Аномальная дисперсия волн, распространяющихся в многослойных металлодиэлектрических структурах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Аномальная дисперсия волн, распространяющихся в многослойных металлодиэлектрических структурах

Многослойные плёночные структуры, содержащие волноведущие и разделительные слои (ВС и РС) диэлектриков или полупроводников, находят применение в функциональных элементах интегральной оптики [1,2]. В диэлектрических интегральных схемах миллиметрового диапазона [3] ВС или диэлектрические волноводы (ДВ) могут располагаться на поверхности металлической подложки с тонким промежуточным слоем (ПС) диэлектрика [4]. При формировании объёмной интегральной схемы [5] из двух расположенных друг над другом ВС или ДВ образуется пятислойная металлодиэлектрическая структура (МДС), содержащая расположенные между металлическими экранами (МЭ) два ПС, два ВС и РС (рис. 1). Такая МДС может быть использована для создания делителей мощности объёмного формообразования.

Рис. 1

волна дисперсия электромагнитный

В направлении оси Z вдоль слоёв плоской (ширина ) МДС распространяются волны , отличающиеся направлением преимущественной поперечной поляризации электрического поля волны: волны  имеют компоненты поля , , и , а волны  - , , и . Индексы «m» и «n» означают число нечётных  и чётных  гармоник поля в ВС, а индексы «p» и «q» относятся к двум типам волн, соответственно имеющих нечётное  или чётное  гиперболические вариации поля по высоте РС. Именно электромагнитное взаимодействие волн  и  приводит к биениям этих волн и перекачке электромагнитной энергии из одного ВС в другой и обратно [6].

Дисперсионные уравнения

Ранее в работе [7] для обобщённой модели МДС, содержащей расположенные между МЭ центральный ВС с диэлектрической проницаемостью  и высотой , два ПС с диэлектрическими проницаемостями  и  и высотами  и  с верхней стороны ВС и два ПС с диэлектрическими проницаемостями  и  и высотами  и  с нижней стороны ВС () было получено обобщённое дисперсионное уравнение (ДУ) для суперпозиции нечётных и чётных гармоник поля волн  по высоте  ВС и суперпозиции полей с экспоненциальным распределением амплитуды по высотам ПС . Это трансцендентное уравнение имеет вид:

(1)

где  - поперечные волновые числа, 

Решение ДУ (1) значительно упрощается для симметричной МДС (рис. 1), в которой для двух ПС, контактирующих с ВС, поперечные волновые числа , а для двух ПС, контактирующих с МЭ .

В этом случае коэффициенты , , а ДУ (1) имеет два независимых решения для волн  и :

(2)

(3)

В данной работе рассматривается обратная дисперсионная задача, когда два ПС с высотами  и диэлектрическими проницаемостями  выполняют функции ВС с гармоническим распределением амплитуд полей, а ВС высотой  и диэлектрической проницаемостью  является РС, соответственно, с нечётным и чётным гиперболическими вариациями полей. При этом соблюдается соотношение 

Для симметричной МДС с двумя ВС в ДУ (2) и (3) действительные значения поперечных волновых чисел  необходимо заменить на мнимые, то есть произвести подстановки . В этом случае в ДУ (2) и (3) происходит замена тригонометрических функций на гиперболические и, наоборот, гиперболических функций на тригонометрические, так как

Для решения ДУ (2) и (3) необходимо учесть соотношения между продольными  (постоянные распространения) и поперечными волновыми числами . Эти соотношения следуют из условий для разделения переменных в волновом уравнении Гельмгольца и имеют вид:

, (4)

где  - волновое число в вакууме.

Для упрощения совместного решения уравнений (2) - (4) введём новые параметры , которые характеризуют отношения поперечных волновых чисел:

В этом случае с учётом соотношений (4) для нормированных к высоте ВС  поперечных волновых чисел получим:

(5)

Где 

.

Решения ДУ (2) и (3) совместно с выражениями (5) удобно записать относительно функций , характеризующих суперпозицию нечётных и чётных гармоник поля в ВС. Эти решения в параметрической форме имеют вид:

(6)

(7)

Где , , .

Следует заметить, что в предельном случае ,  пятислойная МДС трансформируется в открытый трёхслойный волновод, а система ДУ (7) для волн  соответствует ДУ для нечётной и чётной волн трёхслойного волновода [6]. Для получения ДУ нечётных  и чётных  волн системы уравнений (6) и (7) необходимо разрешить относительно функций  половинного аргумента. В этом случае системы ДУ (6) и (7) можно представить в обобщённом виде:

(8)

Знаки «+» и «-» в системах ДУ (6) и (7) относятся к ДУ для нечётных  и чётных волн .

Системы ДУ (8) характеризуют сложную функциональную связь параметров , пропорциональных приведённым волновым числам  (частоте), с параметрами , равных отношению поперечных волновых чисел, а также с геометрическими  и диэлектрическими  параметрами МДС.

Действительные решения систем ДУ (8) существуют при изменении параметров  в пределах . Левый предел  соответствует низкочастотным границам спектра волн , а условия  определяют высокочастотную границу спектра волн .

Относительное замедление волн  определяется из уравнений (4) и в параметрической форме имеет вид:

волна дисперсия электромагнитный

(9)

Из выражения (9) следует, что изменение параметров  в пределах  ограничивает спектр волн  пределами относительных замедлений .

В случае, когда параметры , расчётная пятислойная модель МДС на рис. 1, трансформируется в две плоские пластины с высотой  и диэлектрической проницаемостью , окружённые безграничными средами с диэлектрическими проницаемостями  и . При этом аргументы гиперболических функций  и , гиперболические функции  и , а уравнения в системе ДУ (8) вырождаются и при  имеют известный [8] вид:

При  параметры , а уравнения в системе ДУ (8) имеют явные решения:

, .

Эти решения означают, что при относительном замедлении  спектр основных и высших типов волн  не ограничен по приведённым волновым числам  (частоте).

Спектральный анализ систем ДУ (8) в общем виде затруднён. Однако, для основных волн  возможны решения  и, следовательно, . Проверка возможности таких решений показала, что основные волны  и  при любых значениях параметров  и  имеют решения  и  Аномальным исключением является ДУ для основной волны , которое при  и, следовательно,  имеет конкретное решение для параметра  в виде:

(10)

Из выражения (10) следует фундаментальный вывод о том, что в симметричной пятислойной МДС основная волна  имеет критическую отсечку распространения по относительному замедлению , которое зависит от вещественных и геометрических параметров МДС и находится в интервале  при частоте .

В другом предельном случае, когда параметры , решения уравнений в системе ДУ (8) соответствуют низкочастотной отсечке распространения волн  и  при относительном замедлении  и приведённых волновых числах  и . Приведённые волновые числа для критических частот основных типов волн  и  соответствуют условиям  и .

При фазовом синхронизме волн  и  должно происходить вырождение дисперсионных характеристик (ДХ) и, следовательно, ДУ в систему ДУ (8) для этих волн. В этом случае параметры , , , а равенства правых частей уравнений для волн  и  приводят к условиям:

(11)

Из выражения (11) следует, что ДХ волн  и  не имеют общей точки пересечения (точки кроссовера), а полный фазовый синхронизм этих волн при конечных значениях параметра  наступает при  и, следовательно, условиях

Следует отметить, что эффективность взаимодействия волн  и  повышается при увеличении относительного расстояния  между ВС.

Аномальная дисперсия основных волн .

Для частного случая  и , параметры , , а система ДУ (6) упрощается и имеет вид:

(12)

(13)

Из систем ДУ (12) и (13) видно, что ДУ для волн  и  имеют независимые от параметров  и  решения при  и  в виде  и .

Эти решения означают, что дисперсионные кривые (ДК) основных волн  и  для различных значений  имеют при относительных замедлениях   и приведенных волновых числах ,  общую точку пересечения. Низкочастотная отсечка распространения волн  и  при  соответствует относительному замедлению  и приведённым волновым числам  и . Аномальным исключением является волна , которая согласно первому уравнению системы ДУ (8) имеет отсечку распространения  при  и относительном замедлении

(14)

Из выражения (14) следует, что отсечка распространения основной волны  происходит при критической частоте, равной нулю и относительном замедлении, зависщем не только от вещественных, но и геометрических параметров симметричной МДС. Указанный эффект очевидно связан с конечной величиной электростатической энергии волны , запасённой в образованном МДС конденсаторе с многослойным диэлектрическим заполнением.

Волноводные моды

Последовательный набор волноводных мод при  обусловлен распространением в МДС волн, имеющих гармонические распределения амплитуд полей в ВС, РС и ПС. Для первых волноводных мод в системе ДУ (8) необходимо действительные значения параметров  заменить на мнимые, то есть произвести подстановку . При такой подстановке происходит изменение параметров в системе ДУ (8), а также преобразование гиперболических функций в тригонометрические, так как , где 

Решение системы ДУ (8) для вторых волноводных мод соответствует мнимым значениям параметров  Изменение параметров  в системе ДУ (8) определяется высокочастотной границей спектра, соответствующей условиям  и относительному замедлению  Низкочастотная граница спектра первых волноводных мод соответствует условиям  и, следовательно , , и .

В области замедлений  происходит распространение вторых волноводных мод. Эти замедления соответствуют изменению параметров  в пределах .

При  постоянная распространения становится мнимой величиной, что соответствует преобразованию спектра волноводных мод в реактивные запредельные волны.

Для частного случая  и  системы ДУ (12) и (13) для волноводных типов волн при  преобразуются к виду:

(15)

(16)

Следует заметить, что первое уравнение системы ДУ (15) для волноводных мод  и последнее уравнение системы ДУ (16) для волноводных мод  при  и  имеют независимые решения для нечётных и чётных мод:

Из полученных решений следует, что чётные волноводные моды  и  имеют низкочастотную отсечку распространения при условиях  и 

Аномальными являются спектральные характеристики волноводных мод  и . Это связано с тем, что при  ДУ для этих волн соответствуют преобразованию нечётных волн  в волноводные чётные моды  и, наоборот, чётных волн  в нечётные волноводные моды .

Численные результаты

Численный анализ систем ДУ (15) и (16) проводился для симметричной пятислойной МДС с параметрами:  (полиэтилен),  (высокоомный кремний), . Из уравнений при заданных параметрах ,  и  определялись приведённые волновые числа  для двух основных волн  и двух высших волн  при известных значениях ,  и  из выражений (9) и (14) определялись относительные замедления этих волн в зависимости от приведённых волновых чисел (частоты).

На рис. 2 показаны дисперсионные кривые (ДК) волн  (сплошные кривые) и волн  (штриховые кривые) при . Интервал относительных замедлений  соответствует границам спектра волн , а в интервале относительных замедлений  расположены ДК волноводных мод. Видно, что волны  имеют низкочастотную отсечку распространения при  и относительном замедлении . При  , и относительном замедлении  происходит пересечение ДК волн  при различных значениях параметра . Видно, что увеличение  приводит к сдвигу критических частот в сторону меньших значений  и к сближению ДК волн  и . Для волноводных мод ДК являются продолжением в область замедлений  ДК волн . При этом критические частоты волноводных мод  зависят от параметра  и имеют относительные замедления  при .

Рис. 2

Рис. 3

На рис. 3 представлены ДК волн  и  (соответственно, сплошные и штриховые кривые) для . Видно существенное аномальное различие ДК основных волн  и  (рис. 2). Это различие заключается в том, что основная волна  имеет критическую частоту при  и величине относительного замедления , в то время как основная волна  имеет критические частоты при  и .

При этом уменьшение параметра  приводит к смещению критических замедлений волны  в сторону больших значений  Критические частоты основной волны  так же как и волны  на рис. 2, зависят от параметра  и соответствуют условиям >0 при . Все ДК волны  при  и =1,62 и различных  имеют общую точку пересечения. При увеличении  происходит сдвиг критических частот волн  в сторону меньших значений  и сближение ДК волн  и . При этом практическое вырождение ДК этих волн происходит при более низких значениях , чем для волн  и . Это означает, что эффективное электромагнитное взаимодействие волн  и  происходит в более широкой полосе частот.

Спектр волноводных мод  расположенный на рис. 3 в диапазоне относительных замедлений , имеет аномальные свойства, заключающиеся в том, что спектр нечётных волн  при  преобразуется в спектр чётных волноводных мод, а спектр чётных волн  трансформируется в спектр нечётных волноводных мод . Поэтому ДК волноводных мод  являются продолжением в область относительных замедлений  ДК волн . Следует заметить, что ДК волноводной моды  не имеют аномальных свойств, а критические частоты волноводной моды  смещаются в область замедлений 

Рис. 4

В открытой структуре (рис. 4) при отсутствии МЭ существенным образом изменяются ДХ волн  (сплошные кривые) и  (штриховые кривые). Видно, что в отличие от пятислойной МДС (рис. 3) в открытой трёхслойной структуре критическая частота основной волны  не зависит от параметра  и соответствует приведённому волновому числу  и относительному замедлению . При этом ДК волн  при различных  не имеют общих точек пересечения и при увеличении  сдвигаются в сторону меньших значений .

Наличие МЭ в многослойной МДС с двумя ВС приводит к аномальной дисперсии основных волн  Эти аномальные эффекты заключаются в наличии общей точки пересечения ДК волн  и  при различных значениях параметра , а также в наличии критических относительных замедлений волны  при  и  Кроме того, при  наблюдается эффект преобразования нечётных волн  в чётные волноводные моды 

Установлено, что увеличение относительного расстояния  между ВС приводит к сближению ДК волн  и , а практическое вырождение ДК волн  и  наступает при меньших значениях приведенных волновых чисел, чем для волн  и  Это увеличивает широкополосность делителей мощности, использующих распределённую электромагнитную связь волн  и  в пятислойной МДС.

Литература

1. Введение в интегральную оптику. Под редакцией М. Барноски. Перевод с английского под ред. Т.А. Шмаонова. Издательство Мир, М. 1977.

2. Гвоздев В.И., Мурмужев Б.А., Подковырин С.И. // Микроэлектроника, 1998, т. 24, №4, с. 244.

3. Взятышев В.Ф., Нарытник Т.Н., Рябов Б.А. // Обзоры по электронной технике. Сер. 1. Электроника СВЧ. 1986. Вып. 13 (1209).

4. Вапнэ Г.М., Глаголев Б.С. // Обзоры по электронной технике. Сер. 1. Электроника СВЧ. 1986. Вып. 11 (1200).

5. Гвоздев В.И., Нефёдов Е.И. Объёмные интегральные схемы СВЧ. М. 1985.

6. Мальцев В.П., Нефёдов Е.И., Шевченко В.В. // Известия Вузов. Радиоэлектроника, 1970, т. 13, №11, с. 1381.

7. Мурмужев Б.А. // РЭ. 2005, т. 50, №7, с. 849.

8. Взятышев В.Ф. Диэлектрические волноводы, М. 1970.

Размещено на Allbest.ru