ионов). В самом деле, при, где , сила электростатического притяжения со стороны ионного фона оказывается больше силы светового давления, и в системе возможен стационарный режим. При для полной компенсации силы давления следует положить [8]. В этом случае уравнения движения (3) электронного листа имеют вид:

(13)

где - безразмерная компенсирующая сила. Численный анализ системы (13) показывает, что продольные осцилляции электронного листа имеют существенно негармонический характер при больших , что отличается от обычно принимаемого синусоидального закона движения. Кроме того, имеются участки траектории, где зеркало движется навстречу волне со скоростью, близкой к скорости света. В соответствии с выражениями (3) именно с этих участков траектории и происходит излучение импульсов большой амплитуды (генерация высоких гармоник).

Наиболее эффективное увеличение амплитуды отраженных импульсов и обогащение гармониками происходит согласно (3) при движении листа навстречу падающей волне со скоростью, близкой к . Для встречного разгона электронного листа может быть использовано, например, в дополнение к статическому полю поле раскачивающей волны с частотой, значительно меньшей частоты падающего излучения. Тогда статическое поле компенсирует силу давления падающей волны, а раскачивающее поле обеспечивает встречную скорость листа, близкую к скорости света. Пусть, например, внешнее поле выбрано в виде , где множитель введен для обеспечения квазистационарности режима. Для этого случая на рис.3 показаны формы отраженного поля при и различных значениях и . Отраженное поле представляет собой набор цугов, следующих с периодом раскачивающей волны и состоящих из коротких разнополярных импульсов с большой амплитудой, которые излучаются с участков траектории, где . Длительность цуга примерно равна половине периода раскачивающего поля, причем происходит неравномерное эффективное сжатие цуга за счет доплеровского преобразования частоты. Расстояние же между цугами изменяется мало, так как эти участки соответствуют моментам времени, когда , и доплеровское изменение частоты несущественно. Отметим, что здесь, в отличие от приближения, использованного в п.3 (рис. 2), учет дисперсии приводит к двуполярной форме каждого импульса.

Рис. 3. Поле излучения плазменного слоя в присутствии раскачивающего поля при а.) и б.)

электростатический амплитуда плазменный магнитный

4. Излучение листа в поле двух встречных волн.

Как уже отмечалось, для того, чтобы электронный лист совершал финитные колебания в поле мощной электромагнитной волны, необходимо компенсировать силу давления, которую оказывает волна на лист. В предыдущем разделе рассматривалась ситуация, в которой сила давления компенсировалась однородным электростатическим полем . Однако, в случае взаимодействия электронного листа с электромагнитной волной большой мощности, создание в реальном эксперименте статического поля, способного компенсировать силу давления, может оказаться затруднительным. Поэтому более привлекательной является схема, в которой присутствуют две волны одинаковой амплитуды, распространяющиеся навстречу друг другу. Таким образом, возникает задача о взаимодействии электронного листа со стоячей электромагнитной волной.

Для напряженностей электрической и магнитной составляющих стоячей линейно-поляризованной волны имеем:

; . (14)

Уравнения движения (9) запишутся теперь в виде:

. (15)

Здесь введены нормированные безразмерные переменные .

Пусть сначала . В этом случае уравнения (15) принимают вид:

. (16)

В уравнении для член должен быть оставлен т.к., несмотря на малость продольной и поперечной скоростей электронного листа, коэффициент , и этот член может быть порядка остальных членов во втором уравнении системы (16).

Без учета сил самодействия (радиационного трения) листа, описываемого последними членами в (16), уравнения (16) принадлежит к хорошо изученному типу уравнений движения частиц в высокочастотном поле. Классический результат [9] состоит в том, что, в отсутствии радиационного трения продольное движение частиц представляет собой быстрые осцилляции на частоте и медленный дрейф в эффективном потенциале Гапонова-Миллера (здесь символ означает усреднение по времени). Естественно поэтому предположить, что при наличии диссипации энергии за счет излучения частицы с течением времени окажутся в точке минимума потенциальной энергии , т.е. в узле стоячей волны. Так как в этой точке электрическое поле равно нулю, частицы будут пребывать в состоянии покоя и не будут излучать. Однако, более подробный анализ системы (16) показывает, что наличие членов, соответствующих нелинейному радиационному трению, может существенно изменить ситуацию.

Пусть, например, выполнено условие (это условие не ограничивает анализ случаем малых амплитуд, т.к. при любом ускорительном параметре можно подобрать достаточно большую плотность заряда листа, так, что бы условие оставалось справедливым). Удерживая в уравнениях (16) члены первого и второго порядка по , для медленного продольного дрейфа можно получить уравнение (см. Приложение):

, (17)

откуда для эффективной потенциальной энергии и эффективного коэффициента трения имеем выражения:

 (18)

. (19)

Первый член в (18) соответствует высокочастотному потенциалу Гапонова-Миллера, второй описывает влияние нелинейного радиационного трения. Можно показать, что при характер дрейфа в основном соответствует движению в потенциале Гапонова-Миллера: устойчивое положение равновесия находится в узле электрической составляющей стоячей волны (). Однако, при прежнее положение равновесия становится неустойчивым, а с двух сторон от узла появляются два новых устойчивых положения равновесия, которые при больших стремятся к (рис. 4).

Рис. 4. Зависимость нормированной эффективной потенциальной энергии медленного дрейфа от продольной координаты для различных значений ускорительного параметра: (1) - ; (2) - (точка бифуркации) ; (3) -

Сравнивая для эффективную частоту колебаний вблизи минимумов потенциальной энергии (18) и затухание (19), можно сделать вывод о том, что дрейф листа носит характер апериодического сползания к новому положению равновесия. Вследствие того, что в новом положении равновесия амплитуды электрического и магнитного полей стоячей волны не равны нулю, электронный лист совершает интенсивные осцилляции на частоте в поперечном направлении и на частоте в продольном направлении, излучая при этом электромагнитные волны. Таким образом, эффективное излучение плазменного слоя в поле стоячих волн возможно только для достаточно мощных полей, обеспечивающих (напомним, что аналитическое решение получено при условии ). Численный анализ полной системы уравнений движения показывает, что при увеличении амплитуды стоячей волны учет релятивистских факторов в системе (15) не изменяет качественно характер продольного дрейфа. Для достаточно большой амплитуды стоячей волны амплитуда релятивистской скорости быстрых продольных ангармонических осцилляций на частоте стремится к единице, а излучение принимает вид последовательности мощных импульсов, следующих на двойной частоте волны. Форма поля излучения представлена на рис. 5 и 6.

Рис. 5. Нестационарное поле излучения плазменного слоя в переходном режиме: ; нормированная начальная координата слоя -

Рис. 6. Поле излучения плазменного слоя в положительном (а) и отрицательном (б) направлении оси при . Движение происходит вблизи левого (относительно узла электрической составляющей стоячей волны) положения равновесия. Поле излучения плазменного слоя в положительном (а) и отрицательном (б) направлении оси при . Движение происходит вблизи левого (относительно узла электрической составляющей стоячей волны) положения равновесия

Существенным моментом является зависимость отраженного поля от начальных условий. Действительно, если начальное значение продольной координаты выбрано вблизи положения равновесия, то стационарное значение амплитуды поля излучения устанавливается практически в течение трех-пяти импульсов. Если же начальное значение координаты далеко от положения равновесия, то сначала излучаются один-два импульса с амплитудой больше стационарного значения (рис.5), затем следует длительный период, когда импульсы имеют относительно малую амплитуду, и далее устанавливается стационарный режим. Последний случай может быть интересен для проблемы генерации сверхширокополосных одиночных оптических импульсов.

Отметим еще один интересный эффект, возникающий из-за наличия бифуркации в рассматриваемой системе. При отражение волн становится несимметричным относительно плазменного слоя (рис. 6). Дело в том, что в этом случае не только процесс установления, но и вид стационарного состояния становится зависимым от начальных условий. На рис. 7 представлены стационарные траектории электрона в ультрарелятивистском случае (и ) при некотором определенном начальном положении слоя. Асимметрия кривой указывает на асимметрию при излучении в положительном и отрицательном направлении оси z и, следовательно, при отражении волн. При другом выборе начальных условий траектория может быть зеркально отраженной относительно узла электрической составляющей стоячей волны.. Параметры излучения слоя при этом меняются на противоположные.

Рис. 7. Стационарные траектории движения плазменного слоя при (а) и (б). Движение происходит вблизи левого положения равновесия

Обсуждение результатов.

Таким образом, при взаимодействии мощной электромагнитной волны с плотным плазменным слоем может генерироваться последовательность ультракоротких импульсов с амплитудой, значительно большей амплитуды падающей волны.

Оценим величину ускорительного параметра , которую можно реализовать экспериментально в настоящее время. Из выражения (8) имеем при плотности мощности падающего излучения Вт/ на длине волны 2 мкм параметр . Увеличение амплитуды отраженных импульсов по отношению к амплитуде падающей волны оказывается при этом более 15-ти раз (см. рис.3а). Дальнейший прогресс в технике генерации сверхмощных лазерных импульсов позволит увеличить ускорительный параметр. Так, для значения (рис.3б) требуется интенсивность волны накачки порядка Вт/, что не кажется недостижимым. Другим вариантом увеличения эффективности генерации мощных ультракоротких импульсов при отражении от плазменного слоя может быть использование процесса каскадного отражения, что представляет предмет самостоятельного изучения.

Оценим возможную величину параметра , достижимую в современных экспериментах. Поверхностная плотность определяется объемной концентрацией электронов и толщиной листа. Пусть длина волны падающего на лист излучения есть . Тогда при толщине листа менее все точки листа будут двигаться практически одинаково. Для такого листа полностью применимы все выражения, полученные для бесконечно тонкого листа (если толщина среды оказывается больше , то для корректного решения задачи необходимо учитывать различие скоростей разных слоев внутри листа, так что система уравнений значительно усложняется, хотя предложенный метод по-прежнему применим). Таким образом, выбирая концентрацию электронов порядка см и толщину листа равной , для параметра получим максимальное значение порядка 10 … 100 в зависимости от длины волны. Очевидно, что, выбирая более тонкие листы, значение параметра можно уменьшить.

В настоящей работе рассмотрено перпендикулярное падение волны на плазменный лист. Полученные результаты легко могут быть обобщены на случай наклонного падения, используя прием, изложенный в [3]. Кроме того, прелагаемая методика позволяет находить не только отраженное поле, но также и прошедшую волну. Так, в [8] аналитически найдено выражение в третьем порядке по параметру для излучения, проходящего через тонкий плазменный лист.

Для простоты и наглядности ионный фон не принимался во внимание при вышеприведенных расчетах. Однако, учесть влияние ионов можно с помощью подхода, использованного здесь для электронов. То же самое относится и к возможному начальному распределению электронов по скоростям - для каждого значения скорости необходимо вводить свой электронный лист с определенной поверхностной плотностью, а общую силу реакции излучения рассчитывать, интегрируя по функции распределения скоростей.

Физически реализовать модель тонкого плазменного листа можно, испаряя подвешенную тонкую (порядка нескольких микрон и менее) пленку мощным лазерным излучением. Видимо, эта задача наиболее естественно решается в поле двух стоячих волн. Следует отметить, что аналогом продольного низкочастотного качания листа, рассмотренного в п.3, является, по-видимому, случай, когда одна из встречных волн или обе являются модулированными.

В заключение отметим, что экспериментальное подтверждение возможности излучения электромагнитных импульсов может быть получено в интерферометрических экспериментах, например, использующих деление волнового фронта [11], уже при умеренном значении мощности падающего излучения. Возможно также использование оптических нелинейностей в схеме, основанной на эффектах двухфотонной (многофотонной) люминесценции [12, 13].

Список литературы:

1. D. Von der Linde, K. Rzazewski// Appl. Phys. B. 1996, V.63, P.499.

2. R. Lichters, J. Meyer-ter-Vehn, A. Pukhov // Phys. Plasmas, 1996,V.3, N.9, P.3425.

3. A. Bourdier, // Phys. Fluids 1983 V.26, P.1804.

4. P. Gibbon, // Phys. Rev. Lett., 1996V.76, N 1, p.50.

5. S.V. Bulanov, A.Macchi, F. Pegogaro // Phys. Lett. A, 1998, V.245, P.439.

6. D. Bauer, R.R.E. Salomaa, P. Mulser // Phys. Rev. E, 1998, V.58, N.2, P.2436.

7. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теория поля, М.: "Наука", 1967.

8. А.С. Ильин, В.В. Кулагин, В.А. Черепенин // Радиотехника и Электроника, 1999, V.44, P.389.

9. А.В. Гапонов, М.А. Миллер // ЖЭТФ, 1958, V.34, С.242.

10. В.В. Кулагин, В.А. Черепенин // Письма в ЖЭТФ, 1996,V.63,C.160.

11. М. Борн, И. Вольф, Основы оптики, пер. с англ. под ред. Мотулевич Г.П., М.: "Наука", 1970.

12. С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин, Введение в статистическую радиофизику и оптику. М.: "Наука", 1981.

13. С.А. Ахманов, В.А. Выслоух, А.С. Чиркин. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов. М.: "Наука", 1988.

14. Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: "Наука", 1974.

15. В.И. Арнольд. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: "Наука", 1978.

Приложение

В данном приложении будут обоснованы приведенные без доказательства в п.4 аналитические результаты о характере движения электронного листа в поле двух встречных волн.

Представим уравнения (16) в виде системы трех уравнений первого порядка:

(П.1)

Введем следующий безразмерный параметр (в дальнейшем мы будем полагать его малым):

Тогда уравнения (П.1) представятся в виде:

(П.2)

Решение первого уравнения системы (П.2) можно получить методом последовательных приближений, представляя поперечную скорость в виде ряда и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях . Далее нас будет интересовать решение с точностью до .

(П.3)

Во втором слагаемом мы не стали явно выписывать члены, порядка и , т.к. в дальнейшем их можно будет отбросить.

Подставляя уравнение (П.3) в систему (П.2), получим два уравнения первого порядка:

(П.4)

Делая замену , приведем систему (П.4) к виду:

. (П.5)

Уравнения (П.5) будем решать методом усреднения [14,15], для чего необходимо привести их к каноническому виду: . С этой целью сделаем замену переменных , где функция подбирается так, чтобы компенсировать в первом уравнении системы (П.5) член . Легко проверить, что для этого достаточно положить .

Система (П.5) в новых переменных будет иметь вид:

(П.6)

Производя теперь в (П.6) усреднение по времени, получим для дрейфовой составляющей продольной координаты следующее уравнение:

, (П.7)

откуда непосредственно следует (17). Согласно теореме об усреднении [15], ошибка при замене решений уравнений (П.6) решением усредненных уравнений (П.7) будет составлять равномерно на временах, порядка .

Размещено на Allbest.ru