Общая теория неинерциальных систем отсчета в галилеевом пространстве

Размещено на http://www.allbest.ru/

Российский государственный социальный университет

Общая теория неинерциальных систем отсчета в галилеевом пространстве

Юровицкий В.М., E-mail: vlad@yur.ru

Введение

В современной механике со времен Даламбера используются неинерциальные системы отсчета. Но используются они весьма ограниченно. Общей теории неинерциальных систем отсчета до сих пор не существует. В работе дано полное описание неинерциальных систем отсчета в галилеевом (негравитирующем) пространстве в интегральном представлении и в микроописании как поле весомости элементов твердого тела, на базе какового и строится ньютоно-эвклидова система тел отсчета. Получены уравнения состояния и уравнения движения в неинерциальной системе отсчета. Разработана новая технология исследования движения тел в точечном представлении - технология переменных систем отсчета, в которой сама система отсчета является переменными задачи. Приведены примеры.

1. Уравнения состояния неинерциальных систем отсчета

В качестве системы отсчета используем ньютоно-эвклидовскую систему отсчета на базе абсолютно твердого тела. В качестве характеристики состояния всех элементарных механических объектов используем характеристику весомости W, равную нулю в невесомом состоянии, характеризующем свободное, невзаимодействующее состояние объекта, и отличную от нуля при наличии механических воздействий на него со стороны других тел.

Пространство, в котором отсутствует феномен гравитации, назовем негравитационным или галилеевым.

В галилеевом пространстве можно ввести инерциальную ньютоно-эвклидову систему отсчета. В этой системе она сохраняет жесткость и неизменность без взаимодействий тел отсчета друг на друга. Другими словами, все элементы инерциальной системы отсчета находятся в невесомом состоянии. Соответственно все невесомые (свободные) тела в этой системе отсчета имеют в качестве кинематической характеристики равномерное и прямолинейное движение или неподвижность.

Весомые тела имеют характеристику движения в инерциальной системе отсчета, подчиняющуюся модернизированному второму закону Ньютона

(1)

где w - ускорение.

В галилеевом (негравитирующем) пространстве можно ввести неинерциальную ньютоно-эвклидову систему отсчета (на базе твердого тела). Но теперь элементы системы отсчета уже будут в общем случае взаимодействовать друг с другом посредством связей, имеющих электромагнитный характер, и находиться в весомом состоянии. Это весомое состояние можно инструментально определить устройством, называемым акселерометром, хотя более правильно было бы назвать его весомометром.

Неинерциальные системы отсчета могут характеризоваться макроописанием (интегральными или глобальными характеристиками) и микроописаниями.

В качестве макроописания используется две векторные характеристики - весомость начала системы отсчета W₀ и угловая скорость вращения системы отсчета (скорость вращения относительно неподвижных звезд) . Микроописание состоит из распределения весомости кординатизированных элементов системы отсчета, т.е. поля весомости H(r). Эти характеристики могут меняться во времени.

Постулат. Неинерциальные системы отсчета в галилеевом пространстве, имеющие одинаковые глобальные характеристики, эквивалентны. В частности, это означает, что любые свободные (невесомые) объекты, имеющие одинаковое начальные характеристики в эквивалентных иеинерциальных системах отсчета, имеют одинаковое кинематическое описание

Для негалилеевых (гравитирующих) пространств этот постулат в общем случае не имеет места.

Связь между глобальными характеристиками и микроописанием дается уравнением состояния системы отсчета - уравнением поля весомости. Для вывода уравнения состояния поля весомости в галилеевом пространстве воспользуемся хорошо известным распределением абсолютных ускорений элементов твердого тела

(2)

где w - абсолютное ускорение (ускорение в инерциальной системе отсчета) элемента твердого тела с радиус-вектором r, w₀ - абсолютное ускорение элемента твердого тела в начале системы отсчета, - угловая скорость вращения твердого тела.

Но согласно уравнению (1)

(3)

Здесь W - весомость элемента системы отсчета, а H - напряженность весомостного поля системы отсчета; W₀ - весомость начального элемента системы отсчета, а H₀ - напряженность начала системы отсчета. Подставляя (3) в (2), получаем уравнение состояния - уравнение весомостного поля неинерциальной системы отсчета в галилеевом пространстве:

(4)

Кроме алгебраического бывает полезным и дифференциальное представление этого уравнения. Для этого подвергнем это уравнение воздействиям операторов и . В результате получаем дифференциальное уравнение состояния:

(5)

Принципиальное отличие этой системы уравнений от уравнений электродинамики состоит в том, что для полноты решения нужно задать не граничные условия, а начальные. Электромагнитное поле можно экранировать, заключать в фиксированный объем, потому и требуется задавать условия на границе поля. Но поле весомости неинерциальной системы отсчета полностью определяется условиями самого наблюдателя, т.е. начальными условиями. И никакого влияния эти условия на каких-либо границах нет, как нет и самих границ для этого поля. Это поле не физических сил, как электромагнитное поле, а фиктивных. Начальные условия имеют вид:

(6)

Запишем теперь уравнение состояния в координатном виде:

(7)

Итак, решение задачи об уравнении состояния (уравнении поля весомости) произвольной ньютоно-эвклидовой системы отсчета в галилеевом (негравитационном) пространстве получено полностью. Как мы видим это решение значительно сложнее, чем принцип Даламбера - переноса силы в левую сторону, который используют в настоящее время для решения задач в неинерциальной системе отсчета.

2. Примеры решения задач

1. Рассмотрим простейшие задачи. Рассмотрим одномерную неинерциальную систему. Такую систему модно представить в виде стержня. Направим ось Оx вдоль оси стержня. Тогда фиктивные весомости H(x), прилагаемые к точечным объектам, движущимся вдоль стержня, есть одновременно реальные весомости элементов самого стержня W(x).

Определим:

Тогда

Умножаем второе уравнение на третье на и вычитаем из третьего второе. Умножаем второе уравнение на , третье на и складываем из третьего второе.

Или

Отсюда получаем распределение весомости вдоль стержня, произвольно вращающегося вокруг своего центра (точки с нулевой весомостью):

3. Уравнение движения точечного объекта в неинерциальной системе отсчета в галилеевом пространстве

Ускорение при сложном движении есть:

(8)

где w_a - есть так называемое абсолютное ускорение наблюдаемого точечного объекта, т.е. его ускорение в инерциальной системе отсчета, w_r - относительное ускорение, т.е. ускорение в неинерциальной системе отсчета, - переносное ускорение, т.е. ускорение в инерциальной системе отсчета элемента неинерциальной системы отсчета, с которой в данный момент совмещен движущийся объект v_r - скорость объекта в неинерциальной системе отсчета. Но w_a=-W - весомость объекта, w_e=-H - координатная весомость. Отсюда получаем окончательное уравнение движения в неинерциальной системе отсчета:

(9)

Это фундаментальный закон движения механических объектов в точечном представлении, обобщающий второй закон Ньютона.

4. Метод переменных систем отсчета

В современной механике используют как правило инерциальную систему отсчета, которая служит универсальным вместилищем любых механических процессов. Иногда из этой системы переходят в некоторую неинерциальную систему отсчета с заранее известными характеристиками.

Общая теория неинерциальных систем отсчета позволяет создать новую расчетную технологию - технологию переменных систем отсчета. Для этого мы вводим систему отсчета, наиболее адекватную по тем или иным соображениям для данной задачи. Причем параметры системы отсчета могут быть заранее неизвестными. И решение кинематической задачи состоит в одновременном определении характеристик системы отсчета и параметров движения объектов в ней.

Продемонстрируем метод при решении задачи о радиолокаторе. Имеется радиолокатор, который наблюдает цель, летящую с постоянной скоростью. Требуется определить расстояние до цели и характеристики вращения следящего радиолокатора.

Направляем ось Ox на цель. В этой системе отсчета движение является одномерным x=x(t). Система отсчета неинерциальная. Начальная весомость равна нулю. Угловая скорость вращения системы отсчета =(t) есть также переменная задачи. Используем уравнение движения в неинерциальной системе отсчета (9) и уравнение состояния неинерциальной системы отсчета.

По оси Ox имеем движение и кроме того действует центробежная компонента поля весомости неинерциальной системы отсчета. Объект движется равномерно и прямолинейно в инерциальной системе, т.е. находится в невесомом состоянии. Ось вращения системы перпендикулярна оси Ox и направляем ее вдоль оси Oz. Модуль угловой скорости вращения . Уравнение движения по оси Ox имеет вид:

Движения по оси Oz и Oy отсутствует, но вдоль оси Oy перпендикулярной оси движения и оси вращения находятся кориолисова и тангенциальная компоненты, связанная с неравномерным вращением. Так как движение по оси Oy отсутствует, то эти компоненты взаимно уравновешивают друг друга. Получаем второй уравнение:

Итак, мы имеем два уравнения с двумя неизвестными, причем одно неизвестное определяет характеристики движения в неизвестной системе отсчета, а второе - характеристики этой системы отсчета.

Из второго уравнения

Подставляем в первое уравнение, получаем закон движения и характеристику системы отсчета

За нулевой момент принят момент максимального сближения цели с локатором. Угол вращения локатора равен

Парадоксальность задачи в том, что равномерное и прямолинейное движение свободного тела в негравитационном пространстве представляется незыблемой истиной. И вдруг появляется сложное неравномерное и криволинейное движение в этом самом наипростейшем, тривиальнейшем случае. Новый подход дает нетривиальные решения и подходы даже в самых наипростейших задачах.

Итак, простая, но практически важная задача решена. Она решена для случая, когда скорость света велика.

Но можем усложнить ее. Опишем процесс наведения ракеты на цель по лучу локатора. Принимаем движение ракеты с постоянной скоростью. Наведение на цель требует воздействия на ракету в направлении перпендикулярном оси движения, т.е. оси Oy. Соответственно ее двигатели должны постоянно корректировать движение, прикладывая реальное воздействие для изменения угла рыскания. Имеем задачу трех тел - радиолокатора, самолета и ракеты. Радиолокатор вновь берем за начало системы отсчета, на цель направляем ось Ox, а ракету направляем по лучу, т.е. по оси Ox. Координату цели записываем как x₁, координату ракеты - x₂, а ее скорость через u.

Имеем систему уравнений:

Первые два уравнения имеют то же самое решение, что и в вышеприведенной задачи. А из четвертого уравнения получаем величину весомостного воздействия:

Умножая весомость ракеты на ее массу, получим силу, которую необходимо прикладывать. А по силе можно уже рассчитать величину реактивного импульса и его динамику в течение всего процесса. Таким образом, задача имеет определенную значимость для противовоздушной и космической обороны. неинерциальный галилеев микроописание

Заключение

Разработана теория неинерциальных систем отсчета в галилеевом (негравитирующем) пространстве. Получено уравнение состояния (поле весомости) неинерциальных систем отсчета, получены уравнения движения в неинерциальных системах отсчета. Предложена новая технология исследования кинематики механических объектов в точечном представлении - технология переменных систем отсчета. Приведены примеры решения задач.

Размещено на Allbest.ru