Теория однородных нестационарных сред (негравитирующие среды)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теория однородных нестационарных сред (негравитирующие среды)

Юровицкий В.М., Российский государственный социальный университет, Москва

Рассматривается новый объект механики - однородные нестационарные среды. В данной работе рассматриваются негравитирующие среды свободных тел. Выводятся критерии однородности нестационарных сред. Показывается, что важнейшим критерием однородности является хаббловское распределение скорости. Рассматриваются среды трех, двух и одной размерности. Показывается возможности применения данной теории к описанию и исследованию макровзрывных процессов. Получены выражения для предельные скоростей взрывных фронтов. Обнаружены неизвестные, повидимому, механизмы взрыва прецессирующих тел вдоль оси прецессии.

Однородные среды наиболее часто встречающийся и используемый физический объект. Это газ, жидкость, твердые тела и т.д. Но это все есть стационарные среды. В них характеристики всех элементов среды одинаковые. Но есть и другой класса однородных сред, которые мы назовем нестационарными средами. В этих средах значение характеристик среды в разных местах среды разное.

Но тогда что же в них однородное?

Однородность этого класса сред является нестационарной. Это означает, что характеристика сред различна в различных точках пространства, но они одинаковы для любого наблюдателя, связанного со средой. Например, пусть мы имеем распределение скоростей среды в системе отсчета, связанного с элементом среды (средовым наблюдателем). Перейдем к другому средовому наблюдателю,. т.е. наблюдателю, связанному с другим элементом среды. Если распределение скоростей и иных характеристик среды в системе отсчета нового наблюдателя совпадает с распределением этих же характеристик предыдущего наблюдателя, то мы будем говорить об однородной нестационарной среде.

Критерии нестационарной однородности сред

Рассмотрим текучую среду, в которой скорость течения элементов среды зависит линейно от расстояния:.

(1)

где - скорость точек среды, - радиус-вектор среды, - линейный коэффициент, Этот коэффициент назовем хабблианом В честь знаменитого американского астронома Эдвина Пауэлла Хаббла (1889 -1953), впервые экспериментально обнаружившего среду с линейной зависимостью скорости от расстояния. . Хабблиан может быть функцией времени, т.е.

Покажем, что это распределение скоростей является кинематически однородным.

Пусть мы имеем некоторую систему тел с линейным распределением скорости движения частиц с хабблианом H. Пусть имеется точка с координатой , скорость которой Перейдем в систему отсчета с началом в точке Тогда в новой системе отсчета новая координата произвольной точки будет связана со старой ее координатой соотношением: и ее скорость Итак, мы видим, что в новой системе отсчета распределение скоростей не отличается от распределения скоростей в первичной системе отсчета.

Второй критерий нестационарной однородности есть критерий вещественной однородности. Так как вещество в механике характеризуется массой, то это означает, что плотность массы должна быть одинакова во всем пространстве, т.е. Однако, она тоже может зависеть от времени

Однородная трехмерная нестационарная среда

Рассмотрим однородную негравитирующую невзаимодействующую нестационарную систему тел. Наличие (электромагнитного) взаимодействия однозначно нарушает однородность среды.

Среда состоит из невесомых тел. Поэтому уравнение движения тел в такой системе есть:

(2)

Это уравнение субстанционального движения, т.е. движения одной частицы. Но при рассмотрении движения сред гораздо интереснее конвенциональное движение, т.е. движение частиц через данную точку пространства с течением времени. Для конвенциональной скорости имеем уравнение:

Подставляя выражение для скорости из (1), получаем:

(3)

Окончательно получаем уравнение для хабблиана:

(4)

Второе уравнение, которое необходимо использовать, есть уравнение неразрывности, которое выражает закон сохранения массы:

Подставляя значение скорости (1), получаем

Окончательно получаем полную систему уравнений для трехмерной однородной нестационарной негравитирующей среды с невзаимодействующими друг с другом элементами:

(5)

Анализируем систему (5). Из второго уравнения следует:

Константу С полагаем равной 0. Т.е. начало процесса отнесем ко времени t=0. В начальный момент имеем сингулярность. Но мы покажем далее, что это устранимая сингулярность.

Подставляя значение хабблиана в первое уравнение системы (5), получаем для плотности:

Итак, полное решение системы (5) есть:

(6)

Проверим, действительно ли наше решение описывает поток частиц с постоянной скоростью. Для скорости имеем

Это соотношение можно интепретировать и как субстанциональнгое, т.е. как отношение уравнение движения частицы с постоянной скоростью.

Однородная нестационарная негравитирующая среда может явиться достаточно адекватной моделью макровзрыва в свободном пространстве в инерциальной системе отсчета. Такой взрыв, например, твердого взрывчатого вещества происходит в две стадии:

1. Преобразование однородного взрывчатого вещества в однородную нестационарную среду (инициация взрыва).

2. Расширение (разлет) нестационарной среды.

Первая фаза есть предмет физики взрыва и этой фазе посвящено Большое количество исследований и научных работ. Второй этап есть предмет механики взрыва. Наконец, на практике взрыв используется для осуществления определенных действий в окружающем пространстве, являющиеся результатом воздействия нестационарной системы на окружающее пространство, что явится уже предметом техники взрыва. Третьей фазе посвящено также громадное количество научных и практических исследований. Но вторая фаза, которая в той или иной степени присутствует во всех взрывных процессах, до сих пор ускользала от исследователей. Причина в том, что при взрыве внутри твердой или жидкой среды эта фаза очень краткая. При взрыве в атмосфере она более длительна, но также достаточно быстро преобразуется в движения иной механической природы, например, ударные волны. И лишь при взрыве в вакууме она будет наиболее выражена, но такие взрывные процессы на практике достаточно редко используются.

Рассмотрим процесс создания нестационарной системы. Пусть имеется шар взрывчатого вещества радиусом r₀ плотностью ₀ и удельной энергоемкостью w. Полная потенциальная энергия этого шара есть:

(7)

Мгновенно (с точки зрения характерных времен существования нестационарной системы) в этом же объеме образуется однородная нестационарная среда с линейным распределением радиальной скорости от 0 в центре до максимального значения v₀ на внешней поверхности шара. Кинетическая энергия этой системы будет:

(8)

Считая, что в процессе трансформации однородной статической среды в нестационарную высвободилась вся потенциальная энергия, мы можем приравнять потенциальную энергию из (7) и кинетическую из (8), и из закона сохранения энергии следует: откуда для максимальной скорости получаем отношение, связывающее ее с удельной энергоемкостью взрывчатого вещества:

(9)

Так как в дальнейшем частицы среды распространяются свободно, то эта скорость и есть скорость распространения фронта взрыва Интересно, что от массы взрывчатого эта скорость не зависит. Результат далеко не тривиальный.

Например, для тринитротолуола w = 4.2 Мдж и скорость распространения фронта составляет 2.8 км/с. А для иных взрывчатых веществ скорость распространения фронта взрыва можно вычислить по формуле:

где TE есть энергоемкость ВВ в тротиловом эквиваленте.

Для H₀ получаем значение:

Здесь есть временной сдвиг. Если использовать время где t есть время, прошедшее от момента истинного взрыва, то мы можем пользоваться выражениями для идеального взрыва с сингулярным началом. Для константы А имеем:

где M - масса взрывчатого вещества.

Двухмерные однородные нестационарные среды

Рассмотрим плоское двухмерное нестационарную движение свободных тел. Оказывается, существует такая система этих тел и их движений, которые будут представлять однородную двухмерную нестационарную среду.

Такая плоская система может характеризоваться однородной двухмерной плотностью Для плоской системы дивергенция в уравнении неразрывности является двухмерной, и соответствующее уравнение неразрывности будет иметь вид:

(10)

Для движения плоской системы тел можно ввести вращающуюся систему отсчета и такую, что движение всех тел будет происходить в радиальном направлении и иметь линейное распределение скоростей с хабблианом H. Для движения в радиальном направлении в неинерциальной вращающейся системе отсчета надо учитывать центробежную силу инерции и учитывая уравнение (3), получаем:

(11)

Однако, ввиду переменной скорости вращения возникают инерциальные тангенциальные удельные силы весомости и компонента кориолисовых ускорений. Соответствующее уравнение есть:

(12)

Отсюда получаем из соотношений (10), (11), (12):

(13)

Такова полная система уравнений двухмерной однородной нестационарной системы свободных тел. Переходим к решению системы (13). Деля первое уравнение на третье, получаем:

Делим теперь второе уравнение на третье и преобразовываем:

Имеем линейное уравнение первого порядка с правой частью. Решение его стандартно. Получаем:

Подставляя значения H в третье уравнение, получаем:

.

(14)

Итак, в двухмерной геометрии сингулярность не существует. Условию Н=0 соответствует состояние с максимальными начальными угловой скоростью и плотностью массы. На бесконечности угловая скорость стремится к нулю и процесс приближается к трехмерному взрыву.

Отметим еще раз. Все элементы среды не имеют никакого вращательного движения. Все они движутся по прямой и равномерно. Вращательными свойствами обладает только ансамбль частиц. Это можно образно сравнить с башней Шухова. Каждый стержень в ней прямой, а ансамбль стержней является криволинейной фигурой.

Характерно, что найти это решение классическая ньютоновская механика не смогла. Это показывает ограниченность языка ньютоновской механики.

Двухмерная однородная вращающаяся среда является, к примеру, хорошей моделью механики разрыва вращающегося ротора.

Одномерная нестационарная среда

Одномерная нестационарная среда характеризуется одномерной плотностью и обладает еще большим количеством степеней свободы, чем двухмерная. Если мы предположим, что тело движется вдоль одной оси - оси Ox, то ось вращения может иметь произвольное и меняющееся направление и величину. Соответственно с учетом кориолисовых компонент движения, а также центробежных и тангенциальных инерционных компонент, уравнение свободного движения точки имеет вид:

(15)

Получаем систему уравнений одномерной нестационарной (прецессирующей) системы свободных тел:

(16)

Решение системы (16) несложно.

(17)

Таким образом, получаем совершенно новый неизвестный ранее факт - прецессирующая система может взрываться по одномерному типу, причем вдоль оси прецессии. Заметим, что этот факт находит подтверждение в астрономических наблюдениях. Наблюдаются струйные выбросы из звезд по оси их вращения. На самом деле речь идет, видимо, об оси прецессии, а не вращения. макровзрывной скорость нестационарный прецессия

Одномерные взрывные процессы широко используются в практической деятельности, например, в стрелковом и пушечном оружии. Поэтому было бы интересно получить предельно возможные скорости движения фронта распространения одномерной нестационарной системы, ибо это и есть предельные скорости начального движения пули или снаряда. Проделывая те же самые расчеты, что и в случае трехмерного взрыва, получаем:

В газодинамической литературе встречается рассмотрение течений газа с линейной скоростью.

Но суть в том, что рассмотренные системы не есть газ. В них нет главного - стохастичности, столкновений частиц среды друг с другом. В этих системах невозможно ввести понятие температуры, энтропии, и многих других фундаментальных газовых понятий. Это действительно новое состояние вещества, новый класс физических сред наряду с твердой, жидкой и газообразной. Причем сред, имеющих большую практическую значимость.

Размещено на Allbest.ru